江西省2013年中考數(shù)學(xué)試題及答案(Word解析版)_第1頁(yè)
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1、江西省2013年中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷解析(江西于都三中 蔡家祿)說(shuō)明:1本卷共有七個(gè)大題,24個(gè)小題,全卷滿分120分,考試時(shí)間120分鐘。 2本卷分為試題卷和答題卷,答案要求寫在答題卷上,不得在試題卷上作答,否則不給分。一、選擇題(本大題共6個(gè)小題,每小題3分,共18分)每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)11的倒數(shù)是( ) A1B1C1D0【答案】B.【考點(diǎn)解剖】本題考查了實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì),要知道什么是倒數(shù)【解題思路】根據(jù)倒數(shù)的定義,求一個(gè)數(shù)的倒數(shù),就是用1除以這個(gè)數(shù),所以1的倒數(shù)為,選B.【解答過(guò)程】,選B.【方法規(guī)律】根據(jù)定義直接計(jì)算【關(guān)鍵詞】實(shí)數(shù)倒數(shù)2下列計(jì)算正確的是( ) Aa3+a2=a5B

2、(3ab)2=9a2b2Ca6ba2=a3bD(ab3)2=a2b6【答案】D.【考點(diǎn)解剖】本題考查了代數(shù)式的有關(guān)運(yùn)算,涉及單項(xiàng)式的加法、除法、完全平方公式、冪的運(yùn)算性質(zhì)中的同底數(shù)冪相除、積的乘方和冪的乘方等運(yùn)算性質(zhì),正確掌握相關(guān)運(yùn)算性質(zhì)、法則是解題的前提【解題思路】 根據(jù)法則直接計(jì)算【解答過(guò)程】 A.與不是同類項(xiàng),不能相加(合并),與相乘才得;B.是完全平方公式的應(yīng)用,結(jié)果應(yīng)含有三項(xiàng),這里結(jié)果只有兩項(xiàng),一看便知是錯(cuò)的,正確為;C.兩個(gè)單項(xiàng)式相除,系數(shù)與系數(shù)相除,相同的字母相除(同底數(shù)冪相除,底數(shù)不變,指數(shù)相減),正確的結(jié)果為;D.考查冪的運(yùn)算性質(zhì)(積的乘方等于把積中的每一個(gè)因式分別乘方,再把

3、所得的冪相乘,冪的乘方,底數(shù)不變,指數(shù)相乘),正確,選D.【方法規(guī)律】 熟記法則,依法操作.【關(guān)鍵詞】 單項(xiàng)式 多項(xiàng)式 冪的運(yùn)算3下列數(shù)據(jù)是2013年3月7日6點(diǎn)公布的中國(guó)六大城市的空氣污染指數(shù)情況:城市北京合肥南京哈爾濱成都南昌污染指數(shù)34216316545227163則這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)和眾數(shù)分別是( ) A164和163B105和163C105和164D163和164【答案】 A.【考點(diǎn)解剖】 本題考查的是統(tǒng)計(jì)初步中的基本概念中位數(shù)、眾數(shù),要知道什么是中位數(shù)、眾數(shù)【解題思路】 根據(jù)中位數(shù)、眾數(shù)的定義直接計(jì)算【解答過(guò)程】 根據(jù)中位數(shù)的定義將一組數(shù)據(jù)從小到大或從大到小排序,處于中間(數(shù)據(jù)個(gè)數(shù)為

4、奇數(shù)時(shí))的數(shù)或中間兩個(gè)數(shù)的平均數(shù)(數(shù)據(jù)為偶數(shù)個(gè)時(shí))就是這組數(shù)據(jù)的中位數(shù);眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的那個(gè)數(shù),所以342、163、165、45、227、163的中位數(shù)是163和165的平均數(shù)164,眾數(shù)為163,選A.【方法規(guī)律】 熟知基本概念,直接計(jì)算.【關(guān)鍵詞】 統(tǒng)計(jì)初步 中位數(shù) 眾數(shù)4如圖,直線y=x+a2與雙曲線y=交于A,B兩點(diǎn),則當(dāng)線段AB的長(zhǎng)度取最小值時(shí),a的值為( ) A0B1C2D5【答案】 C.【考點(diǎn)解剖】 本題以反比例函數(shù)與一次函數(shù)為背景考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)、待定系數(shù)法,以及考生的直覺(jué)判斷能力【解題思路】 反比例函數(shù)圖象既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形,只有當(dāng)A、B、O

