1、數(shù)學(xué)論文集美與數(shù)學(xué)論文集教學(xué)論文集    一、數(shù)學(xué)知識(shí)之結(jié)構(gòu)美與教學(xué)數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)主要包括數(shù)學(xué)概念、命題、法則以及內(nèi)容所反映出來(lái)之?dāng)?shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識(shí)之和諧美和簡(jiǎn)練美是數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)美之兩個(gè)主要方面。數(shù)學(xué)知識(shí)之和諧美是數(shù)學(xué)之普遍形式。教學(xué)時(shí)，教師不但要對(duì)這種美有較深刻之領(lǐng)悟，且要能藝術(shù)地表現(xiàn)出來(lái)。例如，在推導(dǎo)橢圓之標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，由定義“到兩定點(diǎn)F,1(c,0)和F,2(-c,0)距離之和為定長(zhǎng)2a之點(diǎn)之軌跡”可直接寫(xiě)出方程：。這個(gè)方程能正確地表達(dá)橢圓之代數(shù)形式，但比較復(fù)雜，更不便于計(jì)算，故化簡(jiǎn)整理成。方程中之b開(kāi)始似乎純粹是為了追求方程之和諧美而引進(jìn)之，但在

2、研究橢圓性質(zhì)時(shí)，可進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)a、b恰好為橢圓之長(zhǎng)、短半軸長(zhǎng)，b竟有鮮明之幾何解釋。人們內(nèi)心世界所追求之美恰好在外部世界得到如此完美之表現(xiàn)，這實(shí)際上也體現(xiàn)了美與美之間和諧之統(tǒng)一。教師在推導(dǎo)過(guò)程中之示范，喚醒了學(xué)生之審美意識(shí)，學(xué)生也進(jìn)入到美之境界，得到美之享受。在此基礎(chǔ)上，讓學(xué)生根據(jù)定義畫(huà)出橢圓，且要求他們用生動(dòng)形象之?dāng)?shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)自己之思維活動(dòng)。這樣，再讓學(xué)生感受和體驗(yàn)美之同時(shí)，激勵(lì)他們創(chuàng)造美，使數(shù)學(xué)美在教學(xué)中之作用發(fā)揮得淋漓盡致。數(shù)學(xué)知識(shí)之簡(jiǎn)練美是數(shù)學(xué)之主要藝術(shù)特色?！皵?shù)之整除”一章是初等數(shù)論中之一部分，為了照顧小學(xué)生之年齡特點(diǎn)，教材進(jìn)行了簡(jiǎn)化處理，結(jié)構(gòu)如下圖：附圖由圖看出，本章以倍數(shù)、約數(shù)為核

3、心構(gòu)建了知識(shí)之結(jié)構(gòu)美。事實(shí)上，對(duì)簡(jiǎn)練美之追求是數(shù)學(xué)研究之一部分，它促進(jìn)了數(shù)學(xué)理論之發(fā)展，也有益于知識(shí)之系統(tǒng)化。而數(shù)學(xué)知識(shí)之系統(tǒng)性，成為知識(shí)發(fā)展之主要特點(diǎn)：數(shù)學(xué)內(nèi)容之發(fā)生和發(fā)展都是與它之知識(shí)點(diǎn)之形成分不開(kāi)之，若干個(gè)知識(shí)點(diǎn)之間之聯(lián)系，既具有縱向之順序性，又具有橫向之層次性。二、數(shù)學(xué)思維之協(xié)同美與教學(xué)數(shù)學(xué)思維是人腦和數(shù)學(xué)對(duì)象交互作用并按一般之思維規(guī)律認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)規(guī)律之過(guò)程。數(shù)學(xué)思維之協(xié)同美大體上可從以下兩個(gè)方面表現(xiàn)出來(lái)。歸納和演繹之相互作用。數(shù)學(xué)中大量地需要?dú)w納，同時(shí)也需要演繹，在許多情況下兩者互為作用之。在數(shù)學(xué)教學(xué)中，總是既用歸納又用演繹。盡管兩者有各自不同之特點(diǎn)，但演繹推理之大前提表示一般原理之全稱

