1、Jacobi 迭代法與Gauss-Seidel迭代法算法比較 目錄1 引言11.1 Jacobi迭代法21.2 Gauss-Seidel迭代法21.3 逐次超松弛（SOR）迭代法32算法分析33 結(jié)論54 附錄程序5參考文獻(xiàn)8Jacobi 迭代法與Gauss-Seidel迭代法比較1 引言 解線性方程組的方法分為直接法和迭代法，直接法是在沒有舍入誤差的假設(shè)下，能在預(yù)定的運(yùn)算次數(shù)內(nèi)求得精確解，而迭代法是構(gòu)造一定的遞推格式，產(chǎn)生逼近精確值的序列。這兩種方法各有優(yōu)缺點(diǎn)，直接法普遍適用，但要求計(jì)算機(jī)有較大的存儲(chǔ)量，迭代法要求的存儲(chǔ)量較小，但必須在收斂性得以保證的情況下才能使用。對(duì)于高階方程組，如一些偏

2、微分方程數(shù)值求解中出現(xiàn)的方程組，采用直接法計(jì)算代價(jià)比較高，迭代法則簡單又實(shí)用，所以比較受工程人員青睞。迭代法求解方程組就是構(gòu)造一個(gè)無限的向量序列，使它的極限是方程組的解向量。即使計(jì)算機(jī)過程是精確的，迭代法也不能通過有限次算術(shù)運(yùn)算求得方程組的精確解，而只能逐步逼近它。因此迭代法存在收斂性與精度控制的問題。迭代法是常用于求解大型稀疏線性方程組（系數(shù)矩陣階數(shù)較高且0元素較多），特別是某些偏微分方程離散化后得到的大型稀疏方程組的重要方法。設(shè)n元線性微分方程組 (1) 的系數(shù)矩陣A非奇異，右端向量,因而方程組有唯一的非零解向量。而對(duì)于這種線性方程組的近似解，前輩們發(fā)展研究了許多種有效的方法，有Jacob

3、i迭代法、GaussSeidel迭代法，逐次超松弛迭代法（SOR法），這幾種迭代方法均屬一階線性定常迭代法，即若系數(shù)矩陣A分解成兩個(gè)矩陣N和P的差，即；其中N為可逆矩陣，線性方程組(1)化為：可得到迭代方法的一般公式： （2）其中：，對(duì)任取一向量作為方程組的初始近似解，按遞推公式產(chǎn)生一個(gè)向量序列，.，.，當(dāng)足夠大時(shí)，此序列就可以作為線性方程組的近似解。 一階定常迭代法收斂的充分必要條件是: 迭代矩陣G的譜半徑小于1，即；又因?yàn)閷?duì)于任何矩陣范數(shù)恒有G，故又可得到收斂的一個(gè)充分條件為：G< 1。1.1 Jacobi迭代法若D為A的對(duì)角素構(gòu)成的對(duì)角矩陣，且對(duì)角線元素全不為零。可以將系數(shù)矩陣A分

4、解為： 其中，D為系數(shù)矩陣A的對(duì)角元素構(gòu)成的對(duì)角陣，L為嚴(yán)格下三角陣，U為嚴(yán)格上三角陣。在迭代法一般形式中，取，形成新的迭代公式，其中任取，則Jacobi迭代的迭代公式為： (3)式中: ; , 稱為Jacobi迭代矩陣. 其計(jì)算公式為: ， （4） 如果迭代矩陣的譜半徑，則對(duì)于任意迭代初值，Jacobi迭代法收斂；如果GJ<1，則Jacobi迭代法收斂；如果方程組的系數(shù)矩陣是主對(duì)角線按行或按列嚴(yán)格占優(yōu)陣，則用Jacobi迭代法求解線性方程組必收斂。1.2 Gauss-Seidel迭代法從Jacobi迭代可以看出，用計(jì)算時(shí)，需要同時(shí)保留這兩個(gè)向量。事實(shí)上如果每次獲得的分量能夠在計(jì)算下一個(gè)

5、分量時(shí)及時(shí)更新的話，既節(jié)省了存儲(chǔ)單元，又能使迭代加速，這就是Gauss-Seidel方法。對(duì)于非奇異方程組，若D為A的對(duì)角素構(gòu)成的對(duì)角矩陣，且對(duì)角線元素全不為零；系數(shù)矩陣A的一個(gè)分解： (5)在迭代法一般形式中，取，形成新的迭代公式，其中任取，則Gauss-Seidel迭代法的迭代公式為: （6）上式中: 是其右端常數(shù)項(xiàng)；為Gauss-Seidel迭代法的迭代矩陣，其計(jì)算公式為：， （7）若GS法收斂的充分必要條件是；如果GG<1,則GS法收斂；如果線性方程組的系數(shù)矩陣A為主對(duì)角線按行或按列嚴(yán)格占優(yōu)陣，或者為正定矩陣，則對(duì)于任意初值用GS法求解必收斂。1.3 逐次超松弛（SOR）迭代法

