1、【教學課題】：2.1 導數的概念（第一課時）【教學目的】：能使學生深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達其定義；明確其實際背景并給出物理、幾何解釋；能夠從定義出發求某些函數在一點處的導數；明確一點處的導數與單側導數、可導與連續的關系。 【教學重點】：在一點處導數的定義?！窘虒W難點】：在一點處導數的幾種等價定義及其應用?！窘虒W方法】：系統講授，問題教學，多媒體的利用等?！窘虒W過程】：一） 導數的思想的歷史回顧導數的概念和其它的數學概念一樣是源于人類的實踐。導數的思想最初是由法國數學家費馬（Fermat）為研究極值問題而引入的，但導數作為微積分的最主要的概念，卻是英國數學家牛頓（Newton）和德

2、國數學家萊布尼茲（Leibniz）在研究力學與幾何學的過程中建立起來的。二）兩個來自物理學與幾何學的問題的解決問題1 （以變速直線運動的瞬時速度的問題的解決為背景）已知：自由落體運動方程為：，求：落體在時刻（）的瞬時速度。問題解決：設為的鄰近時刻，則落體在時間段（或）上的平均速度為若時平均速度的極限存在，則極限為質點在時刻的瞬時速度。問題2 （以曲線在某一點處切線的斜率的問題的解決為背景）已知：曲線上點，求：點處切線的斜率。下面給出切線的一般定義；設曲線及曲線上的一點，如圖，在外上另外取一點，作割線，當沿著趨近點時，如果割線繞點旋轉而趨于極限位置，直線就稱為曲線在點處的切線。 問題解決：取在上

3、附近一點，于是割線PQ的斜率為（為割線的傾角）當時，若上式極限存在，則極限 （為割線的傾角）為點處的切線的斜率。上述兩問題中，第一個是物理學的問題，后一個是幾何學問題，分屬不同的學科，但問題的解決都歸結到求形如 （1）的極限問題。事實上，在學習物理學時會發現，在計算諸如物質比熱、電流強度、線密度等問題中，盡管其背景各不相同，但最終都化歸為討論形如（1）的極限問題。也正是這類問題的研究，促使“導數”的概念的誕生。 三） 導數的定義定義 設函數在的某鄰域內有定義，若極限存在，則稱函數在點處可導，并稱該極限為在點處的導數，記作。即 （2）也可記作，。若上述極限不存在，則稱在點處不可導。在處可導的等價

4、定義：設，若則等價于，如果函數在點處可導，可等價表達成為以下幾種形式： （3） （4） （5）四） 利用導數定義求導數的幾個例子例1 求在點處的導數，并求曲線在點處的切線方程。解由定義于是曲線在處的切線斜率為2，所以切線方程為，即。 例2 設函數為偶函數，存在，證明：。證 又 注意：這種形式的靈活應用。此題的為。例3 討論函數 在處的連續性，可導性。解 首先討論在處的連續性：即在處連續。 再討論在處的可導性： 此極限不存在即在處不可導。問 怎樣將此題的在的表達式稍作修改，變為在處可導？答 ，即可。四）可導與連續的關系由上題可知；在一點處連續不一定可導。反之，若設在點可導，則由極限與無窮小的關系得：，所以當，有。即在點連續。故在一點處連續與可導的關系是：連續不一定可導，可導一定連續。 五） 單側導數的概念例4 證明函數在處不可導。證明，極限不存在。故在處不可導。 在函數分段點處或區間端點等處，不得不考慮單側導數：定義 設函數在點的某右鄰域上有定義，若右極限 （）存在，則稱該極限為在點的右導數，記作。左導數 。左、右導數統稱為單側導數。導數與左、右導數的關系：若函數在點的某鄰域內有定義，則存在，都存在，且=。例5 設，討論在處的可導性。解由于從而，故在處不可導。六） 小結:本課時的主要內容要求： 深刻理解在一點處導數的概念，能準確表達