1、 李師傅在一家木料廠上班，工李師傅在一家木料廠上班，工作之余想對廠里的三角形廢料進行作之余想對廠里的三角形廢料進行加工：裁下一塊圓形用料，且使圓加工：裁下一塊圓形用料，且使圓的面積最大。的面積最大。下圖是他的幾種設計，請同學們幫下圖是他的幾種設計，請同學們幫他確定一下。他確定一下。ABC作三角形內切圓的方法：作三角形內切圓的方法： ABC1、作、作B、C的平分線的平分線BM和和CN，交點為，交點為I。 I2過點過點I作作IDBC，垂足為，垂足為D。 3以以I為圓心，為圓心，ID為半徑作為半徑作 I. I就是所求的圓。就是所求的圓。 DMN如圖所示是一張三角形的鐵皮，如何在它上如圖所示是一張三角

2、形的鐵皮，如何在它上面剪下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡面剪下一塊圓形的用料，并且使圓的面積盡可能大呢？可能大呢？ABCABCMDNI1、定義：、定義：和三角形各邊都相切的圓叫做三角形和三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這的內切圓，內切圓的圓心叫做三角形的內心，這個三角形叫做圓的外切三角形。個三角形叫做圓的外切三角形。2、性質、性質: 內心到三角形三邊的距離相等；內心到三角形三邊的距離相等； 內心與頂點連線平分內角。內心與頂點連線平分內角。OAB C1.一個三角形有且只有一個內切圓；一個三角形有且只有一個內切圓；2.一個圓有無數個外切三角形；一個圓有無數個

3、外切三角形；3.三角形的內心就是三角形三條內角平三角形的內心就是三角形三條內角平 分線的交點；分線的交點；4. 三角形的內心到三角形三邊的距離相等。三角形的內心到三角形三邊的距離相等。例例1 1：已知：在：已知：在ABCABC中，中，BC=9cmBC=9cm，AC=14cmAC=14cm，AB=13cmAB=13cm，它的內切圓分別和，它的內切圓分別和BCBC、ACAC、ABAB切于切于點點D D、E E、F F，求，求AFAF、BDBD和和CECE的長。的長。CBAEDFOr解：因為解：因為ABCABC的內切的內切圓分別和圓分別和BCBC、ACAC、ABAB切切于點于點D D、E E、F F

4、，由切，由切線線長定理長定理知知AE=AF,CE=CD,BD=BFAE=AF,CE=CD,BD=BFAF+BD+CE= (AB+AC+BC)AF+BD+CE= (AB+AC+BC)BD+CE=BD+CE=AF=18-9=9AF=18-9=921BD+CD=BD+CD=BC=9BC=9=18BD=AB-AF=13-9=4BD=AB-AF=13-9=4CE=BC-BD=9-4=5CE=BC-BD=9-4=5 （1）點點O是是ABC的內心，的內心， BOC=180 (1 3)= 180 (25 35 )例例2 如圖，在如圖，在ABC中，點中，點O是內心，是內心， 若若ABC=50， ACB=70，求

5、，求BOC的度數的度數ABCO=120 )1(32)4(同理同理 3= 4= ACB= 70 = 352121 1= 2= ABC= 50= 252121ABCO通過上題通過上題,如果點如果點O是內心是內心, 則則 BOC=90 + A.21證明證明: 點點O是內心是內心 BO、CO是是ABC、 ACB的平分線。的平分線。OBC= ABC， OCB= ACB BOC=180 - OBC- OCB=180- ABC - ACB= 180- （ ABC + ACB） =180 - （ 180-A）=180 - 90 + A=90 + A.如果做選擇題或填空題可以直接代公式如果做選擇題或填空題可以直

6、接代公式2121212121212121BDEFOCA如圖，如圖，ABC的內切圓的半徑為的內切圓的半徑為r, ABC的周長為的周長為l,求求ABC的面積的面積S.解：解：設設ABC的內切圓與三邊相切于的內切圓與三邊相切于D、E、F，連結連結OA、OB、OC、OD、OE、OF，則則ODAB，OEBC，OFAC.SABCSAOBSBOC SAOC ABOD BCOE ACOF21212121 lr設設ABC的三邊為的三邊為a、b、c，面積為，面積為S，則則ABC的內切圓的半徑的內切圓的半徑 r2Sabc任意三角形的內切圓的有關任意三角形的內切圓的有關計算計算ABCODFE如圖，Rt ABC中， C

