1、江西省2013年中等學校招生考試數學試卷解析(江西于都三中 蔡家祿）說明：1本卷共有七個大題，24個小題，全卷滿分120分，考試時間120分鐘。 2本卷分為試題卷和答題卷，答案要求寫在答題卷上，不得在試題卷上作答，否則不給分。一、選擇題（本大題共6個小題，每小題3分，共18分）每小題只有一個正確選項11的倒數是（ ） A1B1C1D0【答案】B.【考點解剖】本題考查了實數的運算性質，要知道什么是倒數【解題思路】根據倒數的定義，求一個數的倒數，就是用1除以這個數，所以1的倒數為，選B.【解答過程】，選B.【方法規律】根據定義直接計算【關鍵詞】實數倒數2下列計算正確的是（ ） Aa3+a2=a5B

2、(3ab)2=9a2b2Ca6ba2=a3bD(ab3)2=a2b6【答案】D.【考點解剖】本題考查了代數式的有關運算，涉及單項式的加法、除法、完全平方公式、冪的運算性質中的同底數冪相除、積的乘方和冪的乘方等運算性質，正確掌握相關運算性質、法則是解題的前提【解題思路】 根據法則直接計算【解答過程】 A.與不是同類項，不能相加（合并），與相乘才得；B.是完全平方公式的應用，結果應含有三項，這里結果只有兩項，一看便知是錯的，正確為；C.兩個單項式相除，系數與系數相除，相同的字母相除（同底數冪相除，底數不變，指數相減），正確的結果為；D.考查冪的運算性質（積的乘方等于把積中的每一個因式分別乘方，再把

3、所得的冪相乘，冪的乘方，底數不變，指數相乘），正確，選D.【方法規律】 熟記法則，依法操作.【關鍵詞】 單項式 多項式 冪的運算3下列數據是2013年3月7日6點公布的中國六大城市的空氣污染指數情況：城市北京合肥南京哈爾濱成都南昌污染指數34216316545227163則這組數據的中位數和眾數分別是（ ） A164和163B105和163C105和164D163和164【答案】 A.【考點解剖】 本題考查的是統計初步中的基本概念中位數、眾數，要知道什么是中位數、眾數【解題思路】 根據中位數、眾數的定義直接計算【解答過程】 根據中位數的定義將一組數據從小到大或從大到小排序，處于中間（數據個數為

4、奇數時）的數或中間兩個數的平均數（數據為偶數個時）就是這組數據的中位數；眾數是指一組數據中出現次數最多的那個數，所以342、163、165、45、227、163的中位數是163和165的平均數164，眾數為163，選A.【方法規律】 熟知基本概念，直接計算.【關鍵詞】 統計初步 中位數 眾數4如圖，直線y=x+a2與雙曲線y=交于A，B兩點，則當線段AB的長度取最小值時，a的值為（ ） A0B1C2D5【答案】 C.【考點解剖】 本題以反比例函數與一次函數為背景考查了反比例函數的性質、待定系數法，以及考生的直覺判斷能力【解題思路】 反比例函數圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，只有當A、B、O

5、三點共線時，才會有線段AB的長度最小，（當直線AB的表達式中的比例系數不為1時，也有同樣的結論）.【解答過程】 把原點（0，0）代入中，得.選C.【方法規律】 要求a的值，必須知道x、y的值（即一點的坐標）由圖形的對稱性可直觀判斷出直線AB過原點（0，0）時，線段AB才最小，把原點的坐標代入解析式中即可求出a的值.【關鍵詞】 反比例函數 一次函數 雙曲線 線段最小5一張坐凳的形狀如圖所示，以箭頭所指的方向為主視方向，則他的左視圖可以是（ ）【答案】 C.【考點解剖】 本題考查的投影與視圖中的畫已知物體的三視圖，要正確掌握畫三視圖的有關法則【解題思路】 可用排除法，B、D兩選項有迷惑性，B是主視

