1、構造輔助圓巧解中考壓軸題一以2014年陜西省及山東淄博市中考數學壓軸題為例柯賢華(陜西省洋縣教研室)關于動點對定線段所張地角為定值問題，從表面上看似與圓無關，但如果我們能深入挖掘題目中地隱含條件，善于聯想所學定理，巧妙地構造符合題意特征地 輔助圓，再利用圓地有關 性質來解決問題，往往能起到化隱為顯、化難為易地解題效果，還考查了學生創造性思維，有利 于培養學生分析問題地能力.這里，構造輔助圓實則成了解題地關鍵.為此，下面遴選2014年陜西省及山東淄博市中考數學壓軸題為例，對輔助圓地構造策略與方法作一介紹，以饗讀者.1 案例1及解法簡析1.1 題目展示 (2014年陜西中考數學第 25題)問題探究

2、(1)如圖1,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,如果BC邊上存在點P,使APD為等腰三角形, 那么請畫出滿足條件地一個等腰三角形APD,并求出此時BP地長；(2)如圖2,在4ABC中,/ABC=60；,BC=12,AD是BC邊上地高，E、F分別為邊 AB、AC 地中點.當 AD= 6時,BC邊上存在一點 Q,使/ EQF=90°,求此時BQ地長.問題解決(3)有一山莊，它地平面圖為如圖 3地五邊形ABCDE,山莊保衛人員想在線段 CD上選點M安裝監控裝置，用來監視邊AB,現只要使/ AMB大約為60。,就可以讓監控裝置地效果達 到最佳.已知/ A= / E= / D=90 ,AB

3、=270m,AE=400m,ED= 285m,CD= 340m,問在線段 CD 上是 否存在點M,使/ AMB= 60 ?若存在，請求出符合條件地 DM地長；若不存在，請說明理由.本題第(1)問相對簡單，這里分析第(2) (3)問.(2)由條件“當AD=6時,BC邊上存在一點 Q,使/ EQF=90°”，動點Q對定線段EF所 張地角為直角，因此聯想到“直徑所對地圓周角是直角”，以EF為直徑作。O,易證。與BC相切，從而得到符合條件地點 Q唯一,然后通過添加輔助線，借助于正方形、特殊角地三角函數 值等知識即可求出 BQ長；(3)要滿足動點M對定線段AB所張地角/ AMB=60。,由此聯

4、想到“一條弧所對地圓周 角等于它所對地圓心角地一半”，于是可構造以 AB為邊地等邊三角形地外接圓，該圓與線段CD地交點就是滿足條件地點，然后借助于等邊三角形地性質、特殊角地三角函數值等知識 就可求出符合條件地 DM地長.解 (1)略解.符合條件地等腰三角形如圖 4所示.當AP=PD 時,P在BC地中垂線上，BP=2.等腰 ADP'中,BP = 4-"或等腰 ADP '中,BP'='"7 ,也符合題意.綜上所述，在等腰 AAPD 中若 PA=PD,則BP=2;若 DP=DA,貝U BP=4-/ ;若 AP=AD,貝UBP= 7 .(2) E、F

5、分別為邊AB、AC地中點，EF / BC,EF=2BC=6.2AD±BC,AD=6,I 訝 F 乎P"EF與BC之間地距離為3.圖4以EF為直徑作。O,過點。作OQLBC于Q,連接EQ、FQ,如圖5. .OQ=3=OE.。0與BC相切,切點為Q. EF為。O地直徑， ./ EQF= 90°.過點E作EGLBC,垂足為G,EG=3=OQ ,且 EG / OQ .V 04，四邊形EOQG是正方形.朱匚才1、gq=3 .，矮 C在 Rt EBG 中，/ B=60 ,EG= 3,圖 5BG= . 3 .BQ=GQ+BG= 3+、,3 .(3)在CD上存在符合題意地點 M

6、.理由如下：如圖6,構造等邊4 ABG.作GPXAB于點P、AKXBG于點K,AK與GP交于點。，以O 為圓心OA長為半彳5畫圓，則。為 ABG地外接圓，作OHLCD于點H.在 Rt AOP 中，AP= 1 AB=135,OA= 9073 ,OP= 45<3 .又知 OH= 285-270 = 150 .2而 90* >150,.0O與CD相交.記。與CD地交點為 M,連接OM、MA、MB .圖6則/ AMB= Z AGB= 60°.在 Rt AOHM 中，HM= <OM 2 OH 2 = y 903 2 1502 =301/2 .DM= 400-45 <3-

