1、第二章 第2-3節 三角形中的幾何計算；解三角形的實際應用舉例（文）北師大版必修5【本講教育信息】一、教學內容：三角形中的幾何計算及實際應用舉例 二、教學目標（1）體會用正弦定理、余弦定理處理三角形中的計算問題。（2）能靈活的運用正弦定理、余弦定理解決測量、航海、臺風預報等有關的實際問題，體會建立三角函數模型的思想。（3）結合正弦定理、余弦定理等體會用方程的數學思想、分論討論的數學思想等解決實際問題。三、知識要點分析：1. 三角形中的幾何計算的有關知識點（三角形中的邊和角的關系：）（i）大角對大邊：（ii）正弦定理：，（R是三角形外接圓的半徑）（iii）余弦定理：（iv）三角形的面積SABC2

2、. 解決實際問題的有關知識點（1）仰角與俯角：在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫仰角，視線在水平線下方的角叫俯角。（2）方位角：指從正北方向順時針轉到目標方向線的夾角叫方位角。（3）解決實際問題的步驟。（i）理解題意分清已知與未知。（ii）畫圖建模利用正、余弦定理等知識點求解。（iii）作答。3. 掌握三角形內角誘導公式及相關的結論，（i）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC （ii）（iii）【典型例題】考點一：三角形中的幾何計算例1. 設D是直角三角形ABC的斜邊BC上的一點，AB=AD，。（1）求證：，（2）若求的值。思路分析：（1）由已知找出與的關系，即

3、，即可證明。（2）由正弦定理得到關于的方程即可。 解：（1）由AB=AD.（2）由正弦定理得：將此式代入得：將整理得：又故。即所求的角是例2. 設P是正方形ABCD內一點，P到A、B、C的距離分別是1，2，3，求正方形ABCD的邊長思路分析：設正方形的邊長為x，根據角ABP與角CBP互余，可知其余弦的平方和是1，建立關于x的方程，再求解解：設邊長是x，（1<x<3）， ，則=90°在三角形ABP中：由余弦定理得：，同理在CBP中： ，90°得：即有：（*） 解*得所求的邊長為。說明：使用正弦定理或余弦定理或相關的知識點解決幾何問題，首先要在已知的圖形中構造三角形

4、（已有三角形，不需構造），能構造特殊三角形的盡可能地構造特殊的三角形?？键c二：研究幾何計算問題中的最值問題。如圖所示，點P在直徑AB=1的半圓上移動，過點P作半圓的切線PT，使PT=1，則如何確定P點的位置？才能使得四邊形ABTP的面積最大？思路分析：由已知得P點的變化引起角PAB的變化，故可把四邊形ABTP的面積表示成關于角PAB的函數，然后求函數的最值。解：連接BP，設PAB，由AB為直徑得APB90°，即APB是直角三角形，由AB=PT=1得：。又PT是圓的切線，故，BPTPAB 例4. 在等邊三角形ABC中，AB=a，O為中心，過O的直線交AB于M，交AC于N，求的最大值。思

5、路分析：由于M、N的變化導致角MOA的變化，然后利用正弦定理，把式子表示成角MOA的函數，再求最大值。解：由已知MAO=NAO30°，設MOA，則 故當時，即時，取得最大值是?！菊f明】在三角形幾何計算中解決最值問題的關鍵是引入變量。考點三：利用正弦定理、余弦定理解決實際問題例5. （1）（航海問題）已知一測高儀表失靈的飛機在高空以300km/h的速度按水平方向向東飛行，飛機的航線和山頂C在同一鉛直的平面內，若在A處的飛行員利用測角儀器測得先看到海拔高度為4000m的山頂C的俯角為15°，經120秒后在B點又看到山頂C的俯角是60°，求飛機現在的海拔高度。思路分析：

