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1、定比分點的向量公式及應用浙江省永康市古山中學（321307） 吳汝龍定比分點的向量公式：在平面上任取一點O，設，若，則。特別地，當時，即P為線段的中點，則有。用定比分點的向量公式，可使有些問題的解決更簡潔。下面舉幾例說明。一、求定比的值：例1：已知A（），B（）及直線：，直線AB與相交于P點，求P點分的比。解：設，則由，得，又P點在直線上，。例2：如圖所示，在中，D為邊BC上的點，且，E為AD上的一點，且，延長BE交AC于F，求F分有向線段所成的比。解：，又，而，B、E、F共線，設，而，解得。二、求直線上點的坐標例3：已知點，點C為直線AB上一點，且，求C點的坐標。分析：先求出C點分的的值，再

2、利用定比分點的向量公式求出點C的坐標。解：，利用定比分點的坐標公式有。C點的坐標為。例4：已知，且，求點C，D的坐標。分析：由題設，運用定比分點的向量公式，可以求得點C，D的坐標。解：設，根據定比分點的向量公式有，同理由得，根據定比分點的向量公式有，點C的坐標為，D點的坐標為。三、證明三點共線例5：已知點，求證：A、B、C三點共線。證明：設在上，分的比為，則 ，解得與重合，由題設知C在AB上，A、B、C三點共線。四、求字母系數范圍例6：已知點，一次函數的圖象與線段AB有公共點，求實數的取值范圍。解：設為一次函數圖象與線段AB的交點，把P看作的定比分點，其定比為，則有，由定比分點公式有，而P點在

3、函數圖象上，解得，即或，而當P點與B重合時，也適合。或。例7：若直線與連接，兩點的線段有公共點，求實數的取值范圍。解：當直線過P點時，直線過Q點時，當直線與線段PQ的交點在P、Q之間時，設這個交點分的比為，由定比分點公式有，M點的坐標為， 又直線過點M，又點M在線段PQ上知，解得或，或。五、解決平面幾何問題：例8：如圖所示，在平行四邊形ABCD中，P點在線段AB上，且，Q在線段AD上，且，BQ與CP相交于R，求的值。分析：取兩基底，由定比分點的向量公式將有關向量用基底表示出來，再求解。解：設，由題意有，則，又B、R、Q三點共線，存在實數使，且。，即。例9：設直角三角形AOB斜邊的三等分點為D、E。求證。分析：以O為原點，為軸正向建立直角坐標系，設，用，表示相關線段的長度，從而證明命題。證明：以直角頂點O為原點，直角邊OA、OB所在直線為軸，軸建立直角坐標系，如圖設點，點，則D分的比為，由定比分點的向量公式得點D坐標為同理點E坐標為，由兩點間距離公式，得， ，而，。例10：如圖，已知，求證：的三條中線AD、BE、CF相交于一點G，且。分析：幾何問題應用向量來解決，關鍵是將有關線段設為向量，可以在平面內任取一點O為向量的始點，將、設出。證明：如

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