1、精選優質文檔-傾情為你奉上序號（學號）： 長 春 大 學畢 業 設 計（論 文）矩陣初等變換的應用姓 名侯繼山學 院理學院專 業數學與應用數學班 級指導教師數學40334班祝英杰 2011 年 04 月 1 日目 錄摘 要本文分三部分:預備知識,典型應用,小結.先是引述我們學過的矩陣的定義及本文要涉及的相關內容,以便為下文提供依據;接著綜合羅列了矩陣在行列式的計算,求矩陣或向量組的秩,求可逆矩陣的逆矩陣,解矩陣方程,判定向量組的線性相關性,求極大無關組,向量的線性表示等各方面的一些典型應用.關鍵詞:矩陣,秩,逆矩陣,初等矩陣,初等變換,應用AbstractThis article is div

2、ided into three-part:knowledge preparation,typical appli-cations,summarise. First, we give the definition of the matrix and its involves the relevant content in order to provide the basis for the following; then in-tegrated gives about matrix in determinant,the rank of matrix and vector,the inverse

3、matrix of invertible matrix、solve matrix equation,determine the linear correlation of vector group,enormous linear independence group,vector of the linear representation and so on,which are some typical applications of elementary transformation of matrix.Key words:Matrix,Rank,Inversematrix,Elementar

4、ymatrix,Elementary transfor-mation,Applications專心-專注-專業1 預備知識定義1 由個數排成的一個行列的表叫作一個行列(或)矩陣.叫作這個矩陣的元素.定義2 矩陣的行(列)初等變換指的是對一個矩陣施行的下列變換:1)交換矩陣的兩行(列);2)用一個不等于零的數乘矩陣的某一行(列),即用一個不等于零的數乘矩陣的某一行(列)的每一個元素;3)用某一數乘矩陣的某一行（列）后加到另一行（列）,即用某一數乘矩陣的某一行(列)的每一元素后加到另一行(列)的對應元素上. 矩陣的行初等變換和列初等變換統稱為矩陣的初等變換. 定義3 把以下三種方陣叫做初等矩陣:1

5、)交換階單位矩陣的,兩行(列)得到的矩陣,記為;2)將階單位矩陣的第行(列)乘以非零常數所得到的矩陣,記為;3)將階單位矩陣的第行的倍加到第行(第列的倍加到第列)所得到的矩陣,記為.初等矩陣與初等變換的關系:對于一個矩陣施行一個行(列)初等變換相當于把這個矩陣左乘(右乘)以一個初等矩陣.定義4 令是數域上一個階方陣.若是存在上階方陣,使得,那么叫做一個可逆矩陣(或非奇異矩陣),而叫做的逆矩陣. 若矩陣可逆,那么的逆矩陣由唯一決定,用來表示.2 典型應用2.1 行列式的計算引理1 如果一個行列式有兩行(列)的對應元素成比例,那么這個行列式等于零.引理2 任一行列式的值等于此上(下)三角形行列式的

6、主對角線元素之積.一般通過矩陣的第三種初等變換的方法使所求行列式的某兩行(列)的對應元素成比例或化為三角形(上三角形、下三角形),從而簡便計算.例1 計算行列式: (1);(2) (階).解 (1) ;(2) 2.2 求矩陣或向量組的秩定理1 初等變換不改變矩陣的秩. 定理2 一個矩陣總可以通過初等變換化為以下形式：這里是階單位矩陣,表示的零矩陣,等于的秩.用矩陣行初等變換把矩陣化為階梯形矩陣,階梯形中非零行行數即為所求矩陣的秩.在此過程中也可用列初等變換或者兩種初等變換同時使用. 求向量組的秩只要把向量組寫成一個矩陣,該矩陣的秩就是向量組的秩.例2 求矩陣的秩.解 矩陣因為行階梯形矩陣有3個

7、非零行,所以的秩為3.2.3 求可逆矩陣的逆矩陣定理3 初等變換不改變矩陣的可逆性.定理4 一個可逆矩陣可以通過行初等變換化為單位矩陣.證 設為階可逆矩陣,則可以寫成若干個初等矩陣的乘積.令,其中是初等矩陣.于是.又也是初等矩陣,所以左乘若干個初等矩陣為單位矩陣.因而可以通過行初等變換化為單位矩陣.證畢.推論 一個可逆矩陣可以通過列初等變換化為單位矩陣.定理5 在通過只用行初等變換(列初等變換)把可逆矩陣化為單位矩陣時,對單位矩陣施行同樣的初等變換,就得到的逆矩陣.由定理5可知,將階可逆矩陣的右邊加入一個單位矩陣,變成矩陣，只用行初等變換,使得中的位置化為單位矩陣,則的位置變成了的逆矩陣,即.

