1、圓周運動（圓周運動為高考重點）教學目標：1掌握描述圓周運動的物理量及相關計算公式2學會應用牛頓定律和動能定理解決豎直面內的圓周運動問題本講重點：1描述圓周運動的物理量及相關計算公式2用牛頓定律和動能定理解決豎直面內的圓周運動問題本講難點：用牛頓定律和動能定理解決豎直面內的圓周運動問題考點點撥：1“皮帶傳動”類問題的分析方法2豎直面內的圓周運動問題3圓周運動與其他運動的結合一、考點掃描（一）知識整合勻速圓周運動：質點沿圓周運動，在相等的時間里通過的弧長相等。描述圓周運動的物理量1線速度（1）大小：v= （s是t時間內通過的弧長）（2）方向：矢量，沿圓周的切線方向，時刻變化，所以勻速圓周運動是變速

2、運動。（3）物理意義：描述質點沿圓周運動的快慢2角速度（1）大小：w= （是t時間內半徑轉過的圓心角） 單位：rad/s（2）對某一確定的勻速圓周運動來說，角速度是恒定不變的（3）物理意義：描述質點繞圓心轉動的快慢3描述勻速圓周運動的各物理量間的關系:4向心加速度a（1）大小：a =2 f 2r（2）方向：總指向圓心，時刻變化（3）物理意義：描述線速度方向改變的快慢。5向心力：是按效果命名的力，向心力產生向心加速度，即只改變線速度方向，不會改變線速度的大小。（1）大小：（2）方向：總指向圓心，時刻變化做勻速圓周運動的物體，向心力就是物體所受的合外力，總是指向圓心。做變速圓周運動的物體，向心力只

3、是物體所受合外力在沿著半徑方向上的一個分力。（二）重難點闡釋在豎直平面內的圓周運動問題在豎直平面內做圓周運動的物體，按運動軌道的類型，可分為：（1）無支撐（如球與繩連結，沿內軌道的“過山車”）在最高點物體受到彈力方向向下當彈力為零時，物體的向心力最小，僅由重力提供， 由牛頓定律知mg=，得臨界速度 當物體運動速度v<v0，將從軌道上掉下，不能過最高點因此臨界速度的意義表示了物體能否在豎直面上做圓周運動的最小速度（2）有支撐（如球與桿連接，車過拱橋等）因有支撐，在最高點速度可為零，不存在“掉下”的情況物體除受向下的重力外，還受相關彈力作用，其方向可向下，也可向上當物體實際運動速度產生離心運

4、動，要維持物體做圓周運動，彈力應向下當物體有向心運動傾向，物體受彈力向上所以對有約束的問題，臨界速度的意義揭示了物體所受彈力的方向（3）對于無約束的情景，如車過拱橋，當時，有N=0，車將脫離軌道此時臨界速度的意義是物體在豎直面上做圓周運動的最大速度以上幾種情況要具體問題具體分析，但分析方法是相同的。二、高考要點精析（一）“皮帶傳動”類問題的分析方法【例1】cd如圖所示裝置中，三個輪的半徑分別為r、2r、4r，b點到圓心的距離為r，求圖中a、b、c、d各點的線速度之比、角速度之比、加速度之比。解析：va= vc，而vbvcvd =124，所以va vbvcvd =2124；ab=21，而b=c=

5、d ，所以abcd =2111；再利用a=v，可得aaabacad=4124考點精煉小齒輪車輪小發電機摩擦小輪鏈條1如圖所示，一種向自行車車燈供電的小發電機的上端有一半徑R0=1.0cm的摩擦小輪，小輪與自行車車輪的邊緣接觸。當車輪轉動時，因摩擦而帶動小輪轉動，從而為發電機提供動力。自行車車輪的半徑R1=35cm，小齒輪的半徑R2=4.0cm，大齒輪的半徑R3=10.0cm。則大齒輪和摩擦小輪的轉速之比為（假定摩擦小輪與自行車輪之間無相對滑動） （ ）A2175 B1175 C4175 D11401A（大小齒輪間、摩擦小輪和車輪之間，兩輪邊緣各點的線速度大小相等，由，可知轉速n和半徑r成反比；

