1、三次函數與四次函數的認知及其應用俗話說：時勢造英雄. 同樣，知識的背景與考綱的制約，造就出三次函數以及四次函數的顯赫地位. “何須淺碧深紅色，自是花中第一流”：當今高考的導數試題，特別是文科高考導數試題，三次函數自然是無可爭議的“當家花旦”，四次函數也逐漸走上前臺，并且呈現出與三次函數一爭天下的態勢. 注意到現行教材中三次函數與四次函數理論的空缺，本文試對上述兩函數的圖象與性質作以探究與梳理，希望對教與學有所幫助.一、三次函數的圖象與極值設 .則 令方程 ，則三次函數的圖象與性質當分為三種情形：此時，注意到“一般存在于特殊之中”，故而考慮循著從特殊到一般的辯證途徑去認知三次函數的圖象與性質.特

2、殊：考察下列函數的圖象的特征與函數的極值.(1) （方程的判別式情形）；(2) （方程的判別式情形）；(3) （方程的判別式情形）.品悟上述函數的共性：(I)它們的圖象呈“N”字形（時的常態情形更為形象）；(II)一次方程有實根并且在點兩側的符號相反.由此猜想“一般”，從而認知1、三次函數的圖象(1)當三次項系數時，三次函數的圖象呈“N”字形； 當三次項系數時，三次函數的圖象呈“倒N”字形.(2)令方程=0的實根為則點為三次函數的對稱中心與拐點.（證明從略）.2、三次函數的極值(1)三次函數極值的存在性對于二次方程 的判別式(i) 有極大值與極小值. 令方程的兩個實根為，則當時，函數圖象左“峰

3、”右“谷”：； 當時，函數圖象左“谷”右“峰”：.(ii) 無極值. 其中，當在R上單調遞增； 當在R上單調遞減.(2)三次函數的極值與相應三次方程的實根(i)三次方程有一個實根與兩個虛根.(ii)三次方程有二相等實根.此時，三次方程有二相等實根 .(iii)三次函數有一個實根與兩個共輪虛根 或單調且.范例：1、(07·津). 設函數.(1)當a=1時，求曲線在點處的切線方程；(2)當a0時，求函數的極值；(3) 當a>3時，證明：存在使得不等式對任意恒成立.分析：幸會三次函數問題，關于三次函數的認知立即浮上腦海：圖象已然在胸，只待展示過程. 在這里，這一特殊的三次函數的圖象為

4、常態“倒N”字形，經過原點，并且在點a處與x軸相切. 當a>0時，其圖象形如于是，的單調性及其極值系列一片清明.解：(1)當a=1時， 曲線在點處的切線方程為 即 (2)當 令 以下為比較的大小而討論.(i)若的變化情況如下表：00時取得極小值； 當時取得極大值(ii)若 同理可得 的極小值 的極大值(3)證：注意到 令 ， 則當 又由(1)知當上遞減， 欲使不等式 成立， 只要 對任意成立 只要 恒成立 又令 則等價于 而且由得 由此解得 注意到這里于是由得.因此可知，在區間-1，0上存在，使得對任意恒成立.點評：對于(3)，為利用的單調性“脫去”所給不等式中的函數符號“f”，往往循著

5、“從內向外”的順序走向深入：首先了解內層函數的取值范圍，再而鎖定所要“立足”的單調區間，進而利用在相應區間上的單調性脫去“f”. 于是，化生為熟或化繁為簡的意圖得以實現.2、（08·徽）已知函數 (1)已知函數；(2)已知不等式成立，求實數x的取值范圍.解：(1) 由題設得 .(2)由題設知 成立 成立. 成立 （分離參數） 令 則由得 成立 由得 “下確界”) 所求實數x的取值范圍為-2，0.點評：當年李清照感慨：“一種相思，兩處閑愁”. 今日面對中的不等式，亦有類似的感悟：“一個式子，兩方轉化”：恒成立的最大值（或的“上確界”）；亦有恒成立的最小值（或的“下確界”）.二、四次函數

6、的圖象與極值設四次函數則 借鑒研究三次函數的經驗，循著“特殊一般”的途徑，不難發現四次函數圖象的特征.1、四次函數的圖象(1)宏觀形狀當四次項系數a>0時，若有三個相異實根（即），則的圖象呈“W”字形；若有等根或虛根（即），則的圖象呈“”字形；當四次項系數a<0時，若有三個相異實根（即），則的圖象呈“倒W”字形；若有等根或虛根（即），則的圖象呈“倒”字形.(2)“對稱”認知當時，令的兩個實根分別為，則由韋達定理得 .此時，若則成立，從而的拐點關于直線對稱，的圖象亦關于直線對稱.2、四次函數的極值與相應四次方程的實根(1)若三次方程 有相異的三個實根則當四次項系數a>0時，有一

7、個極大值，兩個極小值、.(2)若三次方程有等根或虛根則當四次項系數a>0時，僅有一個極小值； 當四次項系數a<0時，僅有一個極大值.(3)設四次函數的極小值為（或極大值為），則四次方程的實根情況，一般是立足于(1)、(2)關于四次函數的極值情況的認知，通過考察的圖象與直線或的交點情況獲知結果.范例：設函數 (1)當的單調性； (2)若函數處有極值，求a的取值范圍；(3)若對于任意上恒成立，求b的取值范圍.分析：由前面的認識可知，(1)中四次函數的圖象為“W字形”. 于是，未曾解題之時，腦海中已經呈現的單調區間與極值點的明晰的輪廊，解題之時自然倍加清明而堅定. “世路如今看慣，此心到處悠然”（宋·張孝祥）. 此時，（函數）圖象如今見慣，此心自信悠然. 解題憑此又增添幾分勝算.解：(1) 當 令 此時，當變化時的變化情況如下表：02000由此可知，在，內是增函數； 在，內是減函數.(2)注意到 顯然 的根. 僅在處有極值 附近改變符號 成立 此時，的唯一極值（極小值） 所求a的取值范圍為(3)由 成立 當對任意 上恒成立.由此得 所求滿足條件的b的取值范圍為點評：對于(2)，需要注意方程的根（駐點）與極值點