6、圖，D不是什么視圖，A少了上面的一部分，正確答案為C.【解答過程】 略.【方法規律】 先要搞準觀看的方向，三視圖是正投影與平行投影的產物，反映物體的輪廓線，看得到的畫成實線，遮擋部分畫成虛線.【關鍵詞】 三視圖 坐凳6若二次涵數y=ax+bx+c(a0)的圖象與x軸有兩個交點，坐標分別為(x1，0)，(x2，0)，且x10Bb24ac0Cx1x0x2Da(x0x1)( x0x2)0,a0且有，則的值為負；在圖2中，a0且有，則的值也為負.所以正確選項為D.【解答過程】 略.【方法規律】 先排除錯誤的，剩下的再畫圖分析（數形結合）【關鍵詞】 二次函數 結論正誤判斷二、填空題（本大題共8小題，每小

7、題3分，共24分）7分解因式x24= 【答案】 (x+2)(x2).【考點解剖】 本題的考點是因式分解，因式分解一般就考提取公因式法和公式法（完全平方公式和平方差公式），而十字相乘法、分組分解等方法通常是不會考的【解題思路】 直接套用公式即【解答過程】 .【方法規律】 先觀察式子的特點，正確選用恰當的分解方法.【關鍵詞】 平方差公式 因式分解8如圖ABC中，A=90點D在AC邊上，DEBC，若1=155， 則B的度數為 【答案】65.【考點解剖】 本題考查了平行線的性質、鄰補角、直角三角形兩銳角互余等知識，題目較為簡單，但有些考生很簡單的計算都會出錯，如犯之類的錯誤【解題思路】 由，可求得,最

8、后求【解答過程】 ADE=155, EDC=25.又DEBC，C=EDC=25,在ABC中，A=90，B+C=90,B=65.【方法規律】 一般求角的大小要搞清楚所求角與已知角之間的等量關系，本題涉及三角形內角和定理、兩直線平行，內錯角相等，等量代換等知識和方法.【關鍵詞】 鄰補角 內錯角 互余 互補9某單位組織34人分別到井岡山和瑞金進行革命傳統教育，到井岡山的人數是到瑞金的人數的2倍多1人，求到兩地的人數各是多少？設到井岡山的人數為x人，到瑞金的人數為y人，請列出滿足題意的方程組是 【答案】.【考點解剖】 本題考查的是列二元一次方程組解應用題（不要求求出方程組的解），準確找出數量之間的相等

9、關系并能用代數式表示【解題思路】 這里有兩個等量關系：井岡山人數+瑞金人數=34，井岡山人數=瑞金人數2+1.所以所列方程組為【解答過程】 略.【方法規律】 抓住關鍵詞，找出等量關系【關鍵詞】 列二元一次方程組10如圖，矩形ABCD中，點E、F分別是AB、CD的中點，連接DE和BF，分別取DE、BF的中點M、N，連接AM，CN，MN，若AB=2，BC=2，則圖中陰影部分的面積為 【答案】 2.【考點解剖】 本題考查了陰影部分面積的求法，涉及矩形的中心對稱性、面積割補法、矩形的面積計算公式等知識，解題思路方法多樣，計算也并不復雜，若分別計算再相加，則耗時耗力，仔細觀察不難發現陰影部分的面積其實就

10、是原矩形面積的一半（即），這種“整體思想”事半功倍，所以平時要加強數學思想、方法的學習與積累【解題思路】 BCN與ADM全等，面積也相等，口DFMN與口BEMN的面積也相等，所以陰影部分的面積其實就是原矩形面積的一半【解答過程】 ，即陰影部分的面積為.【方法規律】 仔細觀察圖形特點，搞清部分與整體的關系，把不規則的圖形轉化為規則的來計算.【關鍵詞】 矩形的面積 二次根式的運算 整體思想11觀察下列圖形中點的個數，若按其規律再畫下去，可以得到第n個圖形中所有的個數為 （用含n的代數式表示）【答案】 (n+1)2 .【考點解剖】 本題考查學生的觀察概括能力，發現規律，列代數式【解題思路】 找出點數

