1、一元一次不等式組知識要點及典型題目講解一、重點難點提示重點：理解一元一次不等式組的概念及解集的概念。難點：一元一次不等式組的解集含義的理解及一元一次不等式組的幾個基本類型解集的確定。 二、學習指導：1、幾個一元一次不等式合在一起，就組成了一個一元一次不等式組。但這“幾個一元一次不等式”必須含有同一個未知數，否則就不是一元一次不等式組了。 2、前面學習過的二元一次方程組是由二個一次方程聯立而成，在解方程組時，兩個方程不是獨立存在的（代入法和加減法本身就說明了這點）；而一元一次不等式組中幾個不等式卻是獨立的，而且組成不等式組的不等式的個數可以是三個或多個。（我們主要學習由兩個一元一次不等式組成的不

2、等式組）。 3、在不等式組中，幾個一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它們組成的一元一次不等式組的解集。（注意借助于數軸找公共解） 4、一元一次不等式組的基本類型（以兩個不等式組成的不等式組為例）類型（設a>b）不等式組的解集數軸表示1.（同大型，同大取大）x>a2.（同小型，同小取小） x<b3.（一大一小型，小大之間） b<x<a4.（比大的大，比小的小空集）無解 三、一元一次不等式組的解法 例1.解不等式組，并將解集標在數軸上 分析：解不等式組的基本思路是求組成這個不等式組的各個不等式的解集的公共部分，在解的過程中各個不等式彼此之間無關系，是獨立的，在每一

3、個不等式的解集都求出之后，才從“組”的角度去求“組”的解集，在此可借助于數軸用數形結合的思想去分析和解決問題。 解：解不等式(1)得x> 解不等式(2)得x4 （利用數軸確定不等式組的解集） 原不等式組的解集為<x4 步驟： （1）分別解不等式組的每一個不等式（2）求組的解集。 （借助數軸找公共部分） （3）寫出不等式組解集（4）將解集標在數軸上 例2.解不等式組 解：解不等式(1)得x>-1,解不等式(2)得x1, 解不等式(3)得x<2, 在數軸上表示出各個解為： 原不等式組解集為-1<x1 注意：借助數軸找公共解時，應選圖中陰影部分，解集應用小于號連接，由小

4、到大排列，解集不包括-1而包括1在內，找公共解的圖為圖（1），若標出解集應按圖（2）來畫。 例3.解不等式組 解：解不等式(1)得x>-1, 解不等式(2), |x|5, -5x5, 將(3)(4)解在數軸上表示出來如圖， 原不等式組解集為-1<x5。 四、一元一次不等式組的應用。 例4.求不等式組的正整數解。 步驟：解：解不等式3x-2>4x-5得：x<3，解不等式1得x2， 原不等式組解集為x2，這個不等式組的正整數解為x=1或x=2 1、先求出不等式組的解集。 2、在解集中找出它所要求的特殊解， 正整數解。 例5，m為何整數時，方程組的解是非負數？ 分析

5、：本題綜合性較強，注意審題，理解方程組解為非負數概念，即。先解方程組用m的代數式表示x, y, 再運用“轉化思想”，依據方程組的解集為非負數的條件列出不等式組尋求m的取值范圍，最后切勿忘記確定m的整數值。 解：解方程組得 方程組的解是非負數， 即 解不等式組此不等式組解集為m, 又m為整數，m=3或m=4。 例6，解不等式<0。 分析：由“”這部分可看成二個數的“商”此題轉化為求商為負數的問題。兩個數的商為負數這兩個數異號，進行分類討論，可有兩種情況。(1) 或(2)因此，本題可轉化為解兩個不等式組。 解：<0, (1) 或(2) 由(1)無解，由(2)-<x<, 原不

6、等式的解為-<x<。 例7.解不等式-33x-1<5。 解法（1）:原不等式相當于不等式組 解不等式組得-x<2，原不等式解集為-x<2。 解法（2）:將原不等式的兩邊和中間都加上1，得-23x<6, 將這個不等式的兩邊和中間都除以3得， -x<2, 原不等式解集為-x<2。 例8.x取哪些整數時，代數式與代數式的差不小于6而小于8。 分析：(1)“不小于6”即6, (2) 由題意轉化成不等式問題解決， 解：由題意可得，6-<8, 將不等式轉化為不等式組， 解不等式(1)得x6, 解不等式(2)得x>-, 原不等式組解集為-<x

