1、2011年全國高中數學聯賽模擬卷一 試（考試時間：80分鐘 滿分100分）一、填空題（共8小題，分）1、已知,點(x,y)在直線 x+2y=3上移動,當取最小值時,點(x ,y )與原點的距離是。2、設為正整數n（十進制）的各數位上的數字的平方之和，比如。記，則。3、如圖，正方體中，二面角的度數是。4、在中隨機選取三個數，能構成遞增等差數列的概率是。5、若正數滿足，則的最大值是。6、在平面直角坐標系中，給定兩點M（-1，2）和N（1，4），點P在X軸上移動，當MPN取最大值時，點P的橫坐標是。7、已知數列滿足關系式且，則的值是。8、函數在時的最小值為。二、解答題（共3題，）9、設數列滿足條件：

2、，且)求證：對于任何正整數n，都有：10、已知曲線，為正常數直線與曲線的實軸不垂直，且依次交直線、曲線、直線于、4個點，為坐標原點。（1）若，求證：的面積為定值；（2）若的面積等于面積的，求證：11、已知、是方程（）的兩個不等實根，函數的定義域為，。 （）求 （）證明：對于，若，則。二 試（考試時間：150分鐘 總分：200分）EFABCGHPO1。O2一、（本題50分）如圖，O1和O2與ABC的三邊所在的三條直線都相切，E、F、G、H為切點，并且EG、FH的延長線交于P點。求證：直線PA與BC垂直。二、（本題50分）正實數，滿足。證明：三、（本題50分）對每個正整數n，定義函數（其中x表示不

3、超過x的最大整數，。試求：的值。四、（本題50分）在世界杯足球賽前，F國的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊員，準備讓他們在三場訓練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場，假設在比賽的任何時刻，這些隊員都有且只有一人在場上，并且A1、A2、A3、A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除，A5、A6、A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場換人的次數不限，那么，按每名隊員上場的總時間計，共有多少種不同的情況？答案與解析一、填空題1、。2= 4。x =,y =時取最小值,此時=。2、4。 解： 將記做，于是有從89開始，是周期為8的周期數列。故。3、60

4、°。 解：連結，垂足為E，延長CE交于F，則，連結AE，由對稱性知是二面角的平面角。連結AC，設AB=1，則中，在的補角，。4、。 解：三個數成遞增等差數列，設為 ，按題意必須滿足。 對于給定的d，a可以取1，2，2010-2d。 故三數成遞增等差數列的個數為 三數成遞增等差數列的概率為 。5、。 解：由條件，有，令；則，從而原條件可化為： 令則，解得，故6、1。 解：經過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上，設圓心為S（a，3a），則圓S的方程為：對于定長的弦在優弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大，所以，當取最大值時，經過M，N，P三點的圓S必與X軸相切于

5、點P，即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應的切點分別為，而過點M，N，的圓的半徑大于過點M，N，P的圓的半徑，所以，故點P（1，0）為所求，所以點P的橫坐標為1。7、。解：設即故數列是公比為2的等比數列，。8、4。 解：（由調和平均值不等式）要使上式等號成立，當且僅當（1）（2）得到，即得。因為，所以當時，。所以。二、解答題9、證明：令 ,則有 ，且 于是 由算術-幾何平均值不等式，可得+注意到 ，可知 ，即 BACQPyOCxDBA10、解：（1）設直線：代入得：，得：，設，則有，設，易得：，由得，故，代入得，整理得：，又，=為定值. （2）設中點為，中點為則，所以，、重

6、合，從而，從而，又的面積等于面積的，所以，從而.11、解：（）設則又故在區間上是增函數。（）證：，而均值不等式與柯西不等式中，等號不能同時成立，二 試一、證明：延長PA交EF于D，則PEG和PHF分別是ACD與ABD的截線，由梅涅勞斯定理得：=1=1PO1、O2都是ABC的旁切圓，HGEC=CG=（BC+CA+AB）=BF=HBO2O1A于是由、得：FEDCB=又RtAGO1RtAHO2=而O1、A、O2三點共線，且二、證明：原不等式可變形為即 由柯西不等式以及可得即 同理 上面三式相加并利用得三、解：對任意，若，則，設則讓a跑遍區間）中的所有整數，則于是下面計算畫一張2k×2k的表

7、，第i行中，凡是i行中的位數處填寫“*”號，則這行的“*”號共個，全表的“*”號共個；另一方面，按列收集“*”號數，第j列中，若j有T（j）個正因數，則該列使有T（j）個“*”號，故全表的“*”號個數共個，因此=.示例如下：ji1234561*2*3*4*56*則由此，記易得的取值情況如下：k123456789101112131415356678698881071010因此，據定義，又當，則從則四、解：設各人上場時間分別為7t1，7t2，7t3，7t4，13t5，13t6，13t7，(ti為正整數)得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3令t1+t2+t3+t4=x，t5+t6+t7=y，得方程7x+13y=270。即求此方程滿足4x38，3y20的整數解即6y4(mod 7)，3y2(mod7)，y3(mod 7)y=3，10，17，相應的x=3