1、復數代數形式的四則運算（教學設計）（2）§復數代數形式的乘除運算教學目標：知識與技能目標：理解并掌握復數的代數形式的乘法與除法運算法則，熟練進行復數的乘法和除法的運算。理解復數乘法的交換律、結合律、分配律；了解共軛復數的定義及性質過程與方法目標：理解并掌握復數的除法運算實質是分母實數化類問題情感、態度與價值觀目標：復數的幾何意義單純地講解或介紹會顯得較為枯燥無味，學生不易接受，教學時，我們采用講解或體驗已學過的數集的擴充的，讓學生體會到這是生產實踐的需要從而讓學生積極主動地建構知識體系。教學重點：復數代數形式的除法運算。教學難點：對復數除法法則的運用。教學過程： 一、復習回顧，新課引

2、入：1、復數z1與z2的和的定義：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i.2、復數z1與z2的差的定義：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.3、復數的加法運算滿足交換律: z1+z2=z2+z1.4、復數的加法運算滿足結合律: (z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)二、師生互動、新課講解：乘法運算規則：規定復數的乘法按照以下的法則進行：設z1=a+bi，z2=c+di(a、b、c、dR)是任意兩個復數，那么它們的積(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.其實就是把兩個復數相乘，類似兩個多項式相乘，在所得的結果中把i2

3、換成1，并且把實部與虛部分別合并.兩個復數的積仍然是一個復數.2.乘法運算律：(1)z1(z2z3)=(z1z2)z3 證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1z2=(a1+b1i)(a2+b2i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+a1b2)i，z2z1=(a2+b2i)(a1+b1i)=(a2a1-b2b1)+(b2a1+a2b1)i.又a1a2-b1b2=a2a1-b2b1，b1a2+a1b2=b2a1+a2b1.z1z2=z2z1.(2)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3證明：設z1=a1+b1i，z2=a2

4、+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R). (z1z2)z3=(a1+b1i)(a2+b2i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1b2+a1b2)i(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)a3-(b1a2+a1b2)b3+(b1a2+a1b2)a3+(a1a2-b1b2)b3i=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2b3+a1a2b3-b1b2b3)i，同理可證：z1(z2z3)=(a1a2a3-b1b2a3-b1a2b3-a1b2b3)+(b1a2a3+a1b2a3+a1a2b3-b1b2b3)i，(z1z

5、2)z3=z1(z2z3).(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.證明：設z1=a1+b1i，z2=a2+b2i，z3=a3+b3i(a1，a2，a3，b1，b2，b3R).z1(z2+z3)=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a3+b3i)=(a1+b1i)(a2+a3)+(b2+b3)i=a1(a2+a3)-b1(b2+b3)+b1(a2+a3)+a1(b2+b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)i.z1z2+z1z3=(a1+b1i)(a2+b2i)+(a1+b1i)(a3+b3i)=(a1a2-b1b2)+(b1a2+

6、a1b2)i+(a1a3-b1b3)+(b1a3+a1b3)i=(a1a2-b1b2+a1a3-b1b3)+(b1a2+a1b2+b1a3+a1b3)i=(a1a2+a1a3-b1b2-b1b3)+(b1a2+b1a3+a1b2+a1b3)iz1(z2+z3)=z1z2+z1z3.例1（課本P58例2）計算(1-2i)(3+4i)(-2+i)解：(1-2i)(3+4i)(-2+i)(11-2i) (-2+i)= -20+15i.例2（課本P59例3）計算：（1）(3+4i) (3-4i) ； （2）（1+ i)2.解：（1）(3+4i) (3-4i) =32-（4i）2=9-(-16)=25;

7、(2) （1+ i)2=1+2 i+i2=1+2 i-1=2 i.3.共軛復數：當兩個復數的實部相等，虛部互為相反數時，這兩個復數叫做互為共軛復數虛部不等于0的兩個共軛復數也叫做共軛虛數通常記復數的共軛復數為。4. 復數除法定義：滿足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的復數x+yi(x,yR)叫復數a+bi除以復數c+di的商，記為：(a+bi)(c+di)或者5.除法運算規則：設復數a+bi(a，bR)，除以c+di(c，dR)，其商為x+yi(x，yR)，即(a+bi)÷(c+di)=x+yi(x+yi)(c+di)=(cxdy)+(dx+cy)i.(cxdy)+(dx+cy