5、三點(diǎn)共線時(shí),才會(huì)有線段AB的長(zhǎng)度最小,(當(dāng)直線AB的表達(dá)式中的比例系數(shù)不為1時(shí),也有同樣的結(jié)論).【解答過(guò)程】 把原點(diǎn)(0,0)代入中,得.選C.【方法規(guī)律】 要求a的值,必須知道x、y的值(即一點(diǎn)的坐標(biāo))由圖形的對(duì)稱性可直觀判斷出直線AB過(guò)原點(diǎn)(0,0)時(shí),線段AB才最小,把原點(diǎn)的坐標(biāo)代入解析式中即可求出a的值.【關(guān)鍵詞】 反比例函數(shù) 一次函數(shù) 雙曲線 線段最小5一張坐凳的形狀如圖所示,以箭頭所指的方向?yàn)橹饕暦较颍瑒t他的左視圖可以是( )【答案】 C.【考點(diǎn)解剖】 本題考查的投影與視圖中的畫(huà)已知物體的三視圖,要正確掌握畫(huà)三視圖的有關(guān)法則【解題思路】 可用排除法,B、D兩選項(xiàng)有迷惑性,B是主視

6、圖,D不是什么視圖,A少了上面的一部分,正確答案為C.【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 先要搞準(zhǔn)觀看的方向,三視圖是正投影與平行投影的產(chǎn)物,反映物體的輪廓線,看得到的畫(huà)成實(shí)線,遮擋部分畫(huà)成虛線.【關(guān)鍵詞】 三視圖 坐凳6若二次涵數(shù)y=ax+bx+c(a0)的圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),坐標(biāo)分別為(x1,0),(x2,0),且x10Bb24ac0Cx1x0x2Da(x0x1)( x0x2)0,a0且有,則的值為負(fù);在圖2中,a0且有,則的值也為負(fù).所以正確選項(xiàng)為D.【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 先排除錯(cuò)誤的,剩下的再畫(huà)圖分析(數(shù)形結(jié)合)【關(guān)鍵詞】 二次函數(shù) 結(jié)論正誤判斷二、填空題(本大題共8小題,每小

7、題3分,共24分)7分解因式x24= 【答案】 (x+2)(x2).【考點(diǎn)解剖】 本題的考點(diǎn)是因式分解,因式分解一般就考提取公因式法和公式法(完全平方公式和平方差公式),而十字相乘法、分組分解等方法通常是不會(huì)考的【解題思路】 直接套用公式即【解答過(guò)程】 .【方法規(guī)律】 先觀察式子的特點(diǎn),正確選用恰當(dāng)?shù)姆纸夥椒?【關(guān)鍵詞】 平方差公式 因式分解8如圖ABC中,A=90點(diǎn)D在AC邊上,DEBC,若1=155, 則B的度數(shù)為 【答案】65.【考點(diǎn)解剖】 本題考查了平行線的性質(zhì)、鄰補(bǔ)角、直角三角形兩銳角互余等知識(shí),題目較為簡(jiǎn)單,但有些考生很簡(jiǎn)單的計(jì)算都會(huì)出錯(cuò),如犯之類的錯(cuò)誤【解題思路】 由,可求得,最

8、后求【解答過(guò)程】 ADE=155, EDC=25.又DEBC,C=EDC=25,在ABC中,A=90,B+C=90,B=65.【方法規(guī)律】 一般求角的大小要搞清楚所求角與已知角之間的等量關(guān)系,本題涉及三角形內(nèi)角和定理、兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等,等量代換等知識(shí)和方法.【關(guān)鍵詞】 鄰補(bǔ)角 內(nèi)錯(cuò)角 互余 互補(bǔ)9某單位組織34人分別到井岡山和瑞金進(jìn)行革命傳統(tǒng)教育,到井岡山的人數(shù)是到瑞金的人數(shù)的2倍多1人,求到兩地的人數(shù)各是多少?設(shè)到井岡山的人數(shù)為x人,到瑞金的人數(shù)為y人,請(qǐng)列出滿足題意的方程組是 【答案】.【考點(diǎn)解剖】 本題考查的是列二元一次方程組解應(yīng)用題(不要求求出方程組的解),準(zhǔn)確找出數(shù)量之間的相等