4、判斷要靠歸納推理來(lái)提供。為了增強(qiáng)歸納推理之可靠性，不管是以一般原理作指導(dǎo)還是對(duì)歸納推理之前提進(jìn)行分析，都要用演繹推理。歸納和演繹在思維運(yùn)行過(guò)程中這種辯證統(tǒng)一正體現(xiàn)了兩者之間是交互為用之。在小學(xué)數(shù)學(xué)中，限于兒童之認(rèn)知水平，數(shù)學(xué)知識(shí)之出現(xiàn)，較多地依賴于直觀、實(shí)驗(yàn)和歸納，適當(dāng)?shù)剡M(jìn)行演繹，以不斷提高學(xué)生之邏輯推理能力。例如加法交換律，最早出現(xiàn)在一年級(jí)，顯然不可能進(jìn)行演繹論證，只能通過(guò)計(jì)算實(shí)踐，由8+5=13,5+8=13等歸納出加法交換律，但在對(duì)加法交換律之反復(fù)應(yīng)用中又讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)演繹思想，因此，在教學(xué)中要貫徹“歸納與演繹交互為用”之原則。形式邏輯與辯證邏輯之并重和統(tǒng)一。一方面，數(shù)學(xué)中大量存在相對(duì)穩(wěn)定之

5、狀態(tài)，我們能用形式邏輯思維之方法進(jìn)行分析和研究數(shù)學(xué)對(duì)象。另一方面，也存在顯著之運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，如有限與無(wú)限之相互轉(zhuǎn)化，代數(shù)、幾何、三角各學(xué)科之間之轉(zhuǎn)化以及數(shù)學(xué)各種相關(guān)運(yùn)算方法之發(fā)展與對(duì)立統(tǒng)一等，故能用辯證思維之方法認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)概念之形成和關(guān)系之不斷發(fā)展變化。因此，在教學(xué)時(shí)要貫徹形式邏輯思維與辯證邏輯思維并重和統(tǒng)一之原則，發(fā)展學(xué)生之?dāng)?shù)學(xué)思維能力。以數(shù)學(xué)概念教學(xué)為例，按形式邏輯思維規(guī)律，對(duì)于每一個(gè)數(shù)學(xué)概念之認(rèn)識(shí)要前后一致，而且不容許存在不相容。如果存在著兩個(gè)互相排斥之認(rèn)識(shí)，那么其中必有一真一假，概念數(shù)學(xué)必須遵循上述邏輯規(guī)則進(jìn)行。但同時(shí)也應(yīng)指出，用運(yùn)動(dòng)和發(fā)展之觀點(diǎn)來(lái)思考，數(shù)學(xué)概念也是隨著學(xué)生學(xué)習(xí)之?dāng)?shù)學(xué)知識(shí)之結(jié)

6、構(gòu)之發(fā)展而發(fā)展之。許多對(duì)立之概念可以統(tǒng)一起來(lái)（如實(shí)數(shù)和虛數(shù)同處于復(fù)數(shù)中），一個(gè)概念在不同之場(chǎng)合或不同之條件下可能有不同之認(rèn)識(shí)（如三角函數(shù)之概念，最初學(xué)習(xí)之是銳角之正弦、余弦、正切和余切，被理解為直角三角形中一個(gè)銳角之對(duì)邊比斜邊、鄰邊比斜邊、對(duì)邊比鄰邊和鄰邊比對(duì)邊，以后發(fā)展到任意角之正弦、余弦、正切、余切、正割和余割），即使在小學(xué)數(shù)學(xué)之發(fā)展中也是這樣。我們知道，數(shù)學(xué)之發(fā)展歸根到底是數(shù)學(xué)概念之不斷發(fā)展，這種發(fā)展又有自身之規(guī)律。人們常說(shuō)之概念是在發(fā)展中形成，而且又是在形成后不斷發(fā)展之，所以一個(gè)數(shù)學(xué)概念具有確定性和靈活性兩個(gè)特點(diǎn)。就像“乘法”這個(gè)概念在整數(shù)和分?jǐn)?shù)中具有不同之?dāng)?shù)學(xué)含義一樣。正如列寧所說(shuō)“

