1、第二章連續系統的時域分析一、單項選擇題X2.1 (東南大學2002年考研題)一線性時不變連續時間系統，其在某激勵信號作用下 的自由響應為(e-3t+e-t)*),強迫響應為(1-e-2t)E(t),則下面的說法正確的是 。(A)該系統一定是二階系統(B)該系統一定是穩定系統(C)零輸入響應中一定包含(e-3t+e-t)(D)零狀態響應中一定包含(1-e-2t)秋t)X2.2(西安電子科技大學2005年考研題)信號fi(t)和f2(t)如圖X2.2所示，f =f i(t)* f2(t),則f(-1)等于。(A) 1(B) -1(C) 1.5(D) -0.5圖 X2.2X2.3 (西安電子科技大學

2、 2005年考研題)下列等式不成立的是 。(A) f1(t-t。)* f2(t t0) = f1(t)* f2(t)(B) -df1(t)* f2(t),- d"t) * d- f2(t)出_dt _dt(C) f(t)*、(t) = r(t)(D) f(t)*、(t) = f(t)答案：X2.1D , X2.2C , X2.3B二、判斷與填空題T2.1 (北京航空航天大學 2001年考研題)判斷下列說法是否正確，正確的打，錯 誤的打“X”。(1)若 y(t) = f (t)* h(t),則 y(2t) =2f (2t)* h(2t)。口(2)如果x(t)和y均為奇函數，則 x*y(

3、t)為偶函數。(3)卷積的方法只適用于線性時不變系統的分析。(4)若 y(t) = f(t)*h(t),則 y(-t) = f(-t)*h(-t)o (5)兩個LTI系統級聯，其總的輸入輸出關系與它們在級聯中的次序沒有關系。T2.2 (華中科技大學 2004年考研題)判斷下列敘述或公式的正誤，正確的在方括號中打，錯誤的在方括號中打“X”。(1)線性常系數微分方程表示的系統，其輸出響應是由微分方程的特解和齊次解組成， 或由零輸入響應和零狀態響應所組成。齊次解稱之為自由響應,特解稱之為強迫響應;零輸入響應稱之為自由響應,零狀態響應稱之為強迫響應。(2)(上海交通大學 2000年考研題)f(t)*、

4、.(t)= f(t)f(t)、.(t)= f(0) t ()d =1t f( )d = f(t)* ；(t)T2.3在下列各題的橫線上填上適當的內容：(1)(北京郵電大學2000年考研題) 012*80)】=dtt(2)(國防科技大學2001年考研題)J(T)dT = f(t)*T2.4 (華南理工大學 2004年考研題)一連續 LTI系統的單位階躍響應 g(t) = eJ3tS(t), 則該系統的單位沖激響應為h(t)=。T2.5 (華南理工大學 2004年考研題)已知信號h(t)=S(t-1)-S(t-2), f(t尸qt-2)-qt-4),則卷積 f (t) * h(t)=。T2.6 (

5、南京理工大學2000年考研題)某系統如圖T2 . 6所示，若輸入00f (t) =£ 6(t -nT),則系統的零狀態響應為 n =0圖 T2. 6T2.7 (北京交通大學2004年考研題)對連續信號延遲t0的延時器的單位階沖激應，積分器的單位階沖激應為,微分器的單位階沖激應為答案:T2.1(1) , (2) , (3) , (4) , (5),T2.2 (1) V, V, X, X (2) V, X, X, VT2.3 (1) e2t(2) &t)-3tT2.4 h(t)=、.(t)-3e(t)T2.5 h(t)*f(t)= (t-3) (t-3) -(t-4) (t-4)

6、 - (t-5) (t-5) (t-6) (t-6)T2.6T2.74t-t0),半)9。)三、畫圖、證明與分析計算題J2.1 (東南大學2001年考研題)已知某線性系統可以用以下微分方程描述y (t) 6y (t) 5y(t) = 9f (t) 5f (t)系統的激勵為f(t)=Wt),在t=0和t=1時刻測量得到系統的輸出為y(0)=0, y(l)=l-e-5。(1)求系統在激勵下的全響應，并指出響應中的自由響應、強迫響應、零輸入響應、零狀態響應分量；(2)畫出系統模擬框圖。解：(1)先求系統的沖激響應h(t)。h(t)應滿足以下微分方程：h 6h(t) 5h(t) =9、(t)5、(t)

