1、.1*三、二重積分的換元法三、二重積分的換元法 第二節(jié)二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 二重積分的計算.2為什么為什么21D0y xD1D2D3D4D:之之間間的的環(huán)環(huán)域域 和和 yxyx 4321DDDDI.怎么計算？怎么計算？ Dyxy,xfId)d(需使用需使用此題用直角系算麻煩此題用直角系算麻煩必須把必須把D分塊兒分塊兒!二、利用極坐標計算二重積分二、利用極坐標計算二重積分機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .3又如又如計算計算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD2xe的原函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題

2、故本題無法用直角坐標計算無法用直角坐標計算.由于由于機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 本題解法見后面本題解法見后面例題例題8也積不出！交換順序積不出！解：2222222222222/2/2/2/yayaxaayxaxayaaxdxedyedyedxe還可舉例還可舉例2222:,22ayxDdxdyeIDyx.4極坐標系下的面積元素極坐標系下的面積元素 DyxfId),(將將變換到極坐標系變換到極坐標系0D iriri+1iiirr .ir iiiiiirrrr2)( ),(iiiiiiiirrsin ,cos iiinif),(lim1 iiiiiiinirrrrf)sin,cos(lim1

3、 Drrrrfdd)sin,cos(.i. 是平均值)是平均值)ir ( i i i + iI = riiiiiirrr21)(2122 r cos ,rx ,rysin ? d .,d .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 用用 = =常數(shù)常數(shù)分割區(qū)域分割區(qū)域 D.51.極點不在區(qū)域極點不在區(qū)域 D 的內部的內部 0ABFE)(1 r)(2 r DD:)()(21 rrr rrrrrfrrd)sin,cos( )()(21 DyxyxfIdd),( Dyxy,xfId)d(r.60ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 D:)()(21 rrr .

4、Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(1.極點不在區(qū)域極點不在區(qū)域 D 的內部的內部 r.70ABFE)(1 r)(2 r Drrrrfrrd)sin,cos( )()(21 dD:)()(21 rrr . 步驟：步驟：1 從從D的圖形找出的圖形找出 r, 上、下限上、下限；2 化被積函數(shù)為極坐標形式；化被積函數(shù)為極坐標形式；3 面積元素面積元素dxdy化為化為rdrd . Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(1.極點不在區(qū)域極點不在區(qū)域 D 的內部的內部 r.82.極點位于區(qū)域極點位于區(qū)域 D 的內部的內部 0)( r Drrrrfrd)sin,cos( )(0 r

5、D:)(0 rr 20 DyxyxfIdd),( Dyxy,xfId)d(r機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .9)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd)sin,cos( )(0 D0. Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(2.極點位于區(qū)域極點位于區(qū)域 D 的內部的內部 r機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .10)( r D:)(0 rr 20 rrrrfrd )sin,cos( )(0 20d.D0 步驟：步驟：1 從從D的圖形找出的圖形找出 r, 上、下限上、下限；2 化被積函數(shù)為極坐標形式；化被積函數(shù)為極坐標形式；3 面積元素面積元素dxdy化為化為rdrd

6、. Dyxy,xfId)d( DyxyxfIdd),(2.極點位于區(qū)域極點位于區(qū)域 D 的內部的內部 r機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .110y x變變?yōu)闉闃O極坐坐標標形形式式 把把 d)d,( DyxyxfI所所圍圍區(qū)區(qū)域域與與 0 )( :222 yayaxD2a cos2ar . 20cos20d)sin,cos(darrrrf )(222ayax ,ar cos 即即解解例例1. DyxyxfIdd),(.代入 令 sincosryrx機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 （第一象限部分）（第一象限部分）(極點極點不在不在區(qū)域區(qū)域 D 的內部的內部).12此題用直角系算此題用直角系

7、算麻煩，需使用麻煩，需使用21D0y xD: 4321DDDDI變換到變換到 20 : rrrrf2021d)sin,cos(d. 之之間間的的環(huán)環(huán)域域 和和 yxyx 例例2. Dyxy,xfId)d(計算計算 DyxyxfIdd),(D: =1和和 =2 圍成圍成機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .13 )d,(d 變?yōu)闃O坐標形式變?yōu)闃O坐標形式 把把 RyRyxyxfyI2R區(qū)域區(qū)域邊界：邊界：x = 0 I.0y x 即即 r =2Rsin r =2Rsin 20sin20d)sin,cos(dRrrrrf例例3.22yRyx 2 2 即即 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .14