11、的變化規律，先用具體的數字等式表示，再用含字母的式子表示【解答過程】 略. 【方法規律】 由圖形的變化轉化為數學式子的變化，加數為連續奇數，結果為加數個數的平方.【關鍵詞】 找規律 連續奇數的和12若一個一元二次方程的兩個根分別是RtABC的兩條直角邊長，且SABC=3，請寫出一個符合題意的一元二次方程 【答案】 x25x+6=0.【考點解剖】 本題是道結論開放的題（答案不唯一），已知直角三角形的面積為3（直角邊長未定），要寫一個兩根為直角邊長的一元二次方程，我們盡量寫邊長為整數的情況（即保證方程的根為整數），如直角邊長分別為2、3的直角三角形的面積就是3，以2、3為根的一元二次方程為；也可以

12、以1、6為直角邊長，得方程為.（求作一元二次方程，屬“一元二次方程根與系數的關系”知識范疇，這種題型在以前相對考得較少，有點偏了.）【解題思路】 先確定兩條符合條件的邊長，再以它為根求作一元二次方程【解答過程】 略.【方法規律】 求作方程可以用根與系數的關系，也可由因式分解法解一元二次方程.【關鍵詞】 直角三角形 根 求作方程13如圖，ABCD與DCFE的周長相等，且BAD=60，F=110，則DAE的度數為 【答案】 25.【考點解剖】 本題考查了平行四邊形的性質，等腰三角形的判定與性質【解題思路】 已知兩個平行四邊形的周長相等，且有公共邊CD,則有AD=DE,即ADE為等腰三角形，頂角AD

13、E=BCF=60+70=130,DAE=25【解答過程】 ABCD與DCFE的周長相等，且有公共邊CD，AD=DE, ADE=BCF=60+70=130.DAE=.【方法規律】 先要明確DAE的身份（為等腰三角形的底角），要求底角必須知道另一角的度數，分別將BAD=130轉化為BCD=130,F=110轉化為DCF=70,從而求得ADE=BCF=130.【關鍵詞】 平行四邊形 等腰三角形 周長 求角度14平面內有四個點A、O、B、C，其中AOB=120，ACB=60，AO=BO=2，則滿足題意的OC長度為整數的值可以是 【答案】2，3，4.【考點解剖】 本題主要考查學生閱讀理解能力、作圖能力、

14、聯想力與思維的嚴謹性、周密性，所涉及知識點有等腰三角形、圓的有關知識，分類討論思想，不等式組的整數解，在運動變化中抓住不變量的探究能力【解題思路】 由AOB=120，AO=BO=2畫出一個頂角為120、腰長為2的等腰三角形，由與互補，是的一半，點C是動點想到構造圓來解決此題【解答過程】 【方法規律】 構造恰當的圖形是解決此類問題的關鍵.【關鍵詞】 圓 整數值三、（本大題共2小題，每小題5分，共10分）15解不等式組并將解集在數軸上表示出來【答案】解：由x+21得x1， 由2x+63x得x3，不等式組的解集為1x0)的圖象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x軸，且AB=2，AD=4，點A的坐標

15、為(2，6) （1）直接寫出B、C、D三點的坐標； （2）若將矩形向下平移，矩形的兩個頂點恰好同時落在反比例函數的圖象上，猜想這是哪兩個點，并求矩形的平移距離和反比例函數的解析式【答案】（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）.（2）如圖，矩形ABCD向下平移后得到矩形，設平移距離為a，則A（2，6a），C（6，4a）點A，點C在y=的圖象上，2(6a)=6(4a)， 解得a=3，點A（2，3），反比例函數的解析式為y=【考點解剖】 本題以矩形為背景考查用待定系數法求反比例函數的解析式【解題思路】 先根據矩形的對邊平行且相等的性質得到B、C、D三點的坐標，再從矩形的平移過程發現只有A、C