7、(J2.1 -1)設h1(t)滿足微分方程：hi(t) 6h1(t) 5hi(t)，(J2.1 -2)則 h(t) =9(t) 5h1(t)(J2.1 -3)由式(J2.1 2)求h1(t):特征方程：九2 +6九+5 =0特征根：1 1 = -1, ' 2 = -5則h(t) = Ae 1t A?e 2t ；(t) = Ae, Aze ;(t)下面求系數A1、A2O由式(J2.1-2)微分方程可知：h；(t)中應包含6(t)項，則h；(t) 在t =0處不連續，即h；(0a #h；(0J =0; h/(t)中不含6(t)項，則(t)在t =冽連續， 即幾(04)=幾(0.=0對式(J

8、2.1 2)微分方程在t =0_0必積分，可得h；(04 =1。 利用0初始值h1(0 ) =0, h1(0 ) =1確定系數A1、A2 ：Ai =0.25A2 = -0.25小(0 J =A +A2 =0 &<t) =A -5A2 =1 h1(t) =0.25e1-e-t ；(t)代入式(J2.1 3)可得h(t)= 10e-t -e上；(t)則零狀態響應為yzs(t) = f(t)*h(t)5-；(t 一)10e- -e- ；(.)d .t 二=0(10e-Jed :=(1 +e±-2e-t >(t)由此可得：yzs(0) =(1 +eX -2e-t >

9、(t)yzs(1)=(1+e-2e-t X(t)t£=0=1+e-2e-t且卜面求系統的零輸入響應yzi(t), yzi(t)應滿足以下微分方程：yzi(t) 6yzi(t) 5 yzi (t)=0yzi(t) = Bg，Bet ；(t)卜面求系數B1、B 2 :Yzi (0) = B + B2'y(0) = yzi(0)+yzs(0) = B1 +B2 =0y(1) =yzi(1)yzs(1) =e"B1e、21 eJ 2e 上=1 -eB +b2 =0eB1 e 上 B2 二e1 e 上B2 = 1yzi(t) = e't e, ；(t)則系統的全響應為

10、,5ty=yzi(t)yzs(t) =(1 -e /由上式可知，自由響應yh(t)、強迫響應yp(t)分別為:_5tyh(t) =0 ；(t),yp(t) =1(2)系統框圖如下:9J2.2 （上海大學2000年考研題）某線性時不變系統的單位階躍響應為g(t) = 3e 2t 1 ；(t)用時域解法求：(1)系統的沖激響應h(t);(2)系統對激勵f1(t) =ta(t)的零狀態響應yzsi(t);(3)系統對激勵f2(t) =tU(t) - Mt 1)的零狀態響應yzs2(t).解：(i) h(t)=dglt) =2、.(t) 6eZ ；(t)dt(2) yzsi(t) = fi(t)* h

11、(t) = fi* h()(t) = ；(t)* (3e2 _i)；(t)l=(3eT-i)s(T)dT =(i.5-t -i.5et >(t) J-S0(3) f2(t) =tl；(t) - ；(t -i)l = t；(t) -(t-i) ；(t -i)- ；(t -i)t；(t) > yzsi(t) = i.5-t-i.5eZ ；(t)(4) i)；(t-i) > yzsi(t -i) - i.5-(t -i) -i.5e(tJ) b(t -i)=2.5-t -i.5e(tJ) h(t -i)；(t-i) > g(t -i) = 3e(tJ) -i b(t -i)y

12、zs2(t) -T0, f2(t)l=T 0, t ；(t) 1 T 0, -(t -i) ；(t -1) 1 T 0, - ；(t -i) 1=yzsi - yzsi (t - 1) - g(t - 1)=1.5-t -1.5et ；(t) 一 1.5t 1.5e'(t,)(t -1)J2.3 (重慶大學2001年考研題)已知一線性時不變系統的單位沖激響應ji戰)h(t)=sin -t巴t),輸入信號f(t)的波形如圖J2.3-1所示。用時域法求系統的零狀態響2<2 )應 yzs(t).解：利用卷積的微積分性質，可得圖 J2.3-1yzs(t) =f(t)*h(t) = f *

