1、等比數列經典例題透析類型一：等比數列的通項公式例1等比數列中，, ,求.思路點撥：由等比數列的通項公式，通過已知條件可列出關于和的二元方程組，解出和，可得；或注意到下標，可以利用性質可求出、，再求.總結升華： 列方程（組）求解是等比數列的基本方法，同時利用性質可以減少計算量；解題過程中具體求解時，要設法降次消元，常常整體代入以達降次目的，故較多變形要用除法（除式不為零）.舉一反三：【變式1】an為等比數列，a1=3，a9=768，求a6。【變式2】an為等比數列，an0，且a1a89=16，求a44a45a46的值。【變式3】已知等比數列，若，求。類型二：等比數列的前n項和公式例2設等比數列a

2、n的前n項和為Sn，若S3+S6=2S9，求數列的公比q.解析：若q=1，則有S3=3a1，S6=6a1，S9=9a1.因a10，得S3+S62S9，顯然q=1與題設矛盾，故q1.由得，整理得q3(2q6-q3-1)=0，由q0，得2q6-q3-1=0，從而(2q3+1)(q3-1)=0，因q31，故，所以。舉一反三：【變式1】求等比數列的前6項和。【變式2】已知：an為等比數列，a1a2a3=27，S3=13，求S5.【變式3】在等比數列中，求和類型三：等比數列的性質例3. 等比數列中，若,求. 舉一反三：【變式1】正項等比數列中，若a1·a100=100; 則lga1+lga2+

3、lga100=_.【變式2】在和之間插入三個數，使這五個數成等比數列，則插入的三個數的乘積為_。類型四：等比數列前n項和公式的性質例4在等比數列中，已知，求。思路點撥：等差數列中也有類似的題目，我們仍然采用等差數列的解決辦法，即等比數列中前k項和，第2個k項和，第3個k項和，第n個k項和仍然成等比數列。舉一反三：【變式1】等比數列中，公比q=2, S4=1,則S8=_.【變式2】已知等比數列的前n項和為Sn, 且S10=10, S20=40,求：S30=？【變式3】等比數列的項都是正數，若Sn=80, S2n=6560，前n項中最大的一項為54，求n.【答案】 ，(否則)=80 .(1)=65

4、60.(2)，(2)÷(1)得：1+qn=82,qn=81.(3)該數列各項為正數，由(3)知q>1an為遞增數列，an為最大項54.an=a1qn-1=54,a1qn=54q,81a1=54q.(4)代入(1)得，q=3,n=4.【變式4】等比數列中，若a1+a2=324, a3+a4=36, 則a5+a6=_.【變式5】等比數列中，若a1+a2+a3=7,a4+a5+a6=56, 求a7+a8+a9的值。類型五：等差等比數列的綜合應用例5已知三個數成等比數列，若前兩項不變，第三項減去32，則成等差數列.若再將此等差數列的第二項減去4，則又成等比數列.求原來的三個數.思路點撥

5、：恰當地設元是順利解方程組的前提.考慮到有三個數，應盡量設較少的未知數，并將其設為整式形式.總結升華：選擇適當的設法可使方程簡單易解。一般地，三數成等差數列，可設此三數為a-d, a, a+d；若三數成等比數列，可設此三數為，x, xy。但還要就問題而言，這里解法二中采用首項a，公比q來解決問題反而簡便。舉一反三：【變式1】一個等比數列有三項，如果把第二項加上4，那么所得的三項就成為等差數列，如果再把這個等差數列的第三項加上32，那么所得的三項又成為等比數列，求原來的等比數列.【變式2】已知三個數成等比數列，它們的積為27，它們的平方和為91，求這三個數。【變式3】有四個數，其中前三個數成等差

6、數列，后三個數成等比數列，并且第一個數與第四個數的和是16，第二個數與第三個數的和為12，求這四個數.類型六：等比數列的判斷與證明例6已知數列an的前n項和Sn滿足：log5(Sn+1)=n(nN+),求出數列an的通項公式，并判斷an是何種數列？思路點撥：由數列an的前n項和Sn可求數列的通項公式，通過通項公式判斷an類型.【變式2】設an、bn是公比不相等的兩個等比數列，Cn=an+bn,證明數列Cn不是等比數列.【證明】設數列an、bn的公比分別為p, q，且pq為證Cn不是等比數列，只需證.,又 pq, a10, b10,即數列Cn不是等比數列.【變式3】判斷正誤：(1)an為等比數列a7=a3a4；(2)若b2=ac，則a，b，c為等比數列；(3)an，bn均為等比數列，則anbn為等比數列；(4)an是公比為q的等比數列，則、仍為等比數列；(5)若a，b，c成等比，則logma，logmb，logmc成等差.類型七：Sn與an的關系例7已知正項數列an，其前n項和Sn滿足，且a1，a3，a15成等比數列，求數列an的通項an