7、6,-<x6的整數解為x=±3, ±2, ±1, 0, 4, 5, 6。 當x取±3，±2，±1，0，4，5，6時兩個代數式差不小于6而小于8。 例9.有一個兩位數，它十位上的數比個位上的數小2，如果這個兩位數大于20并且小于40，求這個兩位數。 分析：這題是一個數字應用題，題目中既含有相等關系，又含有不等關系，需運用不等式的知識來解決。題目中有兩個主要未知數-十位上的數字與個位上的數；一個相等關系：個位上的數十位上的數+2,一個不等關系：20<原兩位數<40。 解法（1）:設十位上的數為x, 則個位上的數為(x+2

8、), 原兩位數為10x+(x+2), 由題意可得：20<10x+(x+2)<40, 解這個不等式得，1<x<3, x為正整數，1<x<3的整數為x=2或x=3， 當x=2時，10x+(x+2)=24, 當x=3時，10x+(x+2)=35, 答：這個兩位數為24或35。 解法（2）:設十位上的數為x, 個位上的數為y, 則兩位數為10x+y, 由題意可得（這是由一個方程和一個不等式構成的整體，既不是方程組也不是不等式組，通常叫做“混合組”）。 將(1)代入(2)得，20<11x+2<40, 解不等式得：1<x<3, x為正整數，1&l

9、t;x<3的整數為x=2或x=3, 當x=2時，y=4，10x+y=24, 當x=3時，y=5, 10x+y=35。 答：這個兩位數為24或35。 解法（3）:可通過“心算”直接求解。方法如下：既然這個兩位數大于20且小于40，所以它十位上的數只能是2和3。當十位數為2時，個位數為4，當十位數為3時，個位數為5，所以原兩位數分別為24或35。 例10.解下列不等式：(1)|4；(2)<0； (3)(3x-6)(2x-1)>0。 （1）分析：這個不等式不是一元一次不等式，因此，不能用解一元一次不等式的方法來解。但由絕對值的知識|x|<a, (a>0)可知-a<

10、x<a, 將其轉化為；若|x|>a, (a>0)則x>a或x<-a。 解：|4, -44, 由絕對值的定義可轉化為： 即 解不等式(1)，去分母：3x-1-8, 解不等式(2)去分母：3x-18, 移項：3x-8+1,移項：3x8+1, 合并同類項：3x-7 合并同類項：3x9, 系數化為1，x-, 系數化為1：x3, ，原不等式的解集為-x3。 （2）分析：不等式的左邊為是兩個一次式的比的形式（也是以后要講的分式形式），右邊是零。它可以理解成“當x取什么值時，兩個一次式的商是負數？”由除法的符號法則可知，只要被除式與除式異號，商就為負值。因此這個不等式的求解問題

11、，可以轉化為解一元一次不等式組的問題。 解： <0，3x-6與2x+1異號， 即：I 或II 解I的不等式組得, 不等式組無解，解II的不等式組得, 不等式組的解集為-<x<2,原不等式的解集為-<x<2。 （3）分析：不等式的左邊是(3x-6)(2x+1)為兩個一次式的積的形式，右邊是零。它可以理解為“當x取何值時，兩個一次式的積是正數？”由乘法的符號法則可知只要兩個因式同號，積就為正值。因此這個不等式的求解問題，也可以轉化為解一元一次不等式組的問題。 解： (3x-6)(2x+1)>0, (3x-6)與(2x+1)同號， 即I或II 解I的不等式組得,

12、不等式組的解集為x>2,解II的不等式組得, 不等式組的解集為x<-, 原不等式的解集為x>2或x<-。 說明：ab>0(或>0)與ab<0（或<0）這兩類不等式都可以轉化為不等式組的形式，進行分類討論。這類問題一般轉化如下：（1）ab>0(或>0), a、b同號， 即I或II , 再分別解不等式組I和II， 如例10的（3）題。 （2）ab<0（或<0）, ab<0(或<0), a、b異號， 即I或II, 再分別解不等式組I和不等式組II。 例11.已知整數x滿足不等式3x-46x-2和不等式-1<,