16、兩點能同時在雙曲線上（這是種合情推理，不必證明），把A、C兩點坐標代入y=中，得到關于a、k的方程組從而求得k的值【解答過程】 略.【方法規律】 把線段的長轉化為點的坐標，在求k的值的時候，由于k的值等于點的橫坐標與縱坐標之積，所以直接可得方程2(6a)=6(4a)，求出a后再由坐標求k，實際上也可把A、C兩點坐標代入y=中，得到關于a、k的方程組從而直接求得k的值.【關鍵詞】 矩形 反比例函數 待定系數法20生活中很多礦泉水沒有喝完便被扔掉，造成極大的浪費，為此數學興趣小組的同學對某單位的某次會議所用礦泉水的浪費情況進行調查，為期半天的會議中，每人發一瓶500ml的礦泉水，會后對所發礦泉水喝

17、的情況進行統計，大至可分為四種：A全部喝完；B喝剩約；C喝剩約一半；D開瓶但基本未喝同學們根據統計結果繪制如下兩個統計圖，根據統計圖提供的信息，解答下列問題： （1）參加這次會議的有多少人？在圖（2）中D所在扇形的圓心角是多少度？并補全條形統計圖；（計算結果請保留整數） （2）若開瓶但基本未喝算全部浪費，試計算這次會議平均每人浪費的礦泉水約多少毫升？ （3）據不完全統計，該單位每年約有此類會議60次，每次會議人數約在40至60人之間，請用（2）中計算的結果，估計該單位一年中因此類會議浪費的礦泉水（500ml/瓶）約有多少瓶？（可使用科學計算器）【答案】（1）根據所給扇形統計圖可知，喝剩約的人數

18、是總人數的50%，2550%=50，參加這次會議的總人數為50人， 360=36，D所在扇形圓心角的度數為36， 補全條形統計圖如下； （2）根據條形統計圖可得平均每人浪費礦泉水量約為：(25500+10500+5500)50=50183毫升； （3）該單位每年參加此類會議的總人數約為24000人3600人，則浪費礦泉水約為3000183500=1098瓶【考點解剖】 本題考查的是統計初步知識，條形統計圖與扇形統計圖信息互補，文字量大，要求考生具有比較強的閱讀理解能力.本題所設置的問題比較新穎，并不是象傳統考試直接叫你求平均數、中位數、眾數或方差，而是換一種說法，但考查的本質仍然為求加權平均數

19、、以樣本特性估計總體特性.顯然這對考生的能力要求是非常高的【解題思路】 （1）由扇形統計圖可看出B類占了整個圓的一半即50%（遺憾的是扇形中沒有用具體的數字（百分比）表示出來，這是一種很不嚴謹的命題失誤），從條形統計圖又知B類共25人，這樣已知部分數的百分比就可以求出總人數，而D類有5人，已知部分數和總數可以求出D類所占總數百分比，再由百分比確定所占圓的圓心角的度數；已知總人數和A、B、D類的人數可求出C類的人數為10人，將條形統計圖中補完整；（2）用總的浪費量除以總人數50就得到平均每人的浪費量；（3）每年開60次會，每次會議將有40至60人參加，這樣折中取平均數算一年將有3000人參加會議

20、，用3000乘以（2）中的結果（平均每人的浪費量），得到一年總的浪費量，再轉換成瓶數即可【解答過程】 略.【方法規律】 能從實際問題中抽出數學問題，從題中抽出關鍵詞即要弄清已知什么，要求什么（不要被其它無關信息干擾）.【關鍵詞】 礦泉水 統計初步六、（本大題共2小題，每小題9分，共18分）21如圖1，一輛汽車的背面，有一種特殊形狀的刮雨器，忽略刮雨器的寬度可抽象為一條折線OAB，如圖2所示，量得連桿OA長為10cm，雨刮桿AB長為48cm，OAB=120若啟動一次刮雨器，雨刮桿AB正好掃到水平線CD的位置，如圖3所示 （1）求雨刮桿AB旋轉的最大角度及O、B兩點之間的距離；（結果精確到0.01