7、=90 ，AB、BC、CA的長分別為的長分別為c 、a 、b,求求 ABC的內切圓半徑r. 解： Rt ABC中， C=90 ，BC=a,CA=bs ABC= AB CB= ab s ABC= s AoC+ s AoB+ s BoC= AC r+ AB r+ BC r= br+ cr+ ar ab= br+ cr+ arr=ab/(a+b+c)212121212121212121212121方法一:如圖，Rt ABC中， C=90 ，AB、BC、CA的長分別為的長分別為c 、a 、b,求求 ABC的內切圓半徑r.ABCFDEO 證明：連接連接OF、OD、OC O是是Rt ABC的內切圓的內切圓

8、 AB、BC、AC切切 O于于F、D、E點點 AE=AF，BF=BD，CD=CEOE AC，OD BC OEC=90 ， ODC=90 C=90 EOF=90 四邊形四邊形ECDO是矩形，是矩形， OE=OD 四邊形四邊形ECDO是正方形是正方形 r= （a+b-c）21解：猜測r=-a+b-c2 求直角三角形內切圓半經求直角三角形內切圓半經r問題問題ABCEDFO方法二方法二:如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BCa,ACb, ABc, O為為RtABC的內切圓的內切圓. 求：求：RtABC的內切圓的半徑的內切圓的半徑 r. 解：解：設設RtABC的內切圓與三邊相切于的內切圓與三邊相切于

9、D、E、F，連結連結OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。abc2設設RtABC的直角邊為的直角邊為a、b，斜邊為，斜邊為c，則，則RtABC的的內切圓的半徑內切圓的半徑 r 或或rabc2ababcACBDEFo 如圖，Rt ABC中， C=90 ，AB、BC、CA的長分別為的長分別為13 、12 、5,求求 ABC的內切圓半徑r.解：解：連接連接OF、OD、OC O是是Rt ABC的內切圓的內切圓 AB、BC、AC切切 O于于F、D、E點點 AE=AF，BF=BD，CD=CEOE AC，OD BC OEC=90 ， ODC=90 C=90 EOF=90 四邊形四邊形ECDO是矩

10、形，是矩形， OE=OD 四邊形四邊形ECDO是正方形是正方形 r= （5+12-13）=221如圖所示，在梯形如圖所示，在梯形ABCD中，中，AB CD， O為內切圓，為內切圓，E為切點。（為切點。（1）求）求 AOD的度數（2）若AO=8cm,DO=6cm,求OE的長。 （2） 在在Rt AOD中，AO=8cm,DO=6cm 由勾股定理，得由勾股定理，得AO=22DOAO BAEDCO解：（1） AB CD， BAD+ ADC=180 O內切于梯形ABCD， AO、DO分別平分分別平分BAD、 ADC， DAO= BAD ， ADO= ADC DAO+ ADO= （ BAD + ADC）=

11、90 AOD=180 -（ DAO+ ADO）=90 212121 AO=10cm E為切點為切點OE AD,有AEO=90 S AOD= AO DO= EO ADOE=AO OD/AD=4.8cm2121ABCEDFO如圖，如圖，RtABC中，中，C90,BC3,AC4, O為為RtABC的內切圓的內切圓. （1）求）求RtABC的內切圓的半徑的內切圓的半徑 . （2）若移動點）若移動點O的位置，使的位置，使 O保持與保持與ABC的邊的邊AC、BC都相切，求都相切，求 O的半徑的半徑r的取值范圍。的取值范圍。 解：解：（1）設）設RtABC的內切圓與三邊相的內切圓與三邊相切于切于D、E、F，連結，連結OD、OE、OF則則OAAC，OEBC，OFAB。 RtABC的內切圓的的內切圓的半徑為半徑為1。（2）如圖所示，設與）如圖