1、.1第七章第七章 靜定結構位移計算靜定結構位移計算 虛功原理虛功原理一、虛功原理一、虛功原理1虛功的概念虛功的概念 力在自身作用下產生的位移上作功稱為（外力）實功，如力在自身作用下產生的位移上作功稱為（外力）實功，如P在在11上作功。上作功。PP1121 力在其它因素產生的位移上作功稱為（外力）虛功，如力在其它因素產生的位移上作功稱為（外力）虛功，如 在在21上作功。上作功。P.22虛功原理虛功原理 彈性體在外力作用下產生變形，根據功能原理，外力作功轉彈性體在外力作用下產生變形，根據功能原理，外力作功轉換為彈性體的變形能（內力功），儲存在彈性體內。換為彈性體的變形能（內力功），儲存在彈性體內。

2、（外力實功）（外力實功）W（內力實功）（內力實功）U，稱為，稱為實功原理實功原理。（外力虛功）（外力虛功） （內力虛功）（內力虛功） ，稱為，稱為虛功原理虛功原理。WU 實功原理只能求單一荷載下，荷載作用點處沿荷載作用方向實功原理只能求單一荷載下，荷載作用點處沿荷載作用方向的位移，實際應用價值不大。的位移，實際應用價值不大。 虛功原理可求任意荷載下，任意位置、任意方向的位移，及虛功原理可求任意荷載下，任意位置、任意方向的位移，及溫度改變、支座移動引起的位移，具有廣泛的應用價值。溫度改變、支座移動引起的位移，具有廣泛的應用價值。在虛功在虛功原理中原理中，力是虛擬的力是虛擬的，而位移是真實的而位移

3、是真實的，所以該原理更確切應稱所以該原理更確切應稱為為虛力原理虛力原理。 應用虛力原理求結構的位移，與虛擬力的大小無關，為計算應用虛力原理求結構的位移，與虛擬力的大小無關，為計算方便虛擬力取單位方便虛擬力取單位1，故這種求位移的方法也稱為，故這種求位移的方法也稱為單位力（荷載）單位力（荷載）法法。.33虛功的計算虛功的計算外力虛功的計算：外力虛功的計算：1W內力虛功的計算：內力虛功的計算：虛擬力狀態虛擬力狀態實際位移狀態實際位移狀態.4dxNNdxQdxQMM虛擬力狀態虛擬力狀態實際位移狀態實際位移狀態dxdxdxd(l)NPNPQPQPdd內力虛功：內力虛功：dMdQldNU)(EAdxNN

4、PMPMPGAdxkQQPEIdxMMP.5 由虛功原理由虛功原理 得位移計算的一般公式得位移計算的一般公式WUdxEIMMdxGAQQkdxEANNPPPNMQ 、 、 為單位荷載下的軸力、剪力和彎矩；為單位荷載下的軸力、剪力和彎矩； NP、QP、MP 為實際荷載下的軸力、剪力和彎矩。為實際荷載下的軸力、剪力和彎矩。二、靜定梁、剛架的位移計算二、靜定梁、剛架的位移計算1積分法積分法 以彎曲變形為主的桿件，如梁、剛架等，只計彎曲變形的虛以彎曲變形為主的桿件，如梁、剛架等，只計彎曲變形的虛功，略去剪切、拉壓變形的虛功，于是虛功原理功，略去剪切、拉壓變形的虛功，于是虛功原理 可簡化為：可簡化為：d

5、xEIMMP等截面桿可寫作：等截面桿可寫作：dxMMEIP1.6【例【例71】應用虛功原理（積分法）求圖示懸臂梁自由端】應用虛功原理（積分法）求圖示懸臂梁自由端C的豎向的豎向位移位移Cy和轉角和轉角C 。x1x2x1x21PMP(x1)MP(x2)MP(x1)=0MP(x2)=2221qx)(1xM11)(xxM)(2xMlxxM22)(dxMMEIPCy122022)(211dxlxqxEIlEIql2474.7【例【例71】應用虛功原理（積分法）求圖示懸臂梁自由端】應用虛功原理（積分法）求圖示懸臂梁自由端C的豎向的豎向位移位移Cy和轉角和轉角C 。x1x2x1x2MP(x1)MP(x2)M

6、P(x1)=0MP(x2)=2221qx)(1xM1)(1xM)(2xM1)(2xMdxMMEIPC1m=12022211dxqxEIlEIql63.82圖乘法圖乘法積分積分 可用幾何法（圖乘法）求之。可用幾何法（圖乘法）求之。dxMMPBAPdxMMBAPdxMxtgCxAtgCyAA MP圖的面積圖的面積yC MP圖形心所對圖形心所對 圖的豎距圖的豎距M于是虛功原理于是虛功原理 可寫作：可寫作：CyAEI1xdxMPMxCCyC.9注意注意*： 兩圖在桿同側，圖乘為正；在桿兩側，圖乘為負。兩圖在桿同側，圖乘為正；在桿兩側，圖乘為負。 yC所在的彎矩圖必須為同一直線，不是同一直線，需所在的彎

7、矩圖必須為同一直線，不是同一直線，需分段圖乘，并取和。分段圖乘，并取和。C1C2C3A1A2A3y1y2y3CyAEI1)(12211yAyAEI常用圖形的面積和形心位置：常用圖形的面積和形心位置：Cl/2l/2hA=lhhCl/32l/3A=lh/2l/2l/2A=2lh/382qlh C.10【例【例72】計算下列各對彎矩圖的圖乘結果。】計算下列各對彎矩圖的圖乘結果。C1C2y1y2（a）（b）CyC（a）123222122212lhhhlhhl（b）2432321lhhlh.113虛擬力狀態虛擬力狀態求求Cx1P1P求求Cy求求C求求DE1P1P求求B BC求求B B求求Ex1P1m1m

8、1m1m.124解題步驟：解題步驟： 畫荷載下的彎矩畫荷載下的彎矩MP圖；圖； 在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載，并畫在所求位移處，沿所求位移方向加單位荷載，并畫 圖；圖；M 由圖乘由圖乘 求位移。求位移。CyAEI1【例【例73】應用虛功原理（圖乘法）求圖示懸臂梁自由端】應用虛功原理（圖乘法）求圖示懸臂梁自由端C的豎向的豎向 位移位移Cy和轉角和轉角C 。.13MP圖圖M圖圖M圖圖)238323522(122lqlllqllEICyEIql24741)83222(122qllqllEICEIql63.14【例【例74】用虛功原理求圖示剛架】用虛功原理求圖示剛架C端的水平位移端的水平位移

9、Cx和轉角和轉角C 。EIqllqlllqllEICx83)283223222(1422EIqlqllEIC12)3122(132.15三、靜定桁架的位移計算三、靜定桁架的位移計算桁架各桿只有軸力，計算位移的虛功原理公式為：桁架各桿只有軸力，計算位移的虛功原理公式為：EAlNNP 為單位荷載下各桿軸力，為單位荷載下各桿軸力，NP為實際荷載下各桿軸力，為實際荷載下各桿軸力，l為桿長。為桿長。N桁架所受荷載都是作用在結點上，單位荷載也必須加在結點上。桁架所受荷載都是作用在結點上，單位荷載也必須加在結點上。圖示桁架圖示桁架求求Cx求求Dy求求BC1P1PaP21aP21.16【例【例75】用虛功原理求圖示桁架】用虛功原理求圖示桁架BC桿轉角