1、姓 名： 學 號： 得 分： 教師簽名： 離散數學作業1離散數學集合論部分形成性考核書面作業本課程形成性考核書面作業共3次，內容主要分別是集合論部分、圖論部分、數理邏輯部分的綜合練習，基本上是按照考試的題型安排練習題目，目的是通過綜合性書面作業，使同學自己檢驗學習成果，找出掌握的薄弱知識點，重點復習，爭取盡快掌握。本次形考書面作業是第一次作業，大家要認真及時地完成集合論部分的綜合練習作業。要求：將此作業用A4紙打印出來，手工書寫答題，字跡工整，解答題要有解答過程，要求2009年4月26日前完成并上交任課教師（不收電子稿）。一、單項選擇題1若集合A2，a， a ，4，則下列表述正確的是( B )

2、 Aa，aÎA B a ÍA C2ÎA DÎA 2設B = 2, 3, 4, 2，那么下列命題中錯誤的是（ B ） A2B B2, 2, 3, 4ÌB C2ÌB D2, 2ÌB3若集合A=a，b， 1，2 ，B= 1，2，則（ D ） ABÌ A BAÌ B CBÏ A DBÎ A 4設集合A = 1, a ，則P(A) = ( C ) A1, a B,1, a C,1, a, 1, a D1, a, 1, a 5設集合A = 1，2，3，R是A上的二元關系，R =a , bê

3、;aA，b A且則R具有的性質為（ B ） A自反的 B對稱的 C傳遞的 D反對稱的 6設集合A = 1，2，3，4，5，6 上的二元關系R =a , bêa , bA，且a =b ，則R具有的性質為（ D ） A不是自反的 B不是對稱的 C反自反的 D傳遞的 7設集合A=1 , 2 , 3 , 4上的二元關系R = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，4 , 4，S = 1 , 1，2 , 2，2 , 3，3 , 2，4 , 4，則S是R的（ C ）閉包 A自反 B傳遞 C對稱 D以上都不對 8設集合A=a, b，則A上的二元關系R=<a, a>，<b, b>

4、;是A上的( C )關系 A是等價關系但不是偏序關系 B是偏序關系但不是等價關系 C既是等價關系又是偏序關系 D不是等價關系也不是偏序關系24135 9設集合A = 1 , 2 , 3 , 4 , 5上的偏序關系的哈斯圖如右圖所示,若A的子集B = 3 , 4 , 5，則元素3為B的（ C ） A下界 B最大下界 C最小上界 D以上答案都不對 10設集合A =1 , 2, 3上的函數分別為：f = 1 , 2，2 , 1，3 , 3，g = 1 , 3，2 , 2，3 , 2，h = 1 , 3，2 , 1，3 , 1，則 h =（ A ） （A）fg （B）gf （C）ff （D）gg二、填

5、空題 1設集合，則AB=，AB= 2設集合，則P(A)-P(B )=3,1,3,2,3,1,2,3 ，A´ B= <1,1>,<1,2>,<2,1>,<2,2>,<3,1>,<3,2> 3設集合A有10個元素，那么A的冪集合P(A)的元素個數為4設集合A = 1，2，3，4，5 ，B = 1，2，3，R從A到B的二元關系，R =a , bêaA，bB且2a + b4則R的集合表示式為 <1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,

6、<3,1> 5設集合A=1, 2, 3, 4 ，B=6, 8, 12， A到B的二元關系R那么R1<6,3>,<8,4> 6設集合A=a, b, c, d，A上的二元關系R=<a, b>, <b, a>, <b, c>, <c, d>，則R具有的性質是反自反性，反對稱性7設集合A=a, b, c, d，A上的二元關系R=<a, a >, <b, b>, <b, c>, <c, d>，若在R中再增加兩個元素<c,b>,<d,c>，則新得到的關

7、系就具有對稱性8設A=1, 2上的二元關系為R=<x, y>|xÎA，yÎA, x+y =10，則R的自反閉包為 <1,1>,<2,2> 9設R是集合A上的等價關系，且1 , 2 , 3是A中的元素，則R中至少包含 <1,1><2,2> <3,3> 等元素10設集合A=1, 2，B=a, b，那么集合A到B的雙射函數是 <1,a>,<2,b>,或<1,b>,<2,a> 三、判斷說明題（判斷下列各題，并說明理由）1若集合A = 1，2，3上的二元關系R=&l