13、 h()(t)h(二)(t)二,th(z)dT = sin Jq 2。2、2二 t1co力；(t)對輸入信號f(t)求一階導數，如圖J2.3-2。圖 J2.3-2oOf(1)(t) =' ,三(t _6n)-、(t -6n -4) 1n =0yzs(t) =f(1)(t)*h()(t)oO= h()(t)* 工 I (t -6n) - (t -6n -4)1 n OQO三：,h()(t -6n) -h(J)(t -6n -4) 1 n O-、,1 - cos (t - 6n) ；(t-6n)L n1_ 1 - cos (t _ 6n _ 4)(t - 6n - 4)-6n) - ； (

14、t - 6n - 4)n -tzi=1-(-1) cos (t n=0 _2J2.4 (北京交通大學 2001年考研題)已知一線性時不變系統的單位沖激響應h(t)和激勵f(t)的波形如圖J2.4-1(a)、(b)所示。用時域法求系統的零狀態響應yzs(t),畫出yzs(t)的波形.圖 J2.4-1解：為運算方便，分別對 h(t)、f(t)分別求微分和積分，如圖J2.4-2。(a)(b)圖 J2.4-2f(J)t(t) = f ( )d . =2t；(t) -2(t-2) ；(t-2)h(t) =、.(t) 、.(t _1) 2、(t -2)yzs(t) = f(t)*h(t) = f()(t)

15、*h=f()(t)f()(t -1) -2f (J) (t -2) =2t ；(t) 2(t -1) ；(t -1) -6(t -2) ；(t -2) -2(t -3) ；(t -3) 4(t -4)仆4)yzs(t)的波形如圖J2.4-3所示。J2.5 (北京郵電大學 2002年考研題)已知一線性時不變系統對激勵為fi(t尸即)的全響應yi(t)=2e-，t);對激勵為f2(t)=5(t)的全響應y2(t)=t);用時域分析法求:(1)系統的零輸入響應yz(t)；(2)系統的初始狀態不變，其對激勵為f3(t)= e-ts(t)的全響應 y3(t)。解：(1)求系統的零輸入響應yzi(t)y1

16、(t) =yzi(t)yzs1(t) =2e'；(t)(J2.5-1)y2(t) =yz(t)yzs2(t) =、(t)(J2.5 - 2)由題設可知，yzs1(t)為階躍響應，即yzs1(t)= g(t); yzs2(t)為沖激響應，即yzs2(t)= h(t)。貝Uyzs2(t) = yzs1(t) = h(t)對式(J2.5-1)求一階導數，并結合上式，可得y。)=yz(t)yzsKt) =2、(t)-2e；(t)yzi(t)yzs2(t) =2、(t) -2e"；(t)(J2.5-3)由式(J2.5-2)和式(J2.5-3)可得yzi(t)-yzi(t)- (t)-2

17、e4 (t)(s-1)Yzi(s) =12 s-1Yzi(s)=yzi(t) =e'；(t)h(t) = yzs2(t) = ' (t) -yzi (t)= , - e ； (t)(2)求全響應y3yzs3(t) = f3(t)*h(t)= e；(t)*、-e：= (1-t)e；(t)y3(t) = yzi(t) yzs3(t) =(2-t)e；(t)J2.6 (北京郵電大學2003年考研題)如圖 J2.6-1所示系統由幾個子系統組成，各子系統的沖激響應為hi(t尸葭t), h2(t)=§(t-1), h3(t)=-&t),試求此系統的沖激響應為h(t);若以

18、f(t尸e-t&t)作為激勵信號，用時域卷積法求系統的零狀態響應yzs(t)。圖 J2.6-1解：(1)求系統的沖激響應為h(t):h(t)=h(t) h2(t)*hi(t)*h3(t)=；(t) 、(t-1)* ；(t)*-、(t)二； (t) - ；(t -1)(2)求零狀態響應yzs(t)：yzs(t) = f(t)*h(t)T ；(t)*；(t) 一(t -1) 1=(1 -e) ；(t) - 1 -e4tJ) l(t -1)J2.7(浙江大學2004年考研題)已知f(t)和h(t)的波形如圖J2.7-1(a)、(b)所示，求f(t)*h(t)。h(t)(b)解：為運算方便，分