7、30 72 V 340，或 DM= 400-4573 +3072 >340 (舍去) .CD上符合題意地點 M只有一個.，點M就是符合要求地點.故 DM = (400-45 Q -30 & ) m.2 案例2及解法簡析2.1 題目展示(2014年山東淄博市中考數學第 24題) 如圖7,點A與點B地坐標分別是(1,0),(5, 0),點P是該直角坐標系內地一個動點 .(1)使/APB=30地點P有 個；(2)若點P在y軸上，且/ APB= 30 °,求滿足條件地點 P地坐標；(3)當點P在y軸上移動時，/APB是否有最大值？若有， 求點P地坐標，并說明此時/ APB最大地

8、理由；若沒有，也請說明 理由.2.2 解法簡析(1)動點P對定線段AB所張地角/APB=30°,只需點P在過點A、點B地圓上，且弧AB所對地圓心角為60。即可，顯然符合條件地點 P有無數個；(2)根據(1)中地分析可知，當點P在y軸地正半軸上時，點P是(1)中地圓與y軸地 交點，借助于垂徑定理、等邊三角形地性質、勾股定理等知識即可求出符合條件地點P地坐標；當點P在y軸地負半軸上時，同理可求出符合條件地點 P地坐標.(3)由結論“在同圓或等圓中，同弧所對地圓周角大于同弧所對地圓外角”知，要使/ APB最大,只需構造過點A、點B且與y軸相切地圓，切點就是使得/APB最大地點P,然后結合切

9、 線地性質、三角形外角地性質、矩形地判定與T質、勾股定理等知識即可解決問題解 (1)如圖8,以AB為邊，在第一象限內作等邊三角形 ABC.以點C為圓心，AC為半 徑作。C,交y軸于點P1、P2 .在優弧 AP1B 上任取一點 P,則/APB= - Z ACB= - >60 =30° . 使/APB=30°地點P有無數個.故答案為：無數.，過點C作CGLAB,垂足為G,如圖8 .(2)當點P在y軸地正半軸上時 點 A (1,0)，點 B (5, 0), .OA=1,OB=5 .圖8AB=4 . 點C為圓心，CG LAB,AG=BG= AB= 22OG=OA+AG= 3

10、.ABC是等邊三角形，AC=BC=AB= 4 . CG= AC2 AG 2 = 42 22 =2 3.點C地坐標為(3,273).過點C作CDy軸,垂足為D,連接CP2 . 點C地坐標為(3,2 V3), . CD= 3,OD= 2 .3 . P1、P2是。C與y軸地交點,/APB=/AP2B=30°.CP2=CA= 4,CD= 3,DP2= .4 2 32 = 7 . 點 C 為圓心，CD，PiP2, PlD=P2D= .7 .1 P2 （0, 2 73-77） ,P1 （0, 2向+萬）.當點P在y軸地負半軸上時，同理可得：P3 （0, -2奔-"）,P4 （0, -

11、2代+行）.綜上所述：滿足條件地點P地坐標有：（0, 273-"）、（0,273 + /）、（0,-2-"）、（0, - 2 73+ 后）.（3）當過點 A、B地。E與y軸相切于點P時,/APB最大.當點P在y軸地正半軸上時，連接EA,作EHx軸,垂足為H,如圖9.OE與y軸相切于點P,圖9 pexop. eh±ab,op±oh, / EPO= / POH= / EHO= 90 ）四邊形OPEH是矩形.OP=EH ,PE=OH= 3. EA=3. ZEHA= 90,AH=2,EA=3,. EH= . EA2 AH 2 = .32 22 = ,5OP= ,

12、 5 . .p（0, 75）.P (0,7石).當點P在y軸地負半軸上時，同理工理由：i .若點P在y軸地正半軸上，在y軸地正半軸上任取一點 M（不與點P重合），連接MA,MB, 交。E于點N,連接NA,如圖9所示. /ANB是 AMN地外角， /ANB> / AMB. /APB= / ANB, ZAPB> Z AMB.ii.若點P在y軸地負半軸上，同理可證得：/APB>/AMB.綜上所述：當點 P在y軸上移動時，/APB有最大值，此時點P地坐標為（0,屈）和(0,-J5)3 解題感悟這兩道中考壓軸題考查知識點多,代數與幾何等知識相互滲透,綜合性非常強,難度大,涉及分類、轉化、數形結合、數學建模等常用地數學思想,考查了學生創造性思維及操作、探究、 分析問題等能力 ,可謂知識與能力齊驅,基本數學思想和基本活動經驗聯動 ,回歸到了課標（ 2011 版） 對學生獲得“四基”能力地目標要求,關注了學生地學習過程,能有效引領教師平時地數學教學 .關于動點對定線段所張地角為定值一類問題 , 當所張角是直角時,利用“直徑所對地圓周角是直角”構造圓直角（或垂直）與直徑有著密切關系 ,要善于把它們聯系起來處理問題 , 即要