9、關(guān)系并能用代數(shù)式表示【解題思路】 這里有兩個(gè)等量關(guān)系:井岡山人數(shù)+瑞金人數(shù)=34,井岡山人數(shù)=瑞金人數(shù)2+1.所以所列方程組為【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 抓住關(guān)鍵詞,找出等量關(guān)系【關(guān)鍵詞】 列二元一次方程組10如圖,矩形ABCD中,點(diǎn)E、F分別是AB、CD的中點(diǎn),連接DE和BF,分別取DE、BF的中點(diǎn)M、N,連接AM,CN,MN,若AB=2,BC=2,則圖中陰影部分的面積為 【答案】 2.【考點(diǎn)解剖】 本題考查了陰影部分面積的求法,涉及矩形的中心對(duì)稱性、面積割補(bǔ)法、矩形的面積計(jì)算公式等知識(shí),解題思路方法多樣,計(jì)算也并不復(fù)雜,若分別計(jì)算再相加,則耗時(shí)耗力,仔細(xì)觀察不難發(fā)現(xiàn)陰影部分的面積其實(shí)就

10、是原矩形面積的一半(即),這種“整體思想”事半功倍,所以平時(shí)要加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想、方法的學(xué)習(xí)與積累【解題思路】 BCN與ADM全等,面積也相等,口DFMN與口BEMN的面積也相等,所以陰影部分的面積其實(shí)就是原矩形面積的一半【解答過(guò)程】 ,即陰影部分的面積為.【方法規(guī)律】 仔細(xì)觀察圖形特點(diǎn),搞清部分與整體的關(guān)系,把不規(guī)則的圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則的來(lái)計(jì)算.【關(guān)鍵詞】 矩形的面積 二次根式的運(yùn)算 整體思想11觀察下列圖形中點(diǎn)的個(gè)數(shù),若按其規(guī)律再畫(huà)下去,可以得到第n個(gè)圖形中所有的個(gè)數(shù)為 (用含n的代數(shù)式表示)【答案】 (n+1)2 .【考點(diǎn)解剖】 本題考查學(xué)生的觀察概括能力,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,列代數(shù)式【解題思路】 找出點(diǎn)數(shù)

11、的變化規(guī)律,先用具體的數(shù)字等式表示,再用含字母的式子表示【解答過(guò)程】 略. 【方法規(guī)律】 由圖形的變化轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)式子的變化,加數(shù)為連續(xù)奇數(shù),結(jié)果為加數(shù)個(gè)數(shù)的平方.【關(guān)鍵詞】 找規(guī)律 連續(xù)奇數(shù)的和12若一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根分別是RtABC的兩條直角邊長(zhǎng),且SABC=3,請(qǐng)寫出一個(gè)符合題意的一元二次方程 【答案】 x25x+6=0.【考點(diǎn)解剖】 本題是道結(jié)論開(kāi)放的題(答案不唯一),已知直角三角形的面積為3(直角邊長(zhǎng)未定),要寫一個(gè)兩根為直角邊長(zhǎng)的一元二次方程,我們盡量寫邊長(zhǎng)為整數(shù)的情況(即保證方程的根為整數(shù)),如直角邊長(zhǎng)分別為2、3的直角三角形的面積就是3,以2、3為根的一元二次方程為;也可以

12、以1、6為直角邊長(zhǎng),得方程為.(求作一元二次方程,屬“一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系”知識(shí)范疇,這種題型在以前相對(duì)考得較少,有點(diǎn)偏了.)【解題思路】 先確定兩條符合條件的邊長(zhǎng),再以它為根求作一元二次方程【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 求作方程可以用根與系數(shù)的關(guān)系,也可由因式分解法解一元二次方程.【關(guān)鍵詞】 直角三角形 根 求作方程13如圖,ABCD與DCFE的周長(zhǎng)相等,且BAD=60,F(xiàn)=110,則DAE的度數(shù)為 【答案】 25.【考點(diǎn)解剖】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì),等腰三角形的判定與性質(zhì)【解題思路】 已知兩個(gè)平行四邊形的周長(zhǎng)相等,且有公共邊CD,則有AD=DE,即ADE為等腰三角形,頂角AD

