1、函數零點問題的一點思考如何找到f a f b樣0摘要：函數零點問題是高考的熱點，也是學生學習的難點 函數零點問題的解決方法也靈活多樣，充斥于各種模擬卷和教輔資料中的解答一般都是采用數形結合的方法 然而用數形結合的方法書寫解答題的嚴謹性使筆者產生了懷疑，筆者通過查找這類高考題的官方答案發現，他們的解答過程都是依據零點存在性定理和函數單調性. .但是這個解答過程的難點是滿足f a f b：0的零點區間a,b有時很難直接找到 關于這個問題筆者最近兩年一直在思 考和探索，試圖發現其中的一般規律. .關鍵詞：零點存在定理函數單調性2試題 1 1 :已知函數f x = -X2 2ex，m-1，g x =

2、x x 0, ,設xFx二gx-fx，若Fx有兩個不同零點，求實數m的取值范圍. .法 1 1：因為F x有兩個不同零點，所以方程g x - f x=0有 兩個不同的實根，即函數f x與g x的圖像有兩個不同的交點 作出g x，f x的大致圖像如圖 因為.2 2 2f(x)=x +2ex+m-1 =-(xe)-1 + e，所以其圖像的對稱軸為x = e,開口向下，最大值為m -1 e2，故當m -1 e22e，即m兮-e22e 1時，f x與g x的圖像有兩個不同的交點， 即程g x?-f x = 0有兩個不同的實根 所以m的取值范圍是(e2+2e+1,址).評注：法 1 1 是利用數形結合的

3、思想解答了該問題，這種方法直觀易懂，學生喜歡聽，老師也喜歡講 這是教輔資料上給出的解答過程，但是解答過程的嚴謹性值得商榷 二次函數f x的特征是學生熟知的， 而且解答過程也可以直接用二次函數的性質，但是g x的圖像說理不清 2e1 -2e x m 1,所以F x = 2x 1 -2e x2e2x法 2 2 :因為F x = x2F xJ _2ex2x2-e，令h x二2x3亠1 - 2e x2- e2, h x = 6x22 1 - 2e x, ,X1,X2是方程k x二0的兩實根，且X1：X2，因為e e - 1(x二e-；是二次函數k x的對稱軸），且k e=-e2e-e0 = k x2,

4、所以x2e,其中+ 匸蘭一1.由F(e)vO,F(X2)AO知F(x底區間(ex )上至少有l 2丿一個零點，又因為F x在e, :上遞增的，所以函數F x在e,=：上有且只有一個零點下面探究當m -e22e 1時，F x在x三O e上有且只有一個零點.當0一m e22e 1時，由F e：0，F 1二e2- 2e 3-m 0知F x在區間1,e上 至少有一個零點，又因為F x在0,e上遞減，所以F x在0,e上有且只有一個零點；當m 0時，Fe4二em，飛，24em- m，因為1 -2_10，em 4-m 0，所以F e 0，又因為F e：0,所以F x在區間e,e上至少有 一個零點，又因為F

5、 x在0,e上遞減，所以F x在0,e上有且只有一個零點.綜上所述：當m -e2 2e 1時，F x在x 0,e上有且只有一個零點.綜上所述：函數F(x )有兩個不同零點時，實數m的取值范圍是(-e2+2e + 1,址).2e 1由hx 0得xf2e_1、.所以h(x)在0,-上遞減，在逖+j上遞增，且22e 1hO=e,he=O，e -，所以任意x 0,e，3h x : 0,F x : 0,F x在0, e上遞減； 任意x(e,邑)，h(x)O,F(X)AO,F x在e,=上遞增；所以2Fxmin=Fe=-e 2e1-m.m虧e22e 1時22eF x = x 1-2e xm 1xx21 -

6、2e x-m 1m+1.因為me22e 1,所以m 1-2eY-Ii 2丿- 1e,故方程!4（丄12e丄x +- 1 =m +1 2丿主 I必有兩個不同的實數解.設kx/4 2exm1，22e-1xm2評注：法 2 2 是基于零點存在性定理和函數單調性解答問題的，整個過程是很嚴謹的. .顯然法 2 2 也是很繁瑣的，特別是想找到滿足f a f b : 0的零點區間a,b是很困難的，費 時又費力 當今的教學理念是追求高效課堂、高效學習，那么又有多少人能夠靜下心來思考 這樣的問題呢 如果學生和老師都滿足于法1 1 不敢或不愿去研究法 2 2,那么我們的備考方向是否有失偏頗。更重要的是，長此以往學

7、生的思維能力的發展也可能受到阻礙一點思考：其實法 1 1 和法 2 2 也是有聯系的，從法 1 1 圖中可以看出隨著m的增大，函 數F x的零點越來越靠近坐標原點，是無限逼近，這個逼近狀態是使我們在法2 2 中很難在x0,e內找到函數值為正的根本原因 發現了這個特征后，我們就可以不斷地取逼近零的正數，并計算其函數值，觀察是否為正數 在m .0條件下，我們通過多次嘗試找到了 0,e，且F0. .之所以選擇e的指數幕，是基于指數函數的性質：當m0時，趨于零的速度較快 為了在 erer：內找到一個正的函數值， 我們利用不等式放2縮的方法 當x 0時，F x = x2 1 - 2e x邑 -m Tx2

8、 1 - 2e x - mT 恒成立,x構造二次函數，在e, :內找到二次函數的一個零點即可 縱觀 1616 和 1717 年的全國卷 1 1 中的高考題可以發現，一般題目都會設計一個難點：極值點某一側滿足f a f b : 0的零點區間a,b是很難找到的 比如已知函數f(x)(x-2) exa(x -1)2有兩個零點 求a的取值范圍 當a0時，很難在 ,1內找到一個正的函數值 通過考察函數y = (x-2bx和Iy = -a(x-1 丫的圖像不難發現：當a趨向于零時，f(x)的零點趨 二二口 * 向于負無窮大. .f(0)=a 2，當a2時，f (0) 0，f(1)c0，、丿所以f x在0,

9、1內至少有一個零點；當a =2時，f x有一個零a、(a、f In0，又f(1) 0，所以f(x)在In ,1|內至少有一個零點 之所以選擇In點是零；當0：a：r a)af昇2af In _ | =2 In i一3In l 2 丿2I 2丿2a因為01，所以2a，是l2丿l2丿a因為當a趨向于零時，In趨向于負無窮大 再如已知函數f x = ae2xa-2ex-x有兩2個零點，求a的取值范圍 當0 : a 1時，這個問題難點的突破是利用不等式exx對函數進行放縮，得到f x = ae2xa一2 ex_ x . ae2xa - 2 ex一ex. exaex a - 3，由e*(ae* +a 3 )= 0得x = In 1，且Inn丄，從而得到f n1卜0,2 丿 2 丿a12丿丿f1 (1f37又f In i0，所以函數f (x)在In-,ln _1 i內至少有一個零點 Ia丿ia(a丿丿小結：通過以上分析，不難發現找到滿足f a f b : 0的零點區間a,b的途徑一般有兩種：一是利用重要不等式(exx 1,In x：x-1