8、還可以把置于的下方變成矩陣且此時只能使用列初等變換把的位置化為單位矩陣,則的位置變成了的逆矩陣.例3 求的逆矩陣.解 構造矩陣于是.2.4 解矩陣方程若矩陣方程的形式是(是可逆矩陣),可得.現構造一個全矩陣,對它進行矩陣的行初等變換,把矩陣的位置化為單位矩陣時,矩陣的位置即變為.例4 設,求使得.解 由,知可逆.于是則.2.5 判定向量組的線性相關性，確定極大無關組、向量的線性表示當向量組的秩小于向量的個數時,向量組線性相關;當秩等于向量的個數時,向量組線性無關.因此可以通過求向量組的秩判定向量組是線性相關還是線性無關,同時確定極大無關組.以向量組與向量為列構成矩陣,然后對只施行行初等變換,化

9、為行最簡形矩陣,即行最簡形矩陣.看的最后一列能否由前面各列表示.若能,則由線性表示的系數跟的最后一列由它前列線性表示的系數一樣.例5 判定向量組,的線性相關性,并求出一個極大無關組,把不屬于極大無關組的列向量用極大無關組線性表示.解 以向量組為列構造矩陣知的秩為2,故向量組線性相關,而極大無關組含2個向量.且2個非零行的非零首元在1,2列,故為一個極大無關組.為把用線性表示,把再變成行最簡形矩陣.把上面行最簡形矩陣記作.由于方程與同解,因此向量與之間有相同的線性關系.現在,.因此有,.2.6 求任一向量在任一個基下的坐標在維向量空間中,以任一基的與任一向量為列構成矩陣,然后對只施行行初等變換,

10、化為行最簡形矩陣,即,其中是階單位矩陣,則在基下的坐標為.例6 求向量在基下的坐標,其中,.解 以為列構成矩陣.所以,向量在基下的坐標為.2.7 求子空間的和與交的維數在中設,欲計算與的維數.先以所有向量為列構造矩陣,利用行初等變換求中列向量組的極大無關組,從而得到的一個基,基中向量個數即為的維數.再由即可得的維數.例 求子空間與的交的基與維數,其中.解 以為列構造矩陣由可得是的一個基, 是的一個基.于是,.又,知是的一個基,則.因此.2.8 判斷兩個向量組是否等價判斷向量組與是否等價,以為列先構造矩陣.對,作行初等變換化為階梯形矩陣,分別得到向量組、和矩陣的秩.若秩()=秩(),則向量組可由

11、向量組線性表示;同樣若秩()=秩(),向量組可由向量組線性表示.因此當秩()=秩()=秩()時,向量組與向量組等價.2.9 求齊次線性方程組的基礎解系并求解非齊次線性方程組求線性方程組的解可以采用對增廣矩陣作行初等變換的方法,把矩陣化為階梯形矩陣,由與的秩是否相等來判斷它是否有解以及有解時是有唯一解還是無窮多解.在此過程中只能對增廣矩陣作行初等變換,不可作列初等變換.從而求方程組的基礎解系和通解.例7 求解齊次線性方程組 解 方程組的系數矩陣所以與原方程組同解的方程組為 其中為自由未知量.依次令和代入方程組得基礎解系,. 于是原方程組的全部解為(為任意常數).例8 求解非齊次線性方程組 解 方

12、程組的增廣矩陣與原方程組同解的方程組為 其中為自由未知量.取得一特解:.取代入 得對應齊次線性方程組的基礎解系:.于是原非齊次線性方程組的解為(為任意實數).2.10 求過渡矩陣已知維向量空間的兩組基分別為,.以和為列構成矩陣,對只施行行初等變換,使它變為如下形狀:上式中的位置即為從基到基的過渡矩陣.例9 設,與，是3維向量空間的兩組基.求從基到基的過渡矩陣.解 以,為列構成矩陣,對只施行行初等變換,使它化為如下形狀:所以從基到基的過渡矩陣為:.2.11 化二次型為標準型用初等變換法把二次型化為標準型,是對矩陣施行列初等變換的同時對的位置施行相應的行初等變換,把的位置化為對角陣時,的位置就化為

13、所要求的非奇異變換矩陣.例10 用初等變換法化二次型為標準型.解 二次型的矩陣為.構造矩陣的標準型為,變換矩陣為. 2.12 其它一些應用定理6 一個階矩陣總可以通過第三種行和列的初等變換化為一個對角矩陣,并且.定理7 行初等變換不改變任一的列向量的線性關系.即:假設對施行行初等變換得到,且的列向量分別為和,則：(1)任意數,當且僅當;(2)線性相關當且僅當線性相關.證 (1)由行初等變換的定義知道方程組與方程組同解.因此,若,則有.其中.反之亦成立.(2)由(1)的證明和向量線性相關的定義即可得:線性相關當且僅當線性相關.證畢.推論 列初等變換不改變任一的行向量的線性關系. 3 小結矩陣是線

14、性代數的重要研究對象,矩陣初等變換是線性代數中一種重要的計算工具.本文系統地歸納了矩陣一系列的典型應用,列舉了利用矩陣初等變換可以求行列式的值,求矩陣或向量組的秩,求可逆矩陣的逆等計算實例,方便我們遇到各種情形時的求解.參考文獻1張禾瑞，郝鈵新.高等代數M.北京:高等教育出版社,2005.2歐啟通.矩陣初等變換的應用J.甘肅聯合大學學報,2007,1(3)26-30.3謝芳.矩陣初等變換的若干應用J.昭通師范高等專科學校學報,2004,26(2)51-55.4譚軍.矩陣初等變換的一些性質及應用J.鄭州航空工業管理學院學報,2002,20(4)71-73.致謝辭本文是在祝英杰老師的親切關懷和悉心指導下完成的.他嚴謹的治學精神,精益求精的工作作風,