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文檔簡介
1、2011年全國高中數(shù)學聯(lián)賽模擬卷一 試(考試時間:80分鐘 滿分100分)一、填空題(共8小題,分)1、已知,點(x,y)在直線 x+2y=3上移動,當取最小值時,點(x ,y )與原點的距離是。2、設為正整數(shù)n(十進制)的各數(shù)位上的數(shù)字的平方之和,比如。記,則。3、如圖,正方體中,二面角的度數(shù)是。4、在中隨機選取三個數(shù),能構成遞增等差數(shù)列的概率是。5、若正數(shù)滿足,則的最大值是。6、在平面直角坐標系中,給定兩點M(-1,2)和N(1,4),點P在X軸上移動,當MPN取最大值時,點P的橫坐標是。7、已知數(shù)列滿足關系式且,則的值是。8、函數(shù)在時的最小值為。二、解答題(共3題,)9、設數(shù)列滿足條件:
2、,且)求證:對于任何正整數(shù)n,都有:10、已知曲線,為正常數(shù)直線與曲線的實軸不垂直,且依次交直線、曲線、直線于、4個點,為坐標原點。(1)若,求證:的面積為定值;(2)若的面積等于面積的,求證:11、已知、是方程()的兩個不等實根,函數(shù)的定義域為,。 ()求 ()證明:對于,若,則。二 試(考試時間:150分鐘 總分:200分)EFABCGHPO1。O2一、(本題50分)如圖,O1和O2與ABC的三邊所在的三條直線都相切,E、F、G、H為切點,并且EG、FH的延長線交于P點。求證:直線PA與BC垂直。二、(本題50分)正實數(shù),滿足。證明:三、(本題50分)對每個正整數(shù)n,定義函數(shù)(其中x表示不
3、超過x的最大整數(shù),。試求:的值。四、(本題50分)在世界杯足球賽前,F(xiàn)國的教練員為了考察A1、A2、A3、A4、A5、A6、A7這七名隊員,準備讓他們在三場訓練比賽(每場比賽90分鐘)中都上場,假設在比賽的任何時刻,這些隊員都有且只有一人在場上,并且A1、A2、A3、A4每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被7整除,A5、A6、A7每人上場的總時間(以分鐘為單位)均被13整除如果每場換人的次數(shù)不限,那么,按每名隊員上場的總時間計,共有多少種不同的情況?答案與解析一、填空題1、。2= 4。x =,y =時取最小值,此時=。2、4。 解: 將記做,于是有從89開始,是周期為8的周期數(shù)列。故。3、60
4、°。 解:連結,垂足為E,延長CE交于F,則,連結AE,由對稱性知是二面角的平面角。連結AC,設AB=1,則中,在的補角,。4、。 解:三個數(shù)成遞增等差數(shù)列,設為 ,按題意必須滿足。 對于給定的d,a可以取1,2,2010-2d。 故三數(shù)成遞增等差數(shù)列的個數(shù)為 三數(shù)成遞增等差數(shù)列的概率為 。5、。 解:由條件,有,令;則,從而原條件可化為: 令則,解得,故6、1。 解:經(jīng)過M、N兩點的圓的圓心在線段MN的垂直平分線y=3x上,設圓心為S(a,3a),則圓S的方程為:對于定長的弦在優(yōu)弧上所對的圓周角會隨著圓的半徑減小而角度增大,所以,當取最大值時,經(jīng)過M,N,P三點的圓S必與X軸相切于
5、點P,即圓S的方程中的a值必須滿足解得 a=1或a=7。即對應的切點分別為,而過點M,N,的圓的半徑大于過點M,N,P的圓的半徑,所以,故點P(1,0)為所求,所以點P的橫坐標為1。7、。解:設即故數(shù)列是公比為2的等比數(shù)列,。8、4。 解:(由調和平均值不等式)要使上式等號成立,當且僅當(1)(2)得到,即得。因為,所以當時,。所以。二、解答題9、證明:令 ,則有 ,且 于是 由算術-幾何平均值不等式,可得+注意到 ,可知 ,即 BACQPyOCxDBA10、解:(1)設直線:代入得:,得:,設,則有,設,易得:,由得,故,代入得,整理得:,又,=為定值. (2)設中點為,中點為則,所以,、重
6、合,從而,從而,又的面積等于面積的,所以,從而.11、解:()設則又故在區(qū)間上是增函數(shù)。()證:,而均值不等式與柯西不等式中,等號不能同時成立,二 試一、證明:延長PA交EF于D,則PEG和PHF分別是ACD與ABD的截線,由梅涅勞斯定理得:=1=1PO1、O2都是ABC的旁切圓,HGEC=CG=(BC+CA+AB)=BF=HBO2O1A于是由、得:FEDCB=又RtAGO1RtAHO2=而O1、A、O2三點共線,且二、證明:原不等式可變形為即 由柯西不等式以及可得即 同理 上面三式相加并利用得三、解:對任意,若,則,設則讓a跑遍區(qū)間)中的所有整數(shù),則于是下面計算畫一張2k×2k的表
7、,第i行中,凡是i行中的位數(shù)處填寫“*”號,則這行的“*”號共個,全表的“*”號共個;另一方面,按列收集“*”號數(shù),第j列中,若j有T(j)個正因數(shù),則該列使有T(j)個“*”號,故全表的“*”號個數(shù)共個,因此=.示例如下:ji1234561*2*3*4*56*則由此,記易得的取值情況如下:k123456789101112131415356678698881071010因此,據(jù)定義,又當,則從則四、解:設各人上場時間分別為7t1,7t2,7t3,7t4,13t5,13t6,13t7,(ti為正整數(shù))得方程 7(t1+t2+t3+t4)+13(t5+t6+t7)=90×3令t1+t2+t3+t4=x,t5+t6+t7=y,得方程7x+13y=270。即求此方程滿足4x38,3y20的整數(shù)解即6y4(mod 7),3y2(mod7),y3(mod 7)y=3,10,17,相應的x=3
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