1、探討不定積分的解題方法班級 學(xué)號 姓名20124111 2012411151 楊潔珊摘要在數(shù)學(xué)分析中，不定積分占有非常重要的地位，是高等數(shù)學(xué)教學(xué)的難點和重點具有很高的靈活性，可以開拓學(xué)生的思路，培養(yǎng)學(xué)生靈活的思維能力，同時還存在一題多解的方法使學(xué)生能過做到舉一反三、觸類旁通的教學(xué)效果。 為了正確使用各種積分方法求解不定積分，我們必須掌握它的概念和性質(zhì)以及積分的基本公式，才能夠在以后的解題中做題自如，進(jìn)行同類遷移。研究不定積分要重在提高自己的邏輯思維能力、科學(xué)分析能力、運用數(shù)學(xué)語言能力、聯(lián)想運算能力以及應(yīng)用能力。求解不定積分的過程對學(xué)生的科學(xué)思維和文化素質(zhì)的培養(yǎng)所起的作用極為明顯。求解不定積分的

2、方法主要有直接積分法（即直接利用積分公式求解）、換元積分法（第一換元積分法、第二換元積分法）、分部積分法。關(guān)鍵詞不定積分、直接積分法、換元積分法、分部積分法、分解積分法。前言正如假發(fā)有逆運算減法，乘法有其逆運算除法一樣，微分法也有它的逆運算積分法。我們已經(jīng)知道微分法的基本問題是研究如何從已知函數(shù)求出它的導(dǎo)函數(shù)，相反：求一個未知函數(shù)使其導(dǎo)函數(shù)恰好是某一已知函數(shù)。提出這個逆問題，首先是因為它出現(xiàn)在許多實際問題之中，如：已知速度求路程；已知加速度求速度；已知曲線上每一點處的，求曲線方程等等這些都是積分在生活中的應(yīng)用，特別是在物理學(xué)中的應(yīng)用，變力做功，質(zhì)點做變速直線運動的路程以及引力問題。所以掌握不定

3、積分的求法，在我們的數(shù)學(xué)物理科學(xué)研究工作中顯得尤為重要。標(biāo)題一、直接積分法我們已經(jīng)知道積分法是微分的逆運算，即直接積分法就是利用最基本的積分公式求解積分。要掌握這一方法首先就應(yīng)該熟記，并懂得靈活運用。下面的基本積分表就必須掌握23. 4在實際計算中最重要的是要把復(fù)雜的運算轉(zhuǎn)化為熟悉的積分公式，如下幾種情況(1).假分式化為真分式方法：分母不改變，對分子進(jìn)行拼湊，轉(zhuǎn)化為真分式。例：(2).復(fù)雜的三角函數(shù)利用積化和差公式轉(zhuǎn)化為熟悉的積分公式例1：求解：（利用到公式7）例2：求解：（利用公式5）標(biāo)題二、換元積分法所謂不定積分的換元法，其實質(zhì)就是：當(dāng)直接求某個積分不能轉(zhuǎn)化為積分公式時，則通過換元轉(zhuǎn)化。

4、定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，在在區(qū)間上可導(dǎo)，且。（1）、第一換元法：如果不定積分在上存在，則不定積分在上也存在，且。該方法的基本思路是把所求的被積函數(shù)通過適當(dāng)?shù)淖兞看鷵Q后，化成積分公式中的某一被積形式，然后代入積分公式求出結(jié)果，所以，也稱為“湊微分法”。基本步驟是湊微分換元積分回代。（2）、第二換元法：如果在上存在反函數(shù)，且不定積分在上存在，則當(dāng)不定積分。基本步驟：換元積分回代。要掌握換元法關(guān)鍵在于能夠判斷是用哪一種，或許兩種還換元都可以，學(xué)會判斷，總結(jié)才是真正能夠運用著一方法的精髓。下面將對經(jīng)常遇到的情況進(jìn)行總結(jié)。第一換元法的應(yīng)用(1) “湊”：將被積函數(shù)中的某個函數(shù)直接與湊成微分形式；例：