7、所有之定義都只有有條件之、相對(duì)之意義，永遠(yuǎn)也不能包括充分發(fā)展之現(xiàn)象之各方面聯(lián)系”。這正是辯證邏輯思維在數(shù)學(xué)中之體現(xiàn)，與形成邏輯思維相比更高一級(jí)。三、數(shù)學(xué)方法之奇異美與教學(xué)恩格斯認(rèn)為，數(shù)學(xué)是一門(mén)研究思想事物之抽象之科學(xué)。確實(shí)，數(shù)學(xué)具有兩重屬性，這兩重性可簡(jiǎn)單地概括為：一是數(shù)學(xué)知識(shí)，二是數(shù)學(xué)思想方法。而數(shù)學(xué)方法是數(shù)學(xué)中最本質(zhì)之東西，數(shù)學(xué)方法之奇異美常常成為產(chǎn)生新思想、新方法和新理論之起點(diǎn)，使規(guī)律化、程式化之世界出現(xiàn)意外之、帶有獨(dú)創(chuàng)性之成果，令人興奮和激動(dòng)。如：“凸n(n4)邊形之對(duì)角線最多有幾個(gè)交點(diǎn)？”這個(gè)問(wèn)題，按照習(xí)慣，也許會(huì)從四邊形開(kāi)始，逐步通過(guò)五邊形、六邊形來(lái)構(gòu)造對(duì)角線之交點(diǎn)，從中歸納出一般

8、規(guī)律。當(dāng)一次次構(gòu)造之嘗試都未獲得理想之結(jié)果時(shí)，我們要敢于放棄傳統(tǒng)方法，另辟蹊徑：一個(gè)交點(diǎn)是由兩條對(duì)角線相交而成，兩條對(duì)角線由四個(gè)頂點(diǎn)確定，而凸n邊形任意四個(gè)頂點(diǎn)都能且只能確定一個(gè)交點(diǎn)，于是問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“在n個(gè)頂點(diǎn)中任意取四個(gè)，共有幾種取法？”新穎之方法帶來(lái)了意想不到之效果，這便是化歸法之奇異美所在。我們?cè)趥魇跀?shù)學(xué)知識(shí)之同時(shí)，更應(yīng)注重?cái)?shù)學(xué)方法之滲透，要求學(xué)生掌握方法之同時(shí)，能構(gòu)造出解題模式，使數(shù)學(xué)美得到升華。數(shù)和形是數(shù)學(xué)中最基本之兩大概念，是數(shù)學(xué)研究之兩個(gè)重要側(cè)面，所以數(shù)形結(jié)合法是數(shù)學(xué)研究之重要思想方法。教學(xué)時(shí)，可利用數(shù)形結(jié)合來(lái)啟發(fā)學(xué)生之直覺(jué)思維。如對(duì)于具有極限意義之問(wèn)題學(xué)生很難理解其結(jié)果，可以這樣做：讓學(xué)生觀察下圖，先將單位正方形分成100個(gè)小正方形，將99個(gè)涂上陰影；再將剩下之一個(gè)分成100個(gè)小正方形，將99個(gè)涂上陰影；如此無(wú)限下去，所有涂上陰影之小正方形之面積之和便為1，即，結(jié)果直接可從圖中得出。從這可以看出數(shù)形結(jié)合是直覺(jué)思維之橋梁，我們應(yīng)利用這一橋梁，使學(xué)生從美學(xué)角度審視或整理自己掌握之知識(shí)，這樣能使他們之知識(shí)結(jié)構(gòu)更完整、更充實(shí)。同時(shí)，為了