13、并且滿足方程3(x+a)=5a-2試求代數式5a3-的值。 分析：同時滿足兩個不等式的解的x值實際是將這兩個不等式組成不等式組，這個不等式組的解集中的整數為x值。再將x值代入方程3(x+a)=5a-2，轉化成a的方程求出a值，再將a代入代數式5a3-即可。 解：整數x滿足3x-46x-2和-1<, x為，解集的整數值， 解不等式(1)，得x-, 解不等式(2)得，x<1,的解集為-x<1。 -x<1的整數x為x=0, 又x=0滿足方程3(x+a)=5a-2, 將x=0代入3(x+a)=5a-2中, 3(0+a)=5a-2, a=1, 當a=1時，5a3-=5×

14、13-=4, 答：代數式5a3-的值為4。 一次不等式（組）中參數取值范圍求解技巧 (提高部分)已知一次不等式（組）的解集（特解），求其中參數的取值范圍，以及解含方程與不等式的混合組中參變量（參數）取值范圍，近年在各地中考卷中都有出現。求解這類問題綜合性強，靈活性大，蘊含著不少的技能技巧。下面舉例介紹常用的五種技巧方法。 一、化簡不等式（組），比較列式求解例1若不等式的解集為，求k值。 解：化簡不等式，得x5k，比較已知解集，得，。 例2（2001年山東威海市中考題）若不等式組的解集是x>3，則m的取值范圍是（ ）。A、m3B、m=3C、m<3D、m3 解：化簡不等式組，得，比較已

15、知解集x>3，得3m, 選D。 例3（2001年重慶市中考題）若不等式組的解集是-1<x<1，那么(a+1)(b-1)的值等于_。 解：化簡不等式組，得 它的解集是-1<x<1， 也為其解集，比較得 (a+1)(b-1)=-6. 評述：當一次不等式（組）化簡后未知數系數不含參數（字母數）時，比較已知解集列不等式（組）或列方程組來確定參數范圍是一種常用的基本技巧。 二、結合性質、對照求解例4（2000年江蘇鹽城市中考題）已知關于x的不等式(1-a)x>2的解集為，則a的取值范圍是（ ）。A、a>0B、a>1C、a<0D、a<1 解：對照

16、已知解集，結合不等式性質3得：1-a<0, 即a>1，選B。 例5（2001年湖北荊州市中考題）若不等式組的解集是x>a，則a的取值范圍是（ ）。 A、a<3B、a=3C、a>3D、a3 解：根確定不等式組解集法則：“大大取較大”，對照已知解集x>a,得a3, 選D。 變式（2001年重慶市初數賽題）關于x的不等式(2a-b)x>a-2b的解集是，則關于x的不等式ax+b<0的解集為_。 三、利用性質，分類求解例6已知不等式的解集是，求a的取值范圍。 解：由解集得x-2<0,脫去絕對值號，得。 當a-1>0時，得解集與已知解集矛盾；

17、當a-1=0時，化為0·x>0無解； 當a-1<0時，得解集與解集等價。 例7若不等式組有解，且每一個解x均不在-1x4范圍內，求a的取值范圍。 解：化簡不等式組，得 它有解， 5a-6<3aa<3；利用解集性質，題意轉化為：其每一解在x<-1或x>4內。于是分類求解，當x<-1時，得，當x>4時，得4<5a-6a>2。故或2<a<3為所求。 評述：(1)未知數系數含參數的一次不等式，當不明確未知數系數正負情況下，須得分正、零、負討論求解；對解集不在ax<b 范圍內的不等式(組)，也可分x<a或x b

18、 求解。(2)要細心體驗所列不等式中是否能取等號，必要時畫數軸表示解集分析等號。 四、借助數軸，分析求解 例8（2000年山東聊城中考題）已知關于x的不等式組的整數解共5個，則a的取值范圍是_。 解：化簡不等式組，得有解，將其表在數軸上，如圖1，其整數解5個必為x=1,0,-1,-2,-3。由圖1得：-4<a-3。 變式:(1)若上不等式組有非負整數解，求a的范圍。 (2)若上不等式組無整數解，求a的范圍。(答：(1)-1<a0；(2)a>1) 例9關于y的不等式組 的整數解是-3，-2，-1，0，1。求參數t的范圍。 解：化簡不等式組，得 其解集為 借助數軸圖2得 化簡得 , 。 評述：不等式(組)有特殊解(整解、正整數解等)必有解(集)，反之不然。圖2中確定可動點A、B的位置，是正確列不等