5、求.分析：其中與湊成微分形式。解：=令則= 將回代，則,所以= (2) 變形后再“湊”，有些積分通過恰當(dāng)?shù)淖冃危印p、乘、除某 些因子）后，可以使用湊微分法。例：求 第二換元積分法的應(yīng)用一般地采用第二換元積分法的情形：被積函數(shù)中含有根式，目的是去掉根號。例1：求解：為去掉被積函數(shù)中的根式，取根的次數(shù)2與3的最小公倍數(shù)6，并令，則可把原來的不定積分化為簡單有理式的積分。解：例2:求解：令（同理可考慮t0的情況）于是有借助直角三角形，便于求出,故得常見的換元有：1. 令2.令3. 令標(biāo)題三：分部積分法定義：若與 可導(dǎo)，不定積分存在則也存在，并有。意義：我們知道直接積分法是求積分的基本方法，換元積

6、分法是求積分的重要方法，若這兩種方法均不能得出結(jié)果，就考慮分部積分法。該方法是化簡被積函數(shù)為可積形式的重要而有效的方法，可看成微分學(xué)中兩個函數(shù)乘積運算的逆運算。該積分法使用的范圍是兩種不同類型函數(shù)乘積形式的不定積分。其主要用于解決被積函數(shù)是兩種初等函數(shù)的乘積或單一個函數(shù)（對數(shù)函數(shù)。反三角函數(shù)，初等函數(shù)）的不定積分。利用此公式求積分的基本步驟是：基本類型：（1）降冪類型：求，等類型函數(shù)的不定積分時，可用分部積分法使逐漸降冪，即令。例：求解：令，則有，求得再令，則有，解得（2）升冪類型：求等類型函數(shù)的不定積分時，一般使用升冪法，令。例：求 解：令則有（3）超越函數(shù)超越函數(shù)型一般有等，使用循環(huán)法（4

7、）冪函數(shù)型如，一般使用遞推法，求出遞推公式。例:導(dǎo)出不定積分（n為正整數(shù)）的遞推公式。解：由此得到遞推公式標(biāo)題四：分解積分法如果不定積分按一般方法求較復(fù)雜, 而把作分解, 分解成的輔助積分有 r 個線性組合易積分, 那么復(fù)雜的求不定積分問題就轉(zhuǎn)變成簡單的積分和解線性方程組的問題, 這時分解積分法就起到了化繁為簡的作用。例：解：令則有 ， 那么由得，即再由得，即即可得總結(jié)：從上述例題可以看出，實際上分解積分法的求解思路, 可用于任何求解題中, 只要把其中的看作所求量看作分解出的相應(yīng)量即可。結(jié)束語對于一些簡單的基本的不定積分，我們可以通過基本的積分公式直接進(jìn)行求解。對于難以直接用基本積分公式的積分

8、，我們有第一類換元積分法和第二類換元積分法，分部積分法以及分解積分法。對于某些特殊類型的不定積分，如一些有理函數(shù)的和可以化為有理函數(shù)的不定積分，無論不定積分有多么復(fù)雜，我們都可以按照一定的步驟求解。對于有理函數(shù)的不定積分，我們可以用待定系數(shù)法把它拆成一些分式的和，再按照基本積分公式求解；對于高階的積分，我們可以運用多次分部積分法遞推公式，也可以通過一些公式代換將它化為有理函數(shù)的不定積分，但在具體計算時，應(yīng)根據(jù)被積函數(shù)的特點而采用簡單靈活的代換；一些無理根式的不定積分，可以運用換元法將其化為有理函數(shù)的不定積分，再按照有理函數(shù)的不定積分方法進(jìn)行求解。相信只要我們能夠各種方法積分的特點，那么不定積分的求解問題就迎刃而解了。還有就是要注意一題多解的情況，這樣我們能夠更好的解答不定積分問題。參考文獻(xiàn)：（1）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析上冊，高等教育出版社，2010.7,第185面。（2）華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系編，數(shù)學(xué)分析上冊，高等教育出版社，2