1、平面應變有限元分析中砂井的處理方法摘要為了能用平面應變有限元來分析砂井地基，本文首先推導出了砂墻地基(砂井地基在平面應變條件下的表現形式)雙向滲流等應變固結理論解，然后將此解與巴隆軸對稱固結理論解相比較，得到砂井地基平面應變情況和軸對稱情況之間的等效公式.此公式即考慮了地基水平變形，也考慮了砂井的涂抹作用.這種等效方法能方便、準確地用于砂井地基的平面應變有限元分析之中.關鍵詞砂井，固結，平面應變有限元，砂墻.目前，砂井(包括砂樁、塑料排水板)排水方法已廣泛地應用于各種軟基處理工程當中.在常規的工程設計中，一般把砂井群地基簡化成單井地基，按軸對稱固結情況來分析其固結過程.若要用有限元來分析，對砂

2、井地基嚴格的講應該采用三維固結有限元來計算.但是三維有限元分析本身的工作量就已相當大，如果再加上密集的砂井而導致劃分的單元大為增加，相比之下，平面問題有限元就要簡便得多，得到廣泛的使用.當然，若直接用平面應變有限元來分析，這顯然是不對的.所以很有必要將砂井地基這種三維系統(或近似的軸對稱問題)轉換為平面應變問題來處理.其辦法是把原來沿著路基、堤壩等建筑物的縱向有一定間隔分布的砂井想象成沿著縱向連續不間斷分布的砂墻，即把原來的砂井地基變成打設了一排一排砂墻的地基.而這種砂墻地基就可以當作平面應變問題來分析.再者，在有限元劃分網格時，往往需要在砂井(砂墻)上設置結點，但又不能將一個單元的每個結點均

3、設在砂井上，這就要在砂井中間再劃分一排結點，這將使結點數成倍增加，增加計算工作量.因此還需要放大砂井的間距.但這兩種變換應保證變換前后主要基本量(如固結度)保持不變的前提下進行.有學者推導了等效變換公式，如Shinsya,H.1、Hird, C.C.2和Indraratna, B.3等.對于Shinsya，H.公式應用起來不方便和準確性不好；Hird,C.C.和Indraratna, B.均是從Hansbo理論出發推得的，前者未考慮涂抹作用，后者考慮了涂抹作用，但兩者都沒能考慮地基的側向變形和豎向滲流的影響.我們知道地基的水平向變形在砂井地基的穩定性分析中是一個重要的因素2，而且砂井的涂抹作用

4、對固結速率的影響也是不可忽略的4.本文將從廣泛使用的巴隆理論出發，既考慮涂抹作用又考慮地基的側向變形和豎向滲流的影響，得到砂井地基平面應變問題和軸對稱問題之間的等效方法.這種等效方法只要調整滲透系數即可， 對砂墻的間距可根據網格劃分的需要任意取值.1砂墻地基雙向應變雙向滲流等應變固結理論解與單井軸對稱固結問題相類似，如圖1，取單排砂墻來分析.B為砂墻間距的一半，H為砂墻打設的深度，rwp為砂墻厚度的一半(即為原砂井的半徑).1.1考慮涂抹的影響砂井打設過程中，形成所謂的“涂抹區”，如圖1所示，其外緣離中心的距離為rsp.涂抹區的固結變形很快就可完成，因此可將涂抹區擾動土視為不可壓縮材料.若在涂

5、抹區內不計豎向滲流影響，涂抹區孔隙壓力us應滿足方程：(1)ksp為涂抹區滲透系數，rw為水的容重. 根據邊界條件：x=rwp時，us=uw，其中uw為同一深度處砂井區域內的超靜孔壓.對式(1)進行積分后得到：(2)式(2)整理后得：(3)1.2雙向滲流等應變固結解巴隆在分析砂井地基時，為便于求解，將砂井地基變形分成自由應變和等垂直應變兩種理想情況.經分析表明5，6，自由應變解與等應變解差別很小，而后者在數學上要簡單的多，因此一般采用等應變解即可.本文也僅推求砂墻地基的等應變解，并且考慮水平向變形的影響，即為等體積應變.如圖取厚度為dz，x方向寬為B-x，縱向取單位長度的粘土薄片作為土體考察單

6、元.通過其全部邊界的總滲出水量為：式中：kxp、kzp分別為砂墻地基的水平向和豎直向滲透系數；zp為深度z處的平均超靜孔壓，定義為：由于等體積應變假設，故同一水平面上各點體積應變相等，另設總應力不隨時間變化，土體為線彈性體，于是土體單元的體積壓縮量為：(6)式中：v土體泊松比；E土體模量，mv為本積壓縮模量。式(4)、(6)代入體積變化連續條件QV，并整理得：（7）式(7)中由于考慮了水平向變形，固結系數為：（8）（9）式(7)移項得：（10）上式右端與x無關，令（11）將式(10)分離變量并對x積分一次可得：u=A·x2/2-A·B·x+f(z,t)（12）下面

