1、高中數學二項式定理綜合測試題(有答案)選修 2-3 1.3.1 二項式定理一、選擇題1二項式(a b)2n 的展開式的項數是()A 2n B 2n 1C 2n 1D 2(n 1) 答案 B2 (x y)n 的二項展開式中，第r 項的系數是()A Crn B Cr 1nC Cr 1n D ( 1)r 1Cr 1n 答案 D3在(x 3)10 的展開式中，x6 的系數是()A27C610 B 27C410C9C610 D 9C410 答案 D解析vTr+ 1 = Cr10x10-r( -3)r.令 10r=6, 解得r= 4.系數為(3)4C410 = 9c410.4. (2019全國I理，5)(

2、1 +2x)3(1 3x)5的展開式中 x的系數是 ()A4 B 2c2D 4 答案 c解析(1+2x)3(1 3x)5 =(1 +6x+12x + 8xx)(1 3x)5 ，故 (1 2x)3(1 3x)5 的展開式中含x 的項為1C35( 3x)3 12xC05=10x+12x = 2x,所以 x 的系數為 2.5在2x3 1x2n(nN*) 的展開式中，若存在常數項，則n 的最小值是()A 3 B 5C 8 D 10 答案 B解析Tr + 1 = Crn(2x3)n r1x2r =2nrCrnx3n 5r.令 3n 5r = 0, On, r、nZ.n 的最小值為5.6在(1 x3)(1

3、 x)10 的展開式中x5 的系數是()A297 B 252C 297 D 207 答案 D 解析 x5 應是(1 x)10 中含 x5 項與含 x2 項其系數為 C510+ C210( 1) =207.7 (2009 北京 ) 在 x2 1xn 的展開式中，常數項為15，則n的一個值可以是()A 3 B 4C 5 D 6 答案 D解析通項 Tr +1 = Cr10(x2)n r( 1x)r =(1)rCrnx2n 3r,常數項是 15,則 2n=3r,且 Crn=15,驗證n=6時，r = 4合題意，故選D.8 (2019 陜西理， 4)(x ax)5(xR) 展開式中x3 的系數為10，則

4、實數 a 等于 ()A 1 B.12C 1 D 2 答案 D解析 Cr5xr(ax)5 r = Cr5a5 rx2r 5,令 2r 5=3, r=4,由 C45a= 10,得 a=2.9若(1 2x)6 的展開式中的第2 項大于它的相鄰兩項，則x 的取值范圍是()A.112 vxv 15 B.16 <x< 15C.112VxV23 D.16 <x<25 答案 A解析由 T2T3得 C162x1C162xC26(2x)2112 vxv15.10在32x 1220 的展開式中，系數是有理數的項共有()A 4 項 B 5 項C 6 項 D 7 項 答案 A解析 Tr + 1

5、= Cr20(32x)20 -r-12r = - 22r(32)20 rCr20x20 r ，.系數為有理數，(2)r 與 220 r3 均為有理數，r 能被 2 整除，且20 r 能被 3 整除，故 r 為偶數，20 r 是 3 的倍數，020.= 2,8,14,20.二、填空題11 (1 x x2)(1 x)10 的展開式中，x5 的系數為 答案 16212 (1 x)2(1 x)5 的展開式中x3 的系數為 答案5解析解法一：先變形(1 + x)2(1 x)5 = (1 x)3(1 x2)2 = (1 x)3(1 +x4 2x2),展開式中 x3 的系數為一1 十 (2)C13( 1)

6、=5;解法二：C35( -1)3 + C12C25( 1)2 + C22C15( 1)=5.13 .若x2+1ax6的二項展開式中x3的系數為52,則a =( 用數字作答) 答案 2解析C36(x2)31ax3 = 20a3x3 = 52x3, a =2.14 (2019 遼寧理，13)(1 x x2)(x 1x)6 的展開式中的常數項為 答案 5 解析 (1 x x2)x 1x6=x 1x6 + xx 1x6 + x2x 1x6,要找出 x 1x6 中的常數項，1x 項的系數，1x2 項的系數，Tr+1 = Cr6x6 r( 1)rx r = Cr6( 1)rx6 2r,令 62r = 0,

7、 r = 3,令62r = 1,無解.令 6-2r = -2, r = 4.常數項為C36+ C46= 5.三、解答題15求二項式(a 2b)4 的展開式 解析 根據二項式定理(a + b)n = C0nan+ C1nan 1b+- + Cknan kbk+- +Cnnbnn 得(a + 2b)4 = C04a4+ C14a3(2b) + C24a2(2b)2 + C34a(2b)3 + C44(2b)4 =a4+ 8a3b+ 24a2b2+ 32ab3+ 16b4.16. mn nN*, f(x) = (1 + x)m+ (1 + x)n 展開式中 x 的系數為 19，求x2 的系數的最小值

8、及此時展開式中x7 的系數解析由題設 mn+ n=19,mi nN*.mi= 1n=18, mi= 2n=17,，mi= 18n=1.x2 的系數 C2rrfr C2n= 12(m2- m)+ 12(n2 - n) = m2- 19m+171.當m 9或10時，x2的系數取最小值 81,此時x7的系數為C79+ C710= 156.17已知在(3x 123x)n 的展開式中，第6 項為常數項(1) 求 n；(2) 求含 x2 的項的系數；(3) 求展開式中所有的有理項解析(1)Tr +1 = Crn(3x)n r( 123x)r= Crn(x13)n - r( - 12x- 13)r=(12)

9、rCrnxn 2r3.第6項為常數項，r = 5 時有 n2r3 = 0, n=10.令 n 2r3 = 2,得 r = 12(n 6) =2,所求的系數為 C210( 12)2 =454.(3) 根據通項公式，由題意得：10 2r3r10rZ令 102r3 =k(kZ),貝U 102r = 3k,即 r= 103k2=532k.rZ, k應為偶數，k可取2,0, 2,r = 2,5,8，第3項、第6項與第9項為有理項.它們分別為C210( 12)2x2 ， C510( 12)5，C810( 12)8x 2.18若x 124xn 展開式中前三項系數成等差數列求：展開式中系數最大的項解析通項為：Tr + 1 = Crn（x）n r124xr.由已知條件知：C0n+ C2n122= 2C1n12,解彳等:n=8.記第 r 項的系數為tr ，設第 k 項系數最大，則有：tktk 1 且 tktk 1.又 tr = Cr- 182 r + 1,于是有：Ck182 k 1Ck82