6、小齒輪和車輪同軸轉動，兩輪上各點的轉速相同。由這三次傳動可以找出大齒輪和摩擦小輪間的轉速之比n1n2=2175）（二）豎直面內的圓周運動問題【例2】一內壁光滑的環形細圓管，位于豎直平面內，環的半徑為R（比細管的半徑大得多）在圓管中有兩個直徑與細管內徑相同的小球（可視為質點）A球的質量為m1，B球的質量為m2它們沿環形圓管順時針運動，經過最低點時的速度都為v0設A球運動到最低點時，B球恰好運動到最高點，若要此時兩球作用于圓管的合力為零，那么m1、m2、R與v0應滿足的關系式是_由機械能守恒定律，B球通過圓管最高點時的速度v滿足方程根據牛頓運動定律對于A球，對于B球，又 N1=N2解得 【例3】小

7、球A用不可伸長的細繩懸于O點，在O點的正下方有一固定的釘子B，OB=d，初始時小球A與O同水平面無初速度釋放，繩長為L，為使小球能繞B點做完整的圓周運動，如圖所示。試求d的取值范圍。DdLOmBCA解析：為使小球能繞B點做完整的圓周運動，則小球在D對繩的拉力F1應該大于或等于零，即有：根據機械能守恒定律可得由以上兩式可求得：考點精煉2如圖所示，長為L的細線，一端固定在O點，另一端系一個球.把小球拉到與懸點O處于同一水平面的A點，并給小球豎直向下的初速度，使小球繞O點在豎直平面內做圓周運動。要使小球能夠在豎直平面內做圓周運動，在A處小球豎直向下的最小初速度應為A. B. C. D. 2C（要使小

8、球能夠在豎直平面內做圓周運動，最高點最小速度滿足 ，從A到最高點，由動能定理有，解得）（三）圓周運動與其他運動的結合【例4】如圖所示，滑塊在恒定外力作用下從水平軌道上的A點由靜止出發到B點時撤去外力，又沿豎直面內的光滑半圓形軌道運動，且恰好通過軌道最高點C，滑塊脫離半圓形軌道后又剛好落到原出發點A，試求滑塊在AB段運動過程中的加速度。解析：設圓周的半徑為R，則在C點：mg=m 離開C點，滑塊做平拋運動，則2Rgt22 vCtsAB 由B到C過程： mvC2/2+2mgRmvB2/2 由A到B運動過程： vB22asAB 由式聯立得到： a=5g4【例5】如圖所示，M、N是兩個共軸圓筒的橫截面，

9、外筒半徑為R，內筒半徑比R小很多，可以忽略不計，筒的兩端是封閉的，兩筒之間抽成真空。兩筒以相同的角速度 繞其中心軸線（圖中垂直于紙面）做勻速轉動。設從M筒內部可以通過窄縫 s （與M筒的軸線平行）不斷地向外射出兩種不同速率 v1 和v2 的微粒，從 s 處射出時的初速度的方向都是沿筒的半徑方向，微粒到達N筒后就附著在N筒上。如果R、v1 和v2都不變，而取某一合適的值，則（ ）A有可能使微粒落在N筒上的位置都在 a 處一條與 s 縫平行的窄條上B有可能使微粒落在N筒上的位置都在某一處如 b 處一條與 s 縫平行的窄條上C有可能使微粒落在N筒上的位置分別在某兩處如 b 處和c 處與 s 縫平行的

10、窄條上D只要時間足夠長，N筒上將到處都落有微粒解析：兩種粒子從窄縫 s射出后，沿半徑方向勻速直線運動，到達N筒的時間分別為和，兩種粒子到達N筒的時間差為，N筒勻速轉動，在和時間內轉過的弧長均為周長的整數倍，則所有微粒均落在a 處一條與 s 縫平行的窄條上，A正確；若N筒在和時間內轉過的弧長不是周長的整數倍，且在內轉過的弧長恰為周長的整數倍，則所有微粒均落在如b處一條與 s 縫平行的窄條上，B正確；若在和及內轉過的弧長均不是周長的整數倍，則可能落在N筒上某兩處如 b 處和c 處與 s 縫平行的窄條上，C正確；對應某一確定的值，N筒轉過的弧長是一定的，故N筒上微粒到達的位置是一定的，D錯誤。答案：