6、一般而言，因Jacobi迭代收斂速度不夠快，所以在工程中用的并不是太多。并且在Jacobi迭代收斂速度很慢的情況下，通常Gauss-Seidel迭代法也不會(huì)太快。可以對(duì)Gauss-Seidel迭代公式做適度修改，提高收斂速度，這就是逐次超松弛迭代法。設(shè)線性方程組的系數(shù)矩陣A滿足，。可將系數(shù)矩陣A分解為 (8)其中實(shí)常數(shù)>0稱為松弛因子。在迭代法一般形式中，取, 得到迭代公式 ， （9）其中任取。這就是逐次超松弛迭代法，當(dāng)=1時(shí)該式就是高斯法。SOR法迭代矩陣是整理后得到SOR迭代法的實(shí)際計(jì)算公式為： ；（10） SOR方法收斂的充分必要條件是；如果GS<1，則SOR方法收斂；SOR

7、方法收斂的必要條件是；如果方程組的系數(shù)矩陣A是主對(duì)角線按行或者列嚴(yán)格占優(yōu)陣，則用的SOR方法求解必收斂；如果方程組的系數(shù)矩陣是正定矩陣，則用的SOR方法求解必收斂。2 算法分析例1 用雅可比迭代法求解下列方程組解 將方程組按雅可比方法寫成取初始值按迭代公式進(jìn)行迭代，其計(jì)算結(jié)果如表1所示 。表1 01234567 00.720.9711.0571.08531.09511.098300.831.0701.15711.18531.19511.198300.841.1501.24821.28281.29411.2980例2 用高斯塞德爾迭代法求解例1.解 取初始值，按迭代公式進(jìn)行迭代，其計(jì)算結(jié)果如下表

8、2表2 0123456700.721.043081.093131.099131.099891.099991.100.9021.167191.195721.199471.199931.199991.201.16441.282051.297771.299721.299961.31.33 結(jié)論使用Gauss-Seidel迭代法迭代法，7次就可以求出方程的解，收斂速度要比Jacobi迭代法收斂快(達(dá)到同樣的精度所需迭代次數(shù)少)；但是這個(gè)結(jié)論,在一定條件下才是對(duì)的,甚至有這樣的方程組,雅可比方法收斂，而高斯塞德爾迭代法卻是發(fā)散的.4 附錄程序/* 求解線性方程組-Gauss-Seidel迭代法 */#i

9、nclude <iostream>#include <cmath>using namespace std;/* 二維數(shù)組動(dòng)態(tài)分配模板 */template <class T>T* Allocation2D(int m, int n) T *a; a = new T*m; for (int i=0; i<m; i+)ai = new Tn; return a;/* 一維數(shù)組動(dòng)態(tài)分配模板 */template <class T>T* Allocation1D(int n) T *a; a = new Tn; return a;/* 求矩陣的一范

10、數(shù) */float matrix_category(float* x, int n)float temp = 0;for(int i=0; i<n; i+)temp = temp + fabs(xi);return temp;int main()const int MAX = 1000; / 最大迭代次數(shù)int i,j,k; / 循環(huán)變量int n; / 矩陣階數(shù)float* a; / 增廣矩陣float* x_0; / 初始向量float* x_k; / 迭代向量float precision; / 精度cout<<"輸入精度e:"cin>>

11、precision;/* 動(dòng)態(tài)生成增廣矩陣 */cout<<endl<<"輸入系數(shù)矩陣的階數(shù)，N："cin>>n;a = Allocation2D<float>(n, n+1);/* 輸入增廣矩陣的各值 */cout<<endl<<"輸入增廣矩陣的各值：n"for(i=0; i<n; i+)for(j=0; j<n+1; j+)cin>>aij;/* 生成并初始化初始向量 */x_0 = Allocation1D<float>(n);cout<

12、;<endl<<"輸入初始向量:n"for(i=0; i<n; i+)cin>>x_0i; /* 生成迭代向量 */x_k = Allocation1D<float>(n);float temp;/* 迭代過程 */for(k=0; k<MAX; k+) for(i=0; i<n; i+)temp = 0;for(j=0; j<i; j+)temp = temp + aij * x_kj; x_ki = ain - temp;temp = 0;for(j=i+1; j<n; j+)temp = temp

13、 + aij * x_0j;x_ki = (x_ki - temp) / aii;/* 求兩解向量的差的范數(shù) */for(i=0; i<n; i+)x_0i = x_ki - x_0i;if(matrix_category(x_0,n) < precision)break;elsefor(i=0; i<n; i+)x_0i = x_ki;/* 輸出過程 */if(MAX = k)cout<<"迭代不收斂n" cout<<"迭代次數(shù)為："<<k<<endl;cout<<"解向量為：n" for(i=0;