6、先根據已知條件畫出圖形，找出兩個俯角，再根據正弦定理求出BC，在直角三角形BCD中求出CD，CD加上山的高度即是飛機現在的海拔高度。解：根據已知畫出圖形（如圖）BAC=15°，DBC=60°，故BCA=45°又AB=300×=10（km），則在ABC中由正弦定理得：在直角BDC中：CD=BCsin60°=故飛機飛行的海拔高度是3170+4000=7170（米）（2）某漁輪在航行中不幸遇險，發出呼救信號，我海軍艦艇在A處獲悉后，測出該漁輪在方位角45°，距離為10海里的C處，并測得漁輪正沿方位角為105°的方向，以每小時9海里

7、的速度向小島B靠攏，我海軍艦艇立即以每小時21海里的速度前去營救，求艦艇的航向及靠近漁輪的時間。思路分析：根據題意先畫出圖形，設艦艇收到信號后x小時在B處靠攏漁輪，在三角形ABC中利用余弦定理可求得x，再用正弦定理求得艦艇的航向。解：設艦艇收到信號x小時在B處與漁輪靠攏，則AB=21x，BC=9x，AC=10，ACB=120°在ABC中，由余弦定理得：120°整理得：，由正弦定理可求BAC21.8°，答：艦艇沿方位角（45°+21.8°）的方向航行40min 可靠近漁輪。例6. （測量問題）欲測量河對岸兩點P，Q之間的距離，應如何測量？思路分析

8、：可以在岸邊選定距離為a的兩個觀測點A，B，然后測出角BAP，角BAQ，角ABQ，角ABP，利用正弦定理求解。解：選定距離為a的兩個觀測點A，B。利用測角儀器測得：BAP=BAQ=，ABQ=ABP=，則由正弦定理得：，同理：，在三角形APQ中利用余弦定理得：例7. （臺風問題）某城市附近的海面上有一股臺風，臺風中心位于城市O的南偏東方向300km海面的P處，并以每小時20km/h的速度向北偏西45°的方向移動，臺風侵襲的范圍為圓形區域，當時半徑是60km，并以10km/h的速度不斷增大，問幾小時后該城市受到臺風的侵襲思路分析：設經過x小時該城市恰好受到臺風的侵襲，假設臺風中心由P移到

9、Q處（如圖），此時臺風的侵襲半徑是OQ=60+10x,在三角形OPQ中，OP=300,PQ=20x,由余弦定理建立關于x的方程求x。解：設x小時后該城市恰好受到臺風的侵襲，此時臺風中心由P處移到Q處，臺風的侵襲半徑是（60+10x）km，城市O恰好受到臺風侵襲的條件是OQ=60+10x在三角形OPQ中：OP=300，PQ=20x，OPQ=45°，cosOPQ=cos（45°）=，由余弦定理得：故方程無解，即該城市不會受到臺風的影響?！颈局v涉及的數學思想、方法】本講主要講述了利用正弦定理、余弦定理及其相關的知識解決三角形中的幾何計算及實際問題，在此過程中，體現了方程的數學思想

10、（如例1、例2）、函數的數學思想（如求最值問題）、等價轉化的數學思想等在解題中的應用。預習導學案（不等關系及一元二次不等式的解法）一：預習前知1. 在初中你學過不等式有哪些性質？2. 解一元一次不等式的步驟有哪些？3. 解關于x的不等式：ax>b (a,b是實數)4. 二次函數的關系是什么？二：預習導學探究、反思探究反思的任務：不等關系、一元二次不等式的解法1、舉例說明在現實生活中的不等關系?！痉此肌勘容^兩個實數大小的方法有哪些？（作差比較，作商比較） a-b>0 2、不等式的性質有哪些？傳遞性_，(2)加法單調性_，（3）乘法單調性_。（4）同向不等式相加_（5）兩邊都是正數的同