11、ABC考點精煉3如圖所示，位于豎直平面上的1/4圓弧光滑軌道，半徑為R，OB沿豎直方向，上端A距地面高度為H，質量為m的小球從A點由靜止釋放，最后落在水平地面上C點處，不計空氣阻力，求：（1）小球運動到軌道上的B點時，對軌道的壓力多大?（2）小球落地點C與B點水平距離s是多少?3解析：（1）小球由AB過程中，根據機械能守恒定律有： mgR 小球在B點時，根據向心力公式有； 根據牛頓第三定律，小球對軌道的壓力大小等于軌道對小球的支持力，為3mg （2）小球由BC過程，水平方向有：s=vB·t 豎直方向有： 解得 4如圖所示，豎直薄壁圓筒內壁光滑、半徑為R，上部側面A處開有小口，在小口A

12、的正下方h處亦開有與A大小相同的小口B，小球從小口A沿切線方向水平射入筒內，使小球緊貼筒內壁運動，要使小球從B口處飛出，小球進入A口的最小速率v0為（ ）RABhAB CD4B解析：小球從小口A沿切線方向水平射入筒內，小球的運動可看作水平方向的勻速圓周運動和豎直方向的自由落體運動的疊加。因此從A至B的時間為：，在這段時間內小球必須轉整數周才能從B口處飛出，所以有：，當n=1時，v0最小，v0min=。圖3-12四 圓周運動的應用a.定量分析火車轉彎的最佳情況。受力分析：如圖所示3-12火車受到的支持力和重力的合力水平指向圓心，成為使火車拐彎的向心力。動力學方程：根據牛頓第二定律得mgtanm其

13、中r是轉彎處軌道的半徑，是使內外軌均不受側向力的最佳速度。分析結論：解上述方程可知rgtan可見，最佳情況是由、r、共同決定的。當火車實際速度為v時，可有三種可能，當v時，內外軌均不受側向擠壓的力；當v時，外軌受到側向擠壓的力（這時向心力增大，外軌提供一部分力）；當v時，內軌受到側向擠壓的力（這時向心力減少，內軌抵消一部分力）。還有一些實例和這一模型相同，如自行車轉彎，高速公路上汽車轉彎等等我們討論的火車轉彎問題，實質是物體在水平面的勻速圓周運動，從力的角度看其特點是：合外力的方向一定在水平方向上，由于重力方向在豎直方向，因此物體除了重力外，至少再受到一個力，才有可能使物體產生在水平面做勻速圓

14、周運動的向心力實際在修筑鐵路時，要根據轉彎處的半徑r和規定的行駛速度v0，適當選擇內外軌的高度差，使轉彎時所需的向心力完全由重力G和支持力FN的合力來提供，如上圖3-12所示.必須注意，雖然內外軌有一定的高度差，但火車仍在水平面內做圓周運動，因此向心力是沿水平方向的，而不是沿“斜面”向上，F=Gtg=mgtg，故mgtg=m。 五、離心運動做圓周運動的物體，由于本身具有慣性，總是想沿著切線方向運動，只是由于向心力作用，使它不能沿切線方向飛出，而被限制著沿圓周運動，如圖3-20中B所示。當產生向心力的合外力消失，F0，物體便沿所在位置的切線方向飛出去，如圖3-20中A所示。當提供向心力的合外力不

15、完全消失，而只是小于應當具有的向心力，即合外力不足以提供所需的向心力的情況下，物體沿切線與圓周之間的一條曲線運動，如圖3-20所示。 圖3-20、例9：一把雨傘邊緣的半徑為r，且高出水平地面h當雨傘以角速度旋轉時，雨滴自邊緣甩出落在地面上成一個大圓周這個大圓的半徑為_。【審題】想象著實際情況，當以一定速度旋轉雨傘時，雨滴甩出做離心運動，落在地上，形成圖3-21一個大圓。【解析】雨滴離開雨傘的速度為v0r雨滴做平拋運動的時間為t雨滴的水平位移為sv0tr雨滴落在地上形成的大圓的半徑為R 六 圓周運動的功和能例9：使一小球沿半徑為R的圓形軌道從最低點上升，那么需給它最小速度為多大時，才能使它達到軌

16、道的最高點？【審題】小球到達最高點A時的速度vA不能為零，否則小球早在到達A點之前就離開了圓形軌道。要使小球到達A點（自然不脫離圓形軌道），則小球在A點的速度必須滿足Mg+NA=m，式中，NA為圓形軌道對小球的彈力。上式表示小球在A點作圓周運動所需要的向心力由軌道對它的彈力和它本身的重力共同提供。當NA=0時，vA最小，vA=。這就是說，要使小球到達A點，則應該使小球在A點具有的速度vA。【解析】以小球為研究對象。小球在軌道最高點時，受重力和軌道給的彈力。小球在圓形軌道最高點A時滿足方程根據機械能守恒，小球在圓形軌道最低點B時的速度滿足方程 （2）解(1)，(2)方程組得當NA=0時，VB=為