8、)i=a+bi.由復數相等定義可知解這個方程組，得于是有:(a+bi)÷(c+di)= i.利用(c+di)(cdi)=c2+d2.于是將的分母有理化得：原式=.(a+bi)÷(c+di)=.點評：是常規方法，是利用初中我們學習的化簡無理分式時，都是采用的分母有理化思想方法，而復數c+di與復數cdi，相當于我們初中學習的的對偶式，它們之積為1是有理數，而(c+di)·(cdi)=c2+d2是正實數.所以可以分母實數化. 把這種方法叫做分母實數化法例3（課本P60例4）計算解：例4計算解：課堂練習：（課本P60練習NO：1；2；3）三、課堂小結、鞏固反思：復數的乘

9、法法則是：(a+bi)(c+di)=(acbd)+(bc+ad)i.復數的代數式相乘，可按多項式類似的辦法進行，不必去記公式.復數的除法法則是：i(c+di0).兩個復數相除較簡捷的方法是把它們的商寫成分式的形式，然后把分子與分母都乘以分母的共軛復數，再把結果化簡 四、布置作業：A組：1、（課本P61習題3.2 A組：NO：4）2、（課本P61習題3.2 A組：NO：5）3、（課本P61習題3.2 B組：NO：1）B組：1.【2012高考安徽文1】復數 滿足，則 = （A） （B） （C） （D） 【答案】B【解析】。2.【2012高考新課標文2】復數z的共軛復數是 （A）2+i （B）2i

10、（C）1+i （D）1i【答案】D【解析】，所以其共軛復數為，選D.3.【2012高考山東文1】若復數z滿足為虛數單位)，則為 (A)3+5i (B)35i (C)3+5i(D)35i【答案】A【解析】.故選A.4.【2012高考浙江文2】已知i是虛數單位，則=A 1-2i B 2-i C 2+i D 1+2i 【答案】D 【解析】.5.【2012高考上海文15】若是關于的實系數方程的一個復數根，則（ ）A、 B、 C、 D、【答案】D【解析】因為是實系數方程的一個復數根，所以也是方程的根，則，所以解得，選D.6.【2012高考陜西文4】設，是虛數單位，則“”是“復數為純虛數”的（ ）A.充分

11、不必要條件 B. 必要不充分條件C. 充分必要條件 D. 既不充分也不必要條件【答案】B. 【解析】或，而復數是純虛數，是純虛數，故選B.7.【2012高考遼寧文3】復數(A) (B) (C) (D) 【答案】A【解析】，故選A【點評】本題主要考查復數代數形式的運算，屬于容易題。復數的運算要做到細心準確。8.【2012高考江西文1】若復數 （為虛數單位) 是z的共軛復數 ， 則+²的虛部為A 0 B -1 C 1 D -2 【答案】A【解析】因為，所以，所以，選A.9.【2012高考湖南文2】復數z=i（i+1）（i為虛數單位）的共軛復數是A.-1-i B.-1+i C.1-i D.

12、1+i【答案】【解析】由z=i（i+1）=，及共軛復數定義得.【點評】本題考查復數代數形式的四則運算及復數的基本概念，考查基本運算能力.先把Z化成標準的形式，然后由共軛復數定義得出.10.【2012高考湖北文12】.若=a+bi（a，b為實數，i為虛數單位），則a+b=_.【答案】3【解析】因為，所以.又因為都為實數，故由復數的相等的充要條件得解得所以.【點評】本題考查復數的相等即相關運算.本題若首先對左邊的分母進行復數有理化，也可以求解，但較繁瑣一些.來年需注意復數的幾何意義，基本概念（共軛復數），基本運算等的考查.11.【2012高考廣東文1】設為虛數單位，則復數A. B. C. D. 【答案】D【解析】法一：.法二：12.【2102高考福建文1】復數（2+i）2等于A.3+4i B.5+4i C.3+2i D.5+2i【答案】A. 【解析】，故選A.13.【2102高考北京文2】在復平面內，復數對應的點的坐標為A (1 ,3) B(3,1) C(-1,3) D(3 ,-1)【答案】A【解析】本題考查的是復數除法的化簡運算以及復平面，實部虛部的概念。，實部為1，