1、高考中導數問題的常見類型及解法莫少勇近幾年導數進入中學教學教材，給傳統的中學數學內容注入了生機與活力，為中學數學問題（如函數問題、不等式問題、解析幾何問題等）的研究提供了新的視角、新的方法，拓寬了高考的命題空間。近幾年的高考，在逐年加大對導數問題的考查力度，不僅題型在變化，而且問題的難度、深度與廣度也在不斷加大。以下我將結合某些高考題或高考模擬題，談談高考中導數問題的常見類型及解法。類型1利用導數的幾何意義處理曲線的公切線問題例1 （03年全國高考文科試題）已知拋物線C: y=x+2x和拋物線C:y=-x+,當取什么值時，C 和C有且僅有一條公切線？寫出此公切線的方程。解 ：設公切線L切C于P

2、(x,y),切C于P(x,y), 則L的方程有兩種表達方式：;.、變為和于是消去,得，由題意知，此時，重合。故當時，和有且僅有一條公切線，且公切線方程為.評注：本題主要考察導數的幾何意義、公切線方程的兩種表示法以及二次方程的相關知識。注意“”與“”表示同一條直線的充要條件是“且”，在曲線的公切線問題中常常以此來構建方程。類型2利用導數研究三次函數、簡單分式函數的性質例2 （2003年安徽省春季高考題）已知在與x=1時都取得極值。（1）求b、c之值；（2）若對任意，恒成立。求d的取值范圍。解 由題意知,是方程的兩根,于是 當時, 當時, 當時, 當時,有極大值 又時, 的最大值為 對任意恒成立即

3、 或例3 (2004年合肥市高考模擬題)研究函數的單調性. 本題主要考查導數與函數單調性的關系,注意分類討論的思想方法. 解: 當時,由得 +-+從上表中的符號隨取值的變化規律發現,此時的單調區間是和,單調減區間是和. 當時, 此時的定義域為因此在內單調遞增. 當時,定義域為此時單調區間是和沒有單調減區間.評注:用傳統數學教材中的知識與方法往往難以研究象例2、例3這種函數問題的單調性、極值與最值,導數無疑為這類問題的解決提供了方法.掌握可導函數的單調區間、極值與最值的求解方法是解題的關鍵.類型3已知函數的單調性,反過來確定函數式中特定字母的值或范圍.例4 (2000年全國高考試題) 設函數=其

4、中求的取值范圍,使函數在區間上是單調函數.解:函數在上是單調函數,即或在上恒成立. 由,得在上的最小值是0,所以此與題設矛盾. 由,得在上連續遞增,且所有值都小于1,所以綜合可知,當時,函數在區間上是單調函數. 評注:可導函數在(a,b)上是單調遞增(或單調遞減)函數的充要條件是:對于任意都有(或),且在(a,b)的任意子區間上都不恒為零.在高中階段.主要出現的是有一個或多個(有限個)使的點的情況.像例4這種逆向設置問題,是今后高考命題的一種趨向,它充分體現了高考”能力立意”的思想.對此,復習中應引起高度重視.類型4利用導數處理含參數的恒成立的不等式問題例5 (2003年安慶市高考模擬題) 已

5、知不等式對任意實數恒成立,求實數的取值范圍.解: 令 當時,由得且當時當時, 是的最小值. 在上恒成立即 當時,由得 x(-x,-)(-,0)(0,)(,+x)f(x)1+-+ 從上表可知f(x)=- a +2是極大值f()是極小值且為f(x)在(-,+)上的最小值因此f(x)>0在(-,+)上恒成立f()=-a-a+2>0, 即-2<a<1. -2<a<0. 綜合、可知，實數a的取值范圍是-2<a<0. 評注：本題是求一元四次恒成立不等式中參數的取值范圍，在短時間內往往難以很快尋得正確的解題思路若從導數知識入手，解題則十分順當，令人耳目一新，體

6、現了導數較高的思維價值類型5利用導數處理實際生活中的優化問題例6 (2001 年全國高考試題)用總長14.8米的鋼條做一個長方體容器的框架如果所做容器的底面的一邊長比另一邊多.米，那么高是多少時容器的容積最大，并求出它的最大容積本題主要考察利用導數求實際問題中的最值解設該容器底面矩形邊長為x米，則另一邊長為(x+0.5)米，此容器的高為h=-x-(x+0.5)=3.2-2x.于是此容器的容積為：(x)=x(x+0.5)(3.2-2x)=-2x+2.2x+1.6x,其中0<x<1.6.由=-6x+4.4x+1.6=-(15x-11x-4)=0,得x=1,x=-(不合題意，舍去)因為在 在(0,1.6)內只有一個極值點，而實際問題又必有最大容積，因此，當x=1(米)時，時候V(x)有最大值V(1)=1*1.5*1.2=1.8(米)，此時h=1.2(米)答：當高為1.2米時，長方體容器的容積最大，且最大容積為1.8米.評注：這是一道實際生活中的優化問題，建立的目標函數是三次函數，用過去的知識求其最值往往沒有一般方法，即使能求出，也要涉及到較高的技能技巧而運用導數知識，求三次目標函數的最值就變得非常簡單，對于實際生活中的優化問題，如果其目標函數為高次多項式函數，簡單的分式函數，簡單的無理函數，簡單的指數，對數函數，或他們的復合函數，均可用導數