17、最小，VB=所以在B點應使小球至少具有VB=的速度，才能使它到達圓形軌道的最高點A。 (8) 實驗中常見的圓周運動綜合題往往以圓周運動和其他物理知識為背景，這類題代表了理科綜合命題方向，要在平日的做題中理解題目的原理，靈活的把握題目。例10： 圖3-22甲所示為測量電動機轉動角速度的實驗裝置，半徑不大的圓形卡紙固定在電動機轉軸上，在電動機的帶動下勻速轉動在圓形卡紙的旁邊垂直安裝一個改裝了的電火花計時器。請將下列實驗步驟按先后排序：A使電火花計時器與圓形卡紙保持良好接觸B接通電火花計時器的電源，使它工作起來C啟動電動機，使圓形卡紙轉動起來D關閉電動機，拆除電火花計時器；研究卡紙上留下的一段痕跡（

18、如圖3-22乙所示），寫出角速度的表達式，代入數據，得出的測量值要得到的測量值，還缺少一種必要的測量工具，它是A秒表B毫米刻度尺C圓規D量角器寫出角速度的表達式，并指出表達式中各個物理量的意義：為了避免在卡紙連續轉動的過程中出現打點重疊，在電火花計時器與盤面保持良好接觸的同時，可以緩慢地將電火花計時器沿圓形卡紙半徑方向向卡紙中心移動則卡紙上打下的點的分布曲線不是一個圓，而是類似一種螺旋線，如圖3-22丙所示這對測量結果有影響嗎？圖3-22【審題】因為這個題目用的是打點計時器，所以兩點之間的時間是0.02s，通過量角器量出圓心到兩點之間的角度，利用=/t。【解析】具體的實驗步驟應該是A、C、B、

19、D，量出角度應該用量角器D，為個點對應的圓心角，為時間間隔；應該注意的一個問題是不能轉動一圈以上，因為點跡重合，當半徑減小時，因為單位時間內轉過的角度不變，所以沒有影響。三、考點落實訓練1關于向心力的下列說法中正確的是 ADA向心力不改變做圓周運動物體速度的大小B做勻速圓周運動的物體，其向心力是不變的C做圓周運動的物體，所受合力一定等于向心力D做勻速圓周運動的物體，一定是所受的合外力充當向心力2在豎直平面內有一半徑為R的光滑圓環軌道，一質量為m的小球穿在圓環軌道上做圓周運動，到達最高點C時的速率vc=，則下述正確的是(ACD)A此球的最大速率是 vcB小球到達C點時對軌道的壓力是C小球在任一直

20、徑兩端點上的動能之和相等D小球沿圓軌道繞行一周所用的時間小于3如圖所示，半徑為R的豎直光滑圓軌道內側底部靜止著一個光滑小球，現給小球一個沖擊使其在瞬間得到一個水平初速v0，若v0，則有關小球能夠上升的最大高度（距離底部）的說法中正確的是（ BC ）RA一定可以表示為 B可能為C可能為R D可能為解析：小球從最低點沿圓軌道向上運動，若小球到最高點的速度為零，根據機械能守恒，有小球上升的高度為H=。若小球從最低點沿圓軌道向上運動，且不能過圓周，則小球到最高點的速度為零，根據機械能守恒，有小球上升的高度為HR。如果能過圓周，在上升的過程中小球會脫離軌道，作斜拋運動，到達最高點時的速度不為零，所以達不

21、到的高度。答案BC正確。Oab4如圖所示，細輕桿的一端與小球相連，可繞O點的水平軸自由轉動。現給小球一初速度，使它在豎直平面內做圓周運動，a、b分別表示軌道的最低點和最高點，則小球在這兩點對桿的作用力大小之差可能為（ BCD ）A3mg B4mg C5mg D6mg解析：輕桿約束的小球在豎直平面內做圓周運動，到達最高點的速度最小可以是零，根據向心力公式結合機械能守恒，可得出小球在這兩點對桿的作用力大小之差可能為4mg、5mg或6mg，BCD正確。5小球質量為m，用長為L的輕質細線懸掛在O點，在O點的正下方處有一釘子P，把細線沿水平方向拉直，如圖所示，無初速度地釋放小球，當細線碰到釘子的瞬間，設