7、需求積分參數f1(z,t).在x=rsp處應有：ux=rsp=usx=rsp，即：（13）將式(3)代入(13)中可得：（14）再利用x=rsp處，將此式代入(10)式，并使得x=rsp，最后整理為：（15）式(15)代入式(14)可求得（16）對式(12)沿x方向在rsp,B內積分，并兩邊同除以(B-rsp)：（17）上式左邊即為zp,f1(z,t)用(16)式代入，A用(11)式代回，并令np=B/rwp，sp=rsp/rwp，這樣就可將(17)式整理為：（18）其中（19）當不計井阻作用時，uw=0，再加上初始條件和邊界條件，得到關于zp的定解問題：（20）解此定解問題得到z深度平均孔壓

8、解析解為：其中:（21）M=(2m-1)/2,      (m=1,2,),（22）（23）由(21)式可算得平均孔隙水壓力：(24)于是得到砂墻地基的雙向滲流平均固結度表達式：(25)2平面應變固結理論與軸對稱固結理論之間的等效公式不計井阻時，巴隆雙向滲流軸對稱等應變固結解析解由趙維炳推得5，6:z深度處孔壓表達式：(26)平均固結度表達式：(27)其中：                

9、0; (28)(29)(30)(31)式(29)中n為砂井的井徑比n=re/rwa,re指的是單井的有效排水區半徑，rwa為砂井半徑；s為涂抹半徑rs與砂井半徑rwa之比，s=rs/rwa.kra,kza分別為砂井地基的徑向與豎向滲透系數.如本文前言中所述，對砂井地基進行平面應變有限元分析，實際上是把砂井地基變成了砂墻地基；而且劃分網格時，還需要調整砂井(即砂墻)的間距.這些處理應保證處理前后地基的平均固結度或同一深度處的平均孔壓保持不變的前提下進行.這可以通過在平面應變有限元計算時調整砂井地基的實際滲透系數來實現.比較式(25)、(27)或式(21)、(26)可知：欲使在任何時刻均有：p=a

10、或zp=za(在任何同一深度)，只需Kma=Kmp.(32)為方便起見，將水平向滲流和豎向滲流分開考慮.這樣式(32)可表示為：水平向：       （33）豎直向：Cz=Cza.(34)先考慮水平向.將式(8)、(19)、(31)代入(33)式中整理得：kxp=Dx*kra.(35)Dx為水平向滲透系數的調整系數：L為砂井間距的放大倍數：L=B/re; =kra/ks, a見式(29).再考慮豎向滲流.將式(9)、(30)代入(34)式可得：kzp=Dz*kza,(37)Dz為豎向滲透系數的調整系數：Dz=2(1+）/3.(38)由

11、式(35)和(37)知道：我們在平面有限元計算中所采用的滲透系數kxp、kzp應該分別是實際砂井地基滲透系數kra、kza的Dx和Dz倍.如安徽某電廠灰壩地基處理中，采用了正方形布置的塑料排水板方案.其間距為：1.2m，1.5m，2.0m.筆者在有限元計算中全部將排水板間距取為4.8m(即B=2.4m)，取土體泊松比v=0.35以及其它s1.2，sp=1.2，=7.0等.由式(36)和(38)計算得各種間距情況下滲透系數的調整系數見表1.表1調整系數圖1砂墻的固結問題砂井的實際間距d/m2.01.51.2砂井的有效排水半徑re/m1.1280.8460.677假想砂墻所采用的間距2B/m4.8

12、4.84.8等效砂井半徑rwa/m0.0350.0350.035水平向滲透系數的調整系數Dx=kxpkra0.7171.4372.548豎向滲透系數的調整系數Dz=kzp/kza0.90.90.93結語(1)本文推導出了考慮涂抹作用砂墻地基雙向應變雙向滲流等應變固結解析解，并與巴隆軸對稱解比較，得到砂井地基平面應變問題和軸對稱問題之間的等效方法.這樣只要適當地調整滲透系數，就可以對砂井地基進行平面應變有限元計算.而且砂墻的間距可根據網格劃分的需要任意取值.(2)對于有豎向排水設置的地基，其固結和滲透方面往往是水平向占主要方面，因此對水平向滲透系數的調整也是最主要的，而對豎向可以不作調整.這在以上的等效公式中有所反映.(3)水平向滲透系數的調整系數有可能大于1，也有可能小于1.這是因為在砂墻與砂井分布的間距相差不大時，砂墻地基的排水能力顯然大于砂井地基的排水能力，固結速率方面砂墻地基要來得快一些，這時在計算中就應該縮小水平向的滲透系數，才能較真實地反映實際地基的固結情況；當計算時所采用的砂墻間距進一步擴大時，砂墻地基的排水能力就有