13、E=BCF=60+70=130,DAE=25【解答過(guò)程】 ABCD與DCFE的周長(zhǎng)相等,且有公共邊CD,AD=DE, ADE=BCF=60+70=130.DAE=.【方法規(guī)律】 先要明確DAE的身份(為等腰三角形的底角),要求底角必須知道另一角的度數(shù),分別將BAD=130轉(zhuǎn)化為BCD=130,F=110轉(zhuǎn)化為DCF=70,從而求得ADE=BCF=130.【關(guān)鍵詞】 平行四邊形 等腰三角形 周長(zhǎng) 求角度14平面內(nèi)有四個(gè)點(diǎn)A、O、B、C,其中AOB=120,ACB=60,AO=BO=2,則滿足題意的OC長(zhǎng)度為整數(shù)的值可以是 【答案】2,3,4.【考點(diǎn)解剖】 本題主要考查學(xué)生閱讀理解能力、作圖能力、

14、聯(lián)想力與思維的嚴(yán)謹(jǐn)性、周密性,所涉及知識(shí)點(diǎn)有等腰三角形、圓的有關(guān)知識(shí),分類討論思想,不等式組的整數(shù)解,在運(yùn)動(dòng)變化中抓住不變量的探究能力【解題思路】 由AOB=120,AO=BO=2畫(huà)出一個(gè)頂角為120、腰長(zhǎng)為2的等腰三角形,由與互補(bǔ),是的一半,點(diǎn)C是動(dòng)點(diǎn)想到構(gòu)造圓來(lái)解決此題【解答過(guò)程】 【方法規(guī)律】 構(gòu)造恰當(dāng)?shù)膱D形是解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵.【關(guān)鍵詞】 圓 整數(shù)值三、(本大題共2小題,每小題5分,共10分)15解不等式組并將解集在數(shù)軸上表示出來(lái)【答案】解:由x+21得x1, 由2x+63x得x3,不等式組的解集為1x0)的圖象和矩形ABCD的第一象限,AD平行于x軸,且AB=2,AD=4,點(diǎn)A的坐標(biāo)

15、為(2,6) (1)直接寫出B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo); (2)若將矩形向下平移,矩形的兩個(gè)頂點(diǎn)恰好同時(shí)落在反比例函數(shù)的圖象上,猜想這是哪兩個(gè)點(diǎn),并求矩形的平移距離和反比例函數(shù)的解析式【答案】(1)B(2,4),C(6,4),D(6,6).(2)如圖,矩形ABCD向下平移后得到矩形,設(shè)平移距離為a,則A(2,6a),C(6,4a)點(diǎn)A,點(diǎn)C在y=的圖象上,2(6a)=6(4a), 解得a=3,點(diǎn)A(2,3),反比例函數(shù)的解析式為y=【考點(diǎn)解剖】 本題以矩形為背景考查用待定系數(shù)法求反比例函數(shù)的解析式【解題思路】 先根據(jù)矩形的對(duì)邊平行且相等的性質(zhì)得到B、C、D三點(diǎn)的坐標(biāo),再?gòu)木匦蔚钠揭七^(guò)程發(fā)現(xiàn)只有A、C

16、兩點(diǎn)能同時(shí)在雙曲線上(這是種合情推理,不必證明),把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=中,得到關(guān)于a、k的方程組從而求得k的值【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 把線段的長(zhǎng)轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo),在求k的值的時(shí)候,由于k的值等于點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)之積,所以直接可得方程2(6a)=6(4a),求出a后再由坐標(biāo)求k,實(shí)際上也可把A、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入y=中,得到關(guān)于a、k的方程組從而直接求得k的值.【關(guān)鍵詞】 矩形 反比例函數(shù) 待定系數(shù)法20生活中很多礦泉水沒(méi)有喝完便被扔掉,造成極大的浪費(fèi),為此數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)對(duì)某單位的某次會(huì)議所用礦泉水的浪費(fèi)情況進(jìn)行調(diào)查,為期半天的會(huì)議中,每人發(fā)一瓶500ml的礦泉水,會(huì)后對(duì)所發(fā)礦泉水喝