21、） （2）求雨刮桿AB掃過的最大面積（結果保留的整數倍） （參考數據：sin60=，cos60=，tan60=，26.851，可使用科學計算器）【答案】解：（1）雨刮桿AB旋轉的最大角度為180 連接OB，過O點作AB的垂線交BA的延長線于EH，OAB=120，OAE=60在RtOAE中，OAE=60，OA=10，sinOAE=，OE=5， AE=5.EB=AE+AB=53， 在RtOEB中，OE=5，EB=53，OB=253.70； （2）雨刮桿AB旋轉180得到CD，即OCD與OAB關于點O中心對稱，BAOOCD，SBAO=SOCD， 雨刮桿AB掃過的最大面積S=(OB2OA2) =139

22、2.【考點解剖】 本題考查的是解直角三角形的應用，以及扇形面積的求法，難點是考生缺乏生活經驗，弄不懂題意（提供的實物圖也不夠清晰，人為造成一定的理解困難）【解題思路】 將實際問題轉化為數學問題，（1）AB旋轉的最大角度為180；在OAB中，已知兩邊及其夾角，可求出另外兩角和一邊，只不過它不是直角三角形，需要轉化為直角三角形來求解，由OAB=120想到作AB邊上的高，得到一個含60角的RtOAE和一個非特殊角的RtOEB.在RtOAE中，已知OAE=60，斜邊OA=10，可求出OE、AE的長，進而求得RtOEB中EB的長，再由勾股定理求出斜邊OB的長；（2）雨刮桿AB掃過的最大面積就是一個半圓環

23、的面積（以OB、OA為半徑的半圓面積之差）.【解答過程】 略.【方法規律】 將斜三角形轉化為直角三角形求解.在直角三角形中，已知兩邊或一邊一角都可求出其余的量.【關鍵詞】 刮雨器 三角函數 解直角三角形 中心對稱 扇形的面積22如圖，在平面直角坐標系中，以點O為圓心，半徑為2的圓與y軸交于點A，點P（4，2）是O外一點，連接AP，直線PB與O相切于點B，交x軸于點C（1）證明PA是O的切線；（2）求點B的坐標；（3）求直線AB的解析式【答案】（1）證明：依題意可知，A（0，2）A（0，2），P（4，2），APx軸 OAP=90，且點A在O上，PA是O的切線； （2）解法一：連接OP，OB，作P

24、Ex軸于點E，BDx軸于點D，PB切O于點B，OBP=90，即OBP=PEC，又OB=PE=2，OCB=PECOBCPECOC=PC（或證RtOAPOBP，再得到OC=PC也可）設OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2+PE2，x2=(4x)2+22，解得x=， 4分BC=CE=4=，OBBC=OCBD，即2=BD，BD=OD=，由點B在第四象限可知B（，）； 解法二：連接OP，OB，作PEx軸于點E，BDy軸于點D，PB切O于點B，OBP=90即OBP=PEC又OB=PE=2，OCB=PEC，OBCPECOC=PC（或證RtOAPOBP，再得

25、到OC=PC也可）設OC=PC=x，則有OE=AP=4，CE=OEOC=4x，在RtPCE中，PC2=CE2PE2,x2=(4x)2+22，解得x=， 4分BC=CE=4=，BDx軸，COB=OBD，又OBC=BDO=90，OBCBDO， =，即=BD=，OD=由點B在第四象限可知B（，）； （3）設直線AB的解析式為y=kx+b，由A（0，2），B（，），可得； 解得直線AB的解析式為y=2x+2【考點解剖】 本題考查了切線的判定、全等、相似、勾股定理、等面積法求邊長、點的坐標、待定系數法求函數解析式等【解題思路】（1） 點A在圓上，要證PA是圓的切線，只要證PAOA（OAP=90）即可，由