8、 DyxxyIddarctan計計算算 所所圍圍第第一一象象限限部部分分 y, xy,yx,yx:D 0y x12 y =xD 4021darctantandrr 4021ddrr2643 . I例例4.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .150y x4r = 4 cos 所所圍圍xy, yx, xyx,xyx:D 422xyx 822xyx r = 8 cos 8D 1 2,r cos 即即 即即 arctan 即即,r cos 即即例例5. Dyxy,xfId)d(計算計算y = 2xx = y機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .160y x 422xyx 822xyx yx 即即xy

9、2 arctan 即即r = 8 cos D48.r = 4 cos 2 1所所圍圍xy, yx, xyx,xyx:D ,r cos 即即 2arctan4cos8cos4d)sin,cos(drrrrf,r cos 即即例例5. Dyxy,xfId)d(計算計算I =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .173261sin4 ryxyxDdd)(22sin4sin22drrr)32(15yyx422yyx22203 yx例例6 計算計算其中其中D 為由圓為由圓所圍成的所圍成的,dd)(22yxyxD,222yyxyyx42203 xy及直線及直線, 03yx解：解：平面閉區(qū)域平面閉區(qū)域.03

10、 xysin2 roxy2436d機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .18例例7. 將積分化為將積分化為極坐標形式極坐標形式y(tǒng) = R x RR RRRxRyxyfx21)d(d )d(d21 RRRxyxyfxD1D2.R0y xD d)(tandarctan RRrrf )d(tanarctan RfR.22xRy d)d(tanarctan RRrrfarctanR.I =I =機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 r =R.19若若 f 1 則可求得則可求得D 的面積的面積d)(21202Dd思考思考: 下列各圖中域下列各圖中域 D 分別與分別與 x , y 軸相切于原點軸相切于原點,

11、試試答答: ;0) 1 ()(rDoyx)(rDoyx問問 的變化范圍是什么的變化范圍是什么?(1)(2)22)2(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 (極點位于區(qū)域極點位于區(qū)域 D 的內部的內部) .20例例8.計算計算,dd22Dyxyxe其中其中.:222ayxD解解: 在極坐標系下在極坐標系下,200:arD原式原式Drerard02are02212)1(2ae2xe的原函數(shù)不是初等函數(shù)的原函數(shù)不是初等函數(shù) ,故本題無法用直角坐標計算故本題無法用直角坐標計算.2reddrr20d由于由于故故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .21注注:利用利用例例8可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程

12、上可得到一個在概率論與數(shù)理統(tǒng)計及工程上非常有用的非常有用的反常反常積分公式積分公式2d02xex事實上事實上, 當當D 為為 R2 時時,Dyxyxedd22yexeyxdd2220d42xex利用利用例例8的結果的結果, 得得)1 (limd42220aaxexe故故式成立式成立 .機動機動 目錄目錄 上頁上頁 下頁下頁 返回返回 結束結束 .22例例9. 求球體求球體22224azyx被圓柱面被圓柱面xayx222)0( a所截得的所截得的(含在柱面內的含在柱面內的)立體的立體的體積體積. 解解: 設設由由對稱性對稱性可知可知20,cos20:arDdd4422rrraVD20d4cos2

13、022d4arrrad)sin1 (3322033a)322(3323aoxyza2機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .23時，請考慮用極坐標。為圓域、環(huán)域、扇形域且中，如果在或或DxygyxgyxgyxfdyxfD)()()(),(),(22常常用用D到到D的的轉轉換換tgxyCtgyxryxaCosrDayaxaSinrDaayxarDyxayxarDayx;20 ,22: )(4(;20 ,0: )() 3(;0 ,20: 0,)2(;0 ,20: ) 1 (222222222222222被積函數(shù)：、機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 極坐標下的二次積分注釋極坐標下的二次積分注釋.24

14、作業(yè)作業(yè)P138-139 2 ; 3; 4 (2), (4); 5 (2), (4); 6 第三節(jié) 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .25baxxfd)() )(txtttfd)()(定積分換元法定積分換元法三三*、二重積分換元法、二重積分換元法 ),(),(:vuyyvuxxTDDvu),(滿足滿足上在Dvuyvux),(, ),() 1 (一階導數(shù)連續(xù)一階導數(shù)連續(xù);雅可比行列式雅可比行列式上在D)2(;0),(),(),(vuyxvuJ(3) 變換變換DDT:則則Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(定理定理:,),(上連續(xù)在閉域設Dyxf變換變換:是一一對應的是一一對應的 ,v