8、t;1, 1>，<2, 2>，<1, 2>，則(1) R是自反的關系； (2) R是對稱的關系(1) R不是自反關系，因為沒有有序對<3,3>.(2) R不是對稱關系，因為沒有有序對<2,1> 2如果R1和R2是A上的自反關系，判斷結論：“R-11、R1R2、R1R2是自反的” 是否成立？并說明理由 是自反的。證：對任意的aA,由<a,a> R1 且<a,a> R2可得<a,a> R1R2,其他可做類似證明。3設R，S是集合A上的對稱關系，判斷RS是否具有對稱性，并說明理由RS也具有對稱性對于任

9、意的<a,b>RS, <a,b>R且<a,b>S，因為R,S具有對稱性，所以< b, a>R且< b , a>S，所以< b , a>RS，即RS是否具有對稱性。 4設集合A=1, 2, 3, 4，B=2, 4, 6, 8，判斷下列關系f是否構成函數f：，并說明理由(1) f=<1, 4>, <2, 2,>, <4, 6>, <1, 8>； (2)f=<1, 6>, <3, 4>, <2, 2>；(3) f=<1, 8>, &l

10、t;2, 6>, <3, 4>, <4, 2,> （1）（2）不構成函數，因為函數要求定義域是A，而（1）的定義域是1，2，4，（2）的定義域是1，2，3，只有（3）是函數，因為定義域是1，2，3，4，而且對于任意的x，都有唯一的y與之對應。四、計算題1設，求：(1) (AÇB)ÈC； (2) (AÈB)- (BÇA) (3) P(A)P(C)； (4) AÅB解：(1)因為AB=1,41,2,5=1, C=1,2,3,4,5-2,4=1,3,5 所以 (AB ) ÈC=1È1,3,5=1,3,

11、5 （2）(AÈB)- (BÇA)= 1,2,4,5-1=2,4,5(3)因為P(A)=f,1, 4, 1,4 P(C)=f,2,4,2,4 所以 P(A)-P(C)= f, 1, 4, 1,4-f, 2, 4,2,4 (4) 因為 AÈB= 1,2,4,5, AÇB= 1 所以 AÅB=AÈB-AÇB=1,2,4,5-1=2,4,52設集合Aa, b, c, d ，B=a, b, c, d ，求(1) BÇA； (2) AÈB； (3) AB； (4)B´A解：(1) BÇA=(2)

12、AÈB=a, b, c, d ，a, b, c, d (3) AB=a, b, c, d (4)B´A=<a,a, b>, < a, c >,< a , d >,<b, a, b>,< b, c >,< b , d >,<c, d ,a, b>, <c, d , c >,< c, d , d >3設A=1，2，3，4，5，R=<x，y>|xÎA，yÎA且x+y£4，S=<x，y>|xÎA，yÎA

13、且x+y<0，試求R，S，R·S，S·R，R-1，S-1，r(S)，s(R) 解：R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>, R-1=<1,1>,<2,1>,<3,1>,<1,2 >,<2,2>,<1, 3>S=, S-1 =r(S)=<1,1>,<2,2>,<3,3>,<4,4>,<5,5>s(R)= <1,1>,<

14、;1,2>,<1,3>,<2,1>,<2,2>,<3,1>R·S=S·R= 4設A=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8，R是A上的整除關系，B=2, 4, 6(1) 寫出關系R的表示式； (2 )畫出關系R的哈斯圖； (3) 求出集合B的最大元、最小元 解：R=<1,1>,<1,2>,<1,3>,<1,4,<1,5>,<1,6>,<1,7>,<1,8>,<2,2>,<2,4>,<2,6>

15、,<2,8>,<3,3>,<3,6>,<4,4>,<4,8>,<5,5>,<6,6>,<7,7>,<8,8>B的最大元：無B的最小元：2五、證明題 1試證明集合等式：AÈ (BÇC)=(AÈB) Ç (AÈC)證明：設S= AÈ (BÇC)，T=(AÈB) Ç (AÈC)，若xS，則xA或xBÇC，即 xA或xB 且 xA或xC也即xAÈB 且 xAÈC ，即 xT，所以SÍT 反之，若xT，則xAÈB 且 xAÈC， 即xA或xB 且 xA或xC， 也即xA或xBÇC，即xS，所以TÍS 因此T=S 2對任意三個集合A, B和C，試證明：若AB = AC，且A，則B = C 證明：對任意aÎA，bÎB，cÎC，所以有<a,b>ÎAB,<a,c>ÎAC,因為AB =