26、A、P兩點縱坐標相等可得APx軸，所以有OAP+AOC=180得OAP=90；（2） 要求點B的坐標，根據坐標的意義，就是要求出點B到x軸、y軸的距離，自然想到構造RtOBD，由PB又是O的切線，得RtOAPOBP，從而得OPC為等腰三角形，在RtPCE中, PE=OA=2, PC+CE=OE=4,列出關于CE的方程可求出CE、OC的長，OBC的三邊的長知道了，就可求出高BD,再求OD即可求得點B的坐標；（3）已知點A、點B的坐標用待定系數法可求出直線AB的解析式【解答過程】 略. 【方法規律】 從整體把握圖形，找全等、相似、等腰三角形；求線段的長要從局部入手，若是直角三角形則用勾股定理，若是

27、相似則用比例式求，要掌握一些求線段長的常用思路和方法.【關鍵詞】 切線 點的坐標 待定系數法求解析式七、（本大題共2小題，第23題10分，第24 題12分，共22分）23某數學活動小組在作三角形的拓展圖形，研究其性質時，經歷了如下過程：操作發現： 在等腰ABC中，AB=AC，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側作等腰直角三角形，如圖1所示，其中DFAB于點F，EGAC于點G，M是BC的中點，連接MD和ME，則下列結論正確的是 （填序號即可） AF=AG=AB；MD=ME；整個圖形是軸對稱圖形；DAB=DMB數學思考： 在任意ABC中，分別以AB和AC為斜邊，向ABC的外側作等腰直角三角形，如

28、圖2所示，M是BC的中點，連接MD和ME，則MD和ME具有怎樣的數量和位置關系？請給出證明過程；類比探索： 在任意ABC中，仍分別以AB和AC為斜邊，向ABC的內側作等腰直角三角形，如圖3所示，M是BC的中點，連接MD和ME，試判斷MED的形狀 答： 【答案】 解：操作發現：數學思考：答：MD=ME，MDME， 、MD=ME；如圖2，分別取AB，AC的中點F，G，連接DF，MF，MG，EG，M是BC的中點，MFAC，MF=AC又EG是等腰RtAEC斜邊上的中線，EGAC且EG=AC，MF=EG同理可證DF=MGMFAC，MFABAC=180同理可得MGA+BAC=180，MFA=MGA又EGA

29、C，EGA=90同理可得DFA=90，MFA+DFA=MGA=EGA，即DFM=MEG，又MF=EG，DF=MG，DFMMGE（SAS），MD=ME 2、MDME；證法一：MGAB，MFA+FMG=180，又DFMMGE，MEG=MDF.MFA+FMD+DME+MDF=180，其中MFA+FMD+MDF=90，DME=90.即MDME；證法二：如圖2，MD與AB交于點H，ABMG，DHA=DMG，又DHA=FDM+DFH,即DHA=FDM+90,DMG=DME+GME，DME=90即MDME；類比探究答：等腰直角三解形【考點解剖】 本題考查了軸對稱、三角形中位線、平行四邊形、直角三角形斜邊上的

30、中線等于斜邊的一半、全等、角的轉化等知識，能力要求很高【解題思路】 （1） 由圖形的對稱性易知、都正確，DAB=DMB=45也正確；（2）直覺告訴我們MD和ME是垂直且相等的關系，一般由全等證線段相等，受圖1DFMMGE的啟發，應想到取中點構造全等來證MD=ME，證MDME就是要證DME=90，由DFMMGE得EMG=MDF, DFM中四個角相加為180，FMG可看成三個角的和，通過變形計算可得DME=90 （3）只要結論，不要過程，在（2）的基礎易知為等腰直角三解形.【解答過程】 略.【方法規律】 由特殊到一般，形變但本質不變（仍然全等）【關鍵詞】 課題學習 全等 開放探究24已知拋物線拋物線y n=-(x-an)2+an（n為正整數，且0a1a20，a1=1 即y1=(x1)2+1方法一：令y1=0代入得：(x1)2+1=0，x1=0，x2=2，y1與x軸交于A0（0，0），A1（2，0）b1=2，方法二：y1=(xa1)2+a1與x軸交于點A0（0，0）， (b11)2+1=0，b1