22、線沒有斷裂，則下列說法錯誤的是（ ）LL/2OPA小球的角速度突然增大 B小球的瞬時速度突然增大C小球的向心加速度突然增大 D小球對懸線的拉力突然增大5B解析：當細線碰到釘子時，線速度不變，但小球做圓周運動的半徑將減小由=，R減小，增大 a=，R減小，a增大Fmg=m，得F增大故B錯誤，本題選B。6如圖所示，質量不計的輕質彈性桿P插入桌面上的小孔中，桿的另一端套有一個質量為m的小球，今使小球在水平面內做半徑為R的勻速圓周運動，且角速度為，則桿的上端受到球對其作用力的大小為（ ）A B C D不能確定6C解析：對小球進行受力分析，小球受到兩個作用力，即重力和桿對小球的作用力，兩個力的合力提供向心

23、力，根據牛頓第二定律就可得C正確。7用輕質尼龍線系一個質量為 0.25 kg 的鋼球在豎直面內旋轉。已知線長為 1.0 m ，若鋼球恰能通過最高點，則球轉到最低點時線受到的拉力是_15_N；若將線換成質量可以忽略的輕桿，為了使球恰能通過最高點，此桿的最大承受力至少應為_12.5_N。8如圖所示皮帶轉動輪，大輪直徑是小輪直徑的3倍，A是大輪邊緣上一點，B是小輪邊緣上一點，C是大輪上一點，C到圓心O1的距離等于小輪半徑。轉動時皮帶不打滑，則A、B、C三點的角速度之比ABC=_1:_3：1_，向心加速度大小之比aAaBaC=_3：9：1。abA9如圖所示，半徑為R，內徑很小的光滑半圓管豎直放置。兩個

24、質量均為m的小球a、b以不同的速度進入管內，a通過最高點A時，對管壁上部的壓力為3mg，b通過最高點A時，對管壁下部的壓力為0.75mg，求a、b兩球落地點間的距離。9解析：以a球為對象，設其到達最高點時的速度為va，根據向心力公式有： 即所以：以b球為對象，設其到達最高點時的速度為vb，根據向心力公式有：即 所以：a、b兩球脫離軌道的最高點后均做一平拋運動，所以a、b兩球的水平位移分別為： 故a、b兩球落地點間的距離s=sasb=3R。輪10：如圖3-1所示，兩根輕繩同系一個質量m=0.1kg的小球，兩繩的另一端分別固定在軸上的A、B兩處，上面繩AC長L=2m，當兩繩都拉直時，與軸的夾角分別

25、為30°和45°，求當小球隨軸一起在水平面內做勻速圓周運動角速度為=4rad/s時，上下兩輕繩拉力各為多少？圖3-1【解析】如圖3-1所示，當BC剛好被拉直，但其拉力T2恰為零，設此時角速度為1，AC繩上拉力設為T1，對小球有： 代入數據得：，要使BC繩有拉力，應有>1，當AC繩恰被拉直，但其拉力T1恰為零，設此時角速度為2，BC繩拉力為T2，則有 T2sin45°=mLACsin30°代入數據得：2=3.16rad/s。要使AC繩有拉力，必須<2，依題意=4rad/s>2，故AC繩已無拉力，AC繩是松馳狀態，BC繩與桿的夾角>4

26、5°，對小球有：T2cos=m 2LBCsin 而LACsin30°=LBCsin45°LBC=m 由、可解得；（2）同軸裝置與皮帶傳動裝置圖3-211：如圖3-2所示為一皮帶傳動裝置，右輪的半徑為r，a是它邊緣上的一點，左側是一輪軸，大輪半徑為4r，小輪半徑為2r，b點在小輪上，到小輪中心距離為r，c點和d點分別位于小輪和大輪的邊緣上，若在傳動過程中，皮帶不打滑，則Aa點與b點線速度大小相等Ba點與c點角速度大小相等Ca點與d點向心加速度大小相等Da、b、c、d四點，加速度最小的是b點所以選項C、D均正確。圖3-412：如圖3-4所示，半徑為R的半球形碗內，有一個具有一定質量的物體A，A與碗壁間的動摩擦因數為，當碗繞豎直軸OO/勻速轉動時，物體A剛好能緊貼在碗口附近隨碗一起勻速轉動而不發生相對滑動，求碗轉動的角速度【解析】物體A做勻速圓周運動，向心力： 而摩擦力與重力平衡，則有： 即： 由以上兩式可得