17、的情況進(jìn)行統(tǒng)計(jì),大至可分為四種:A全部喝完;B喝剩約;C喝剩約一半;D開(kāi)瓶但基本未喝同學(xué)們根據(jù)統(tǒng)計(jì)結(jié)果繪制如下兩個(gè)統(tǒng)計(jì)圖,根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息,解答下列問(wèn)題: (1)參加這次會(huì)議的有多少人?在圖(2)中D所在扇形的圓心角是多少度?并補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖;(計(jì)算結(jié)果請(qǐng)保留整數(shù)) (2)若開(kāi)瓶但基本未喝算全部浪費(fèi),試計(jì)算這次會(huì)議平均每人浪費(fèi)的礦泉水約多少毫升? (3)據(jù)不完全統(tǒng)計(jì),該單位每年約有此類會(huì)議60次,每次會(huì)議人數(shù)約在40至60人之間,請(qǐng)用(2)中計(jì)算的結(jié)果,估計(jì)該單位一年中因此類會(huì)議浪費(fèi)的礦泉水(500ml/瓶)約有多少瓶?(可使用科學(xué)計(jì)算器)【答案】(1)根據(jù)所給扇形統(tǒng)計(jì)圖可知,喝剩約的人數(shù)

18、是總?cè)藬?shù)的50%,2550%=50,參加這次會(huì)議的總?cè)藬?shù)為50人, 360=36,D所在扇形圓心角的度數(shù)為36, 補(bǔ)全條形統(tǒng)計(jì)圖如下; (2)根據(jù)條形統(tǒng)計(jì)圖可得平均每人浪費(fèi)礦泉水量約為:(25500+10500+5500)50=50183毫升; (3)該單位每年參加此類會(huì)議的總?cè)藬?shù)約為24000人3600人,則浪費(fèi)礦泉水約為3000183500=1098瓶【考點(diǎn)解剖】 本題考查的是統(tǒng)計(jì)初步知識(shí),條形統(tǒng)計(jì)圖與扇形統(tǒng)計(jì)圖信息互補(bǔ),文字量大,要求考生具有比較強(qiáng)的閱讀理解能力.本題所設(shè)置的問(wèn)題比較新穎,并不是象傳統(tǒng)考試直接叫你求平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)或方差,而是換一種說(shuō)法,但考查的本質(zhì)仍然為求加權(quán)平均數(shù)

19、、以樣本特性估計(jì)總體特性.顯然這對(duì)考生的能力要求是非常高的【解題思路】 (1)由扇形統(tǒng)計(jì)圖可看出B類占了整個(gè)圓的一半即50%(遺憾的是扇形中沒(méi)有用具體的數(shù)字(百分比)表示出來(lái),這是一種很不嚴(yán)謹(jǐn)?shù)拿}失誤),從條形統(tǒng)計(jì)圖又知B類共25人,這樣已知部分?jǐn)?shù)的百分比就可以求出總?cè)藬?shù),而D類有5人,已知部分?jǐn)?shù)和總數(shù)可以求出D類所占總數(shù)百分比,再由百分比確定所占圓的圓心角的度數(shù);已知總?cè)藬?shù)和A、B、D類的人數(shù)可求出C類的人數(shù)為10人,將條形統(tǒng)計(jì)圖中補(bǔ)完整;(2)用總的浪費(fèi)量除以總?cè)藬?shù)50就得到平均每人的浪費(fèi)量;(3)每年開(kāi)60次會(huì),每次會(huì)議將有40至60人參加,這樣折中取平均數(shù)算一年將有3000人參加會(huì)議

20、,用3000乘以(2)中的結(jié)果(平均每人的浪費(fèi)量),得到一年總的浪費(fèi)量,再轉(zhuǎn)換成瓶數(shù)即可【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 能從實(shí)際問(wèn)題中抽出數(shù)學(xué)問(wèn)題,從題中抽出關(guān)鍵詞即要弄清已知什么,要求什么(不要被其它無(wú)關(guān)信息干擾).【關(guān)鍵詞】 礦泉水 統(tǒng)計(jì)初步六、(本大題共2小題,每小題9分,共18分)21如圖1,一輛汽車的背面,有一種特殊形狀的刮雨器,忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB,如圖2所示,量得連桿OA長(zhǎng)為10cm,雨刮桿AB長(zhǎng)為48cm,OAB=120若啟動(dòng)一次刮雨器,雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置,如圖3所示 (1)求雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度及O、B兩點(diǎn)之間的距離;(結(jié)果精確到0.01

21、) (2)求雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積(結(jié)果保留的整數(shù)倍) (參考數(shù)據(jù):sin60=,cos60=,tan60=,26.851,可使用科學(xué)計(jì)算器)【答案】解:(1)雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180 連接OB,過(guò)O點(diǎn)作AB的垂線交BA的延長(zhǎng)線于EH,OAB=120,OAE=60在RtOAE中,OAE=60,OA=10,sinOAE=,OE=5, AE=5.EB=AE+AB=53, 在RtOEB中,OE=5,EB=53,OB=253.70; (2)雨刮桿AB旋轉(zhuǎn)180得到CD,即OCD與OAB關(guān)于點(diǎn)O中心對(duì)稱,BAOOCD,SBAO=SOCD, 雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積S=(OB2OA2) =139