19、別對圖 J2.7-1f(t)、h(t)求積分和微分,如圖 J2.7-2(a)、(b)o h(t)1.1 a0-1 -2圖 J2.7-2f()(t)= ： f(.)d. = 3h (t)二、(t) -2、(t -2) 、(t -4)f(t)*h(t) = f(J1(t)*h(t)= f .(t)-2f .(t-2) f .(t-4)f(t)*h(t)的波形如圖J2.7-1 (c)所示。J2.8 (北京郵電大學 2002年考研題)因果性的 LTI系統，其輸入輸出關系可用下列微積分方程表示:dy(t)dt5y(t)二 if ( )x(t - )d - f (t)其中x(t) =eS(t) +36(t

20、),用時域分析法求此系統的沖激響應為h(t)o解：原方程可表示為y(t) 5y(t) = f(t)*x(t)-f(t)(J2.8-1)系統的沖激響應為 h(t)的微分方程為：h(t) 5h(t)=、 * x(t) -、(t)(J2.8 - 2)打 5h1(t) =、(t)(J2.8-3)h(t) =hi(t)*x(t) -ht)(J2.8-4)由式(J2.8-3)可得hi(t) =e- ；(t)代入式(J2.8-4)h(t) = Mt)*x-h(t)= e*t (t)* b，(t) 3、(t) Let ；(t)= =e；(t)7e*(t)442tJ2.9 (華南理工大學 2000 年考研題)已

21、知 f(t)=e q-t), h(t)=qt-3),求 y(t)=f(t)* h(t),繪出y(t)的波形。解:qQ一e" ；(-)；(t - 3- )dqQy(t) = f (t)* h(t) = f()h(t- )d =以上積分應以下兩種情形來分析,(1) t 三3時- - ot 3 oo cny(t)j-e- - ；(-.) ；(t -3 - .)dv = je/d . ；(t3) =0.5e2(t；(t 3)口 SOJ-0t .3時 0y(t) = e- ；(_.) ；(t _3 - )d . = e- d . ；(t -3) =0.5；(t -3)綜合以上，可得y(t) =

22、0.5e2(t § ;(t 3) 0.5 ;(t -3)y(t)的波形如圖J2.9-1。4 y-4-3-2-1 w 12345圖 J2.9-1J2.10 (中國科技大學2002年考研題)LTI系統的輸入f(t)與零狀態響應y(t)之間的關系 為：y(t) = LeJf (1-2)dT(1)求系統的沖激響應為 h(t);(2)求f(t)= &t+1)-0(t-2)時的零狀態響應;(3)用簡便方法求圖J2.10-1所示系統的響應。其中，h1(t)=t-1), h(t)為(1)中結果,f(t)與(2)中相同。圖 J2.10-1解：(1)h(t)=f e<tT5(E 2)di

23、=eY/每" -2)d7 =e"%(t2)(2)系統在f(t)= dt+1)-&t-2)作用下的零狀態響應為yzs2(t),yzs2(t) = f(t)*h(t)-L(t 1) 一 ；(t 2)】*eYt2；(t -2)二 1 eTt_1) "t1) - 1-et)-(t -4)(3)設圖J2.10-1所示系統的沖激響應為h0(t),h0(t)= h(t) -h1(t)* h(t)=h(t) -、(t -1)* h(t)=h(t) - h(t -1)圖J2.10-1所示系統的零狀態響應為yzs3(t),yzs3(t) = f(t)*h0(t)=f(t)*h(t)-h(t -1)=yzs2-yzs2(t -1)=1 e'" L(t -1) 一 1 e'tp L(t -2) 1 e/"L(t -4) 1 -eJtJ) L(t -5)J2.11 (西安電子科技大學2005年考研題)某線性時不變系統的單位階躍響應為g(t)二;(t) - ；(t -1)求：(1)系統的沖激響應 h(t);t J(2)當激勵f(t) = ( 6«)dT時系統的零狀態響應