15、uvuJdd),(ovuDoyxDT機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .26oyxDovuD證證: 根據(jù)定理條件可知變換根據(jù)定理條件可知變換 T 可逆可逆. 用平行于坐標軸的用平行于坐標軸的 ,坐標面上在vou 直線分割區(qū)域直線分割區(qū)域 ,D任取其中一個小矩任取其中一個小矩T形形, 其頂點為其頂點為),(, ),(21vhuMvuM1Mu4M3M2Mhu vkv通過變換通過變換T, 在在 xoy 面上得到一個四邊面上得到一個四邊形形, 其對應頂點為其對應頂點為)4, 3, 2, 1(),(iyxMiii1M4M3M2M,22kh 令則則12xx ),(),(vuxvhux).,(, ),(4

16、3kvuMkvhuM)(),(ohvuux機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .2714xx ),(),(vuxkvux)(),(okvuvx12yy )(),(ohvuuy同理得同理得14yy )(),(okvuvy當當h, k 充分小時充分小時,曲邊四邊形曲邊四邊形 M1M2M3M4 近似于平行四近似于平行四 邊形邊形, 故其面積近似為故其面積近似為4121MMMM14141212yyxxyyxxkhkhvyvxuyuxhkvyuyvxuxhkvuJ),(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .28vuvuJdd),(d因此面積元素的關系為因此面積元素的關系為從而得二重積分的換元公式從而得二

17、重積分的換元公式: Dyxyxfdd),(Dvuyvuxf),(),(vuvuJdd),(例如例如, 直角坐標轉化為極坐標時直角坐標轉化為極坐標時, sin,cosryrx),(),(ryxJcossinrsincosrrDyxyxfdd),(Drrrrfdd)sin,cos(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .29例例21. 計算計算其中其中D 是是 x 軸軸 y 軸和直線軸和直線2 yx所圍成的閉域所圍成的閉域. 解解: 令令,xyvxyu則則2,2uvyuvx),(),(vuyxJyxeDxyxyddvuevuDdd2120d21vvveed)(211201ee2 yxDxoy2121

18、212121vvvuue dxyxye,ddyx)(DD DD2vvu vuuov機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .30ybx 2yax 2Doyxxqy 2xpy 2,22yxvxyu例例22. 計算由計算由,22xqyxpyybxyax22,)0,0(baqp所圍成的閉區(qū)域所圍成的閉區(qū)域 D 的面積的面積 S .解解: 令令Duvopqab則則bvaqupD :D),(),(vuyxJ),(),(1yxvu31DyxSddbaqpvudd31vuJDdd)(31abpq機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .31例例23. 試計算橢球體試計算橢球體1222222czbyax解解: yxz

19、VDdd2yxcDbyaxdd122222由對稱性由對稱性, 1:2222byaxD取令令,sin,cosrbyrax則則D 的原象為的原象為20,1: rD),(),(ryxJcossinsincosrbbraaDcV2rrrcbad1d210220cba34rba21rddrrba的體積的體積V.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .32內容小結內容小結(1) 二重積分化為累次積分的方法二重積分化為累次積分的方法直角坐標系情形直角坐標系情形 : 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為)()(,),(21xyyxybxayxD則則)()(21d),(dd),(xyxybaDyyxfxyxf 若積分區(qū)域為若

20、積分區(qū)域為)()(,),(21yxxyxdycyxD則則xy)(1yxx Ddc)(2yxx )()(21d),(dd),(yxyxdcDxyxfyyxf)(1xyy )(2xyy xybaD機動 目錄 上頁 下頁 返回 結束 .33)()(,),(21rrDDDrrfyxf)sin,cos(d),(則則)()(21d)sin,cos(drrrrf(2) 一般換元公式一般換元公式),(),(vuyyvuxxDyx),(,),(Dvu0),(),(vuyxJ且且則則DDvuvuyvuxfyxfdd ),(),(d),(J極坐標系情形極坐標系情形: 若積分區(qū)域為若積分區(qū)域為ddrrDo)(1r)(2r在變換