22、2.【考點(diǎn)解剖】 本題考查的是解直角三角形的應(yīng)用,以及扇形面積的求法,難點(diǎn)是考生缺乏生活經(jīng)驗(yàn),弄不懂題意(提供的實(shí)物圖也不夠清晰,人為造成一定的理解困難)【解題思路】 將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題,(1)AB旋轉(zhuǎn)的最大角度為180;在OAB中,已知兩邊及其夾角,可求出另外兩角和一邊,只不過(guò)它不是直角三角形,需要轉(zhuǎn)化為直角三角形來(lái)求解,由OAB=120想到作AB邊上的高,得到一個(gè)含60角的RtOAE和一個(gè)非特殊角的RtOEB.在RtOAE中,已知OAE=60,斜邊OA=10,可求出OE、AE的長(zhǎng),進(jìn)而求得RtOEB中EB的長(zhǎng),再由勾股定理求出斜邊OB的長(zhǎng);(2)雨刮桿AB掃過(guò)的最大面積就是一個(gè)半圓環(huán)

23、的面積(以O(shè)B、OA為半徑的半圓面積之差).【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 將斜三角形轉(zhuǎn)化為直角三角形求解.在直角三角形中,已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.【關(guān)鍵詞】 刮雨器 三角函數(shù) 解直角三角形 中心對(duì)稱 扇形的面積22如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,以點(diǎn)O為圓心,半徑為2的圓與y軸交于點(diǎn)A,點(diǎn)P(4,2)是O外一點(diǎn),連接AP,直線PB與O相切于點(diǎn)B,交x軸于點(diǎn)C(1)證明PA是O的切線;(2)求點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)求直線AB的解析式【答案】(1)證明:依題意可知,A(0,2)A(0,2),P(4,2),APx軸 OAP=90,且點(diǎn)A在O上,PA是O的切線; (2)解法一:連接OP,OB,作P

24、Ex軸于點(diǎn)E,BDx軸于點(diǎn)D,PB切O于點(diǎn)B,OBP=90,即OBP=PEC,又OB=PE=2,OCB=PECOBCPECOC=PC(或證RtOAPOBP,再得到OC=PC也可)設(shè)OC=PC=x,則有OE=AP=4,CE=OEOC=4x,在RtPCE中,PC2=CE2+PE2,x2=(4x)2+22,解得x=, 4分BC=CE=4=,OBBC=OCBD,即2=BD,BD=OD=,由點(diǎn)B在第四象限可知B(,); 解法二:連接OP,OB,作PEx軸于點(diǎn)E,BDy軸于點(diǎn)D,PB切O于點(diǎn)B,OBP=90即OBP=PEC又OB=PE=2,OCB=PEC,OBCPECOC=PC(或證RtOAPOBP,再得

25、到OC=PC也可)設(shè)OC=PC=x,則有OE=AP=4,CE=OEOC=4x,在RtPCE中,PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22,解得x=, 4分BC=CE=4=,BDx軸,COB=OBD,又OBC=BDO=90,OBCBDO, =,即=BD=,OD=由點(diǎn)B在第四象限可知B(,); (3)設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,由A(0,2),B(,),可得; 解得直線AB的解析式為y=2x+2【考點(diǎn)解剖】 本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長(zhǎng)、點(diǎn)的坐標(biāo)、待定系數(shù)法求函數(shù)解析式等【解題思路】(1) 點(diǎn)A在圓上,要證PA是圓的切線,只要證PAOA(OAP=90)即可,由

26、A、P兩點(diǎn)縱坐標(biāo)相等可得APx軸,所以有OAP+AOC=180得OAP=90;(2) 要求點(diǎn)B的坐標(biāo),根據(jù)坐標(biāo)的意義,就是要求出點(diǎn)B到x軸、y軸的距離,自然想到構(gòu)造RtOBD,由PB又是O的切線,得RtOAPOBP,從而得OPC為等腰三角形,在RtPCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出關(guān)于CE的方程可求出CE、OC的長(zhǎng),OBC的三邊的長(zhǎng)知道了,就可求出高BD,再求OD即可求得點(diǎn)B的坐標(biāo);(3)已知點(diǎn)A、點(diǎn)B的坐標(biāo)用待定系數(shù)法可求出直線AB的解析式【解答過(guò)程】 略. 【方法規(guī)律】 從整體把握?qǐng)D形,找全等、相似、等腰三角形;求線段的長(zhǎng)要從局部入手,若是直角三角形則用勾股定理,若是