11、向不等式相乘_?！痉此肌坑缮厦娴男再|你能證明：a>b>0,嗎？3、一元二次不等式的定義：_。4、一元二次不等式的解法的步驟有_?！痉此肌浚?）你能畫出解一元二次不等式的解法的程序框圖嗎？（2）對不等式，若方程三種情形中，如何表示不等式的解集？5、分式不等式的解法思想是_【反思】分式不等式可化為不等式組_6、一元高次不等式的解法思想是_簡述用穿針引線法求一元高次不等式的解集的方法?！痉此肌浚涸诶么┽樢€法求一元高次不等式的解集的過程中，若出現因式，應如何處理？【模擬試題】（答題時間：70分鐘）一、選擇題：1. 在ABC中，已知a=1，b=，A=30°，B為銳角，則角A，B

12、，C的大小關系是（）A. A>B>CB. B>A>CC. C>B>AD. C>A>B*2. 在ABC中，角A，B滿足：sin=sin，則三邊a，b，c必滿足（ ）A. a=bB. a=b=cC. a+b=2cD. 3. 如圖，D，C，B三點在一條直線上，DC=a，從C，D兩點測得A點的仰角是，（）則A點離地面的高度AB 等于（ ）m4. 在三角形ABC中，下列等式總能成立的是（ ）A. a cosC=c cosA B. bsinC=csinA C. absinc=bcsinB D. asinC=csinA*5. 某人向正東方向走x千米后，他向右轉

13、150°，然后朝新的方向走3千米，結果他離出發點恰好為千米，則x=（ ）*6. 有一座20米高的觀測臺，測得對面一水塔塔頂的仰角是60°，塔底的俯角是，則這座塔高是（ ）*7. 已知兩燈塔A和B與海洋觀測站C的距離都是a km，燈塔A在觀測站C的北偏東20°，燈塔B在觀測站C的南偏東40°，則燈塔A與燈塔B的距離是（ ）8. 在三角形ABC中，若（a+b+c）（b+ca）=3bc，且sinA=2sinBcosC，則三角形ABC是（ ）A. 等腰三角形， B. 等邊三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形二、填空題：*9. 在三角形ABC中，ab=4

14、，a+c=2b，且最大角為120°，則此三角形的周長是 *10. 在三角形ABC中，若C=3B，則的取值范圍是 *11. 在三角形ABC中，已知B=45°，C=60°，則三角形的面積S=_12. 海上有A，B兩個小島相距10海里，從A島望，C島和B島成60°視角，從B島望A島和C島成75°視角，則B島和C島的距離是 海里*13. 在三角形ABC中，若acosA+bcosB=c cosC，則三角形ABC的形狀是 *14. 若等腰三角形的頂角是20°，底邊和一腰長分別是b，a，則下列結論不成立的是 （1），（3）（4）三、計算題：*15.

15、 已知地面上有一旗桿OP，為了測得其高度h，地面上取一基線AB，AB=20米，在A處測得P點的仰角OAP=30°，在B處測得P點的仰角OBP=45°，又知AOB=60°，求旗桿的高度h.16. 已知小島A的周圍38海里內有暗礁，船正向南航行，在B處測得小島A在船的南偏東30°，航行30海里后在C處測得小島A在船的南偏東45°，如果此船不改變航向，繼續向南航行，問有無觸礁的危險？*17. 在圓心角為60°的扇形鐵板OAB中，工人師傅要裁出一個面積最大的內接矩形，求此內接矩形的最大面積。【試題答案】一、選擇題: C D A D C B B B二、填空題：9. 30 10.（1，3） 11. 12. 13. 直角三角形 14.（2）（3）（4）三、計算題：15.【分析】欲求旗桿的高度，只要注意到OP=OB=h.然后利用正弦定理或余弦定理解決即可。解：AO=OPcot30°=，OB=OP=h，在三角形ABO中：由余弦定理得：60°答：所求旗桿的高度是。16.【分析】要判斷船有無觸礁的危險，只要判斷A到BC的直線距離是否大于38海里就可以判斷。解：在三角形ABC中：BC=30，B=30°，ACB=180°45°=1