27、相似則用比例式求,要掌握一些求線段長(zhǎng)的常用思路和方法.【關(guān)鍵詞】 切線 點(diǎn)的坐標(biāo) 待定系數(shù)法求解析式七、(本大題共2小題,第23題10分,第24 題12分,共22分)23某數(shù)學(xué)活動(dòng)小組在作三角形的拓展圖形,研究其性質(zhì)時(shí),經(jīng)歷了如下過(guò)程:操作發(fā)現(xiàn): 在等腰ABC中,AB=AC,分別以AB和AC為斜邊,向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如圖1所示,其中DFAB于點(diǎn)F,EGAC于點(diǎn)G,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則下列結(jié)論正確的是 (填序號(hào)即可) AF=AG=AB;MD=ME;整個(gè)圖形是軸對(duì)稱圖形;DAB=DMB數(shù)學(xué)思考: 在任意ABC中,分別以AB和AC為斜邊,向ABC的外側(cè)作等腰直角三角形,如

28、圖2所示,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,則MD和ME具有怎樣的數(shù)量和位置關(guān)系?請(qǐng)給出證明過(guò)程;類比探索: 在任意ABC中,仍分別以AB和AC為斜邊,向ABC的內(nèi)側(cè)作等腰直角三角形,如圖3所示,M是BC的中點(diǎn),連接MD和ME,試判斷MED的形狀 答: 【答案】 解:操作發(fā)現(xiàn):數(shù)學(xué)思考:答:MD=ME,MDME, 、MD=ME;如圖2,分別取AB,AC的中點(diǎn)F,G,連接DF,MF,MG,EG,M是BC的中點(diǎn),MFAC,MF=AC又EG是等腰RtAEC斜邊上的中線,EGAC且EG=AC,MF=EG同理可證DF=MGMFAC,MFABAC=180同理可得MGA+BAC=180,MFA=MGA又EGA

29、C,EGA=90同理可得DFA=90,MFA+DFA=MGA=EGA,即DFM=MEG,又MF=EG,DF=MG,DFMMGE(SAS),MD=ME 2、MDME;證法一:MGAB,MFA+FMG=180,又DFMMGE,MEG=MDF.MFA+FMD+DME+MDF=180,其中MFA+FMD+MDF=90,DME=90.即MDME;證法二:如圖2,MD與AB交于點(diǎn)H,ABMG,DHA=DMG,又DHA=FDM+DFH,即DHA=FDM+90,DMG=DME+GME,DME=90即MDME;類比探究答:等腰直角三解形【考點(diǎn)解剖】 本題考查了軸對(duì)稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的

30、中線等于斜邊的一半、全等、角的轉(zhuǎn)化等知識(shí),能力要求很高【解題思路】 (1) 由圖形的對(duì)稱性易知、都正確,DAB=DMB=45也正確;(2)直覺(jué)告訴我們MD和ME是垂直且相等的關(guān)系,一般由全等證線段相等,受圖1DFMMGE的啟發(fā),應(yīng)想到取中點(diǎn)構(gòu)造全等來(lái)證MD=ME,證MDME就是要證DME=90,由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四個(gè)角相加為180,F(xiàn)MG可看成三個(gè)角的和,通過(guò)變形計(jì)算可得DME=90 (3)只要結(jié)論,不要過(guò)程,在(2)的基礎(chǔ)易知為等腰直角三解形.【解答過(guò)程】 略.【方法規(guī)律】 由特殊到一般,形變但本質(zhì)不變(仍然全等)【關(guān)鍵詞】 課題學(xué)習(xí) 全等 開(kāi)放探究24已知拋物線拋物線y n=-(x-an)2+an(n為正整數(shù),且0a1a20,a1=1 即y1=(x1)2+1方法一:令y1=0代入得:(x1)2+1=0,x1=0,x2=2,y1與x軸交于A0(0,0),A1(2,0)b1=2,方法二:y1=(xa1)2+a1與x軸交于點(diǎn)A0(0,0), (b11)2+1=0,b1

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