1、第一章有理數1.1正數與負數1 .正數和負數的概念正數：大于0的數叫正數。（根據需要，有時在正數前面也加上 “+”）負數：在以前學過的0以外的數前面加上負號“一”的數叫負數。與正數具有相反意義。0既不是正數也不是負數。0是正數和負數的分界，是唯一的中性數。注意：字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如 +a,-a就不能做出簡單判斷）正數有時也可以在前面加“ +”，有時“ +”省略不寫。所以省略“ +”的正數的符 號是正號。2 .具有相反意義的量若正數表示某

2、種意義的量，則負數可以表示具有與該正數相反意義的量，比如：零上8c表示為：+8C；零下8 c表示為：-8 C3 .0表示的意義0表示“沒有”，如教室里有0個人，就是說教室里沒有人；0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。如：（3） 0表示一個確切的量。如：0 c以及有些題目中的基準，比如以海平面為基準，則0米就表示海平面。注意：搞清相反意義的量：南北；東西；上下；左右；上升下降；高低；增長減少等 1.2有理數有理數1 .有理數的概念正整數、0、負整數統稱為整數（0和正整數統稱為自然數）正分數和負分數統稱為分數正整數，0,負整數，正分數，負分數都可以寫成分數的形式，這樣的數稱為有理數。

3、理解：只有能化成分數的數才是有理數。兀是無限不循環小數，不能寫成分數形式，不是有理數。有限小數和無限循環小數都可化成分數，都是有理數。3,整數也能化成分數，也是有理數注意：引入負數以后，奇數和偶數的范圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8 也是偶數，-1,-3,-5也是奇數。2 .有理數的分類按有理數的意義分類按正、負來分正整數正整數I整數o正有理數1負整皴正分數有理數%理數0 （0不能忽視）I正分數負整數,分數負有理數負分數負分數總結：正整數、0統稱為非負整數（也叫自然數）負整數、0統稱為非正整數正有理數、0統稱為非負有理數負有理數、0統稱為非正有理數數軸1 .數軸的概念規定了原點，正方向，單

4、位長度的直線叫做數軸。注意：數軸是一條向兩端無限延伸的直線；原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；同一數軸上的單位長度要統一；數軸的三要素都是根 據實際需要規定的。2 .數軸上的點與有理數的關系所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原點左邊的點表示，0用原點表示。所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關系。 （如，數軸上的點兀不是有理數） 3.利用數軸表示兩數大小在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；正數都大于0,負數都小于0,正數大于負數；兩個負數比較，距離原

5、點遠的數比距離原點近的數小。4 .數軸上特殊的最大（小）數最小的自然數是0,無最大的自然數；最小的正整數是1,無最大的正整數；最大的負整數是-1 ,無最小的負整數5 .a可以表示什么數a0表示a是正數；反之，a是正數，則a0;a0表示a是負數；反之，a是負數，則a0時，-a0 （正數的相反數是負數）當a0 （負數的相反數是正數）當a=0時，-a=0 , （0的相反數是0）絕對值1.絕對值的幾何定義一般地，數軸上表示 數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。2,絕對值的代數定義一個正數的絕對值是它本身；一個負數的絕對值是它的相反數；0的絕對值是0.可用字母表示為：如果a0,那么|a|=a

6、 ;如果a0, |a|=a （非負數的絕對值等于本身；絕對值等于本身的數是 非負數。）aw 0, |a|=-a （非正數的絕對值等于其相反數；絕對值等于其相反數的數是非正數。）經典考題如數軸所示，化簡下列各數|a|,|b|,|c|,|a-b|,|a-c|,|b+c|解：由題知道，因為 a0, b0, c0,a-c0,b+c0O即0的絕對值是0;絕對值是0的數是0,即：a=0|a|=0 ;一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a| 0;任何數的絕對值都不小于原數。即：|a| a;絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若 |x|=a （a0）, 貝U x=a；互為相反數的兩數

7、的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0,則|a|=|b| ;絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b| ,則2巾或a=-b ;若幾個數的絕對值的和等于 0,則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0 ,則 a=0 且 b=0。（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0,則有且只有這幾個非負數同時 為0）經典考題已知 |a+3|+|2b-2|+|c-1|=0, 求 a+b+c 的值解：因為 |a+3| 0, |2b-2| 0, |c-1| 0,且 |a+3|+|2b-2|+|c-1|二0所以 |a+3|=0 , |2b-2|=0 , |c-1|=0 即 a=-3,b=1,c=1

8、所以 a+b+c=-3+1+1=-14 .有理數大小的比較利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大于負數。5 .絕對值的化簡當 a0 時，|a|=a ;當 aW0 時，|a|=-a6 .已知一個數的絕對值，求這個數一個數a的絕對值就是數軸上表示數 a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一 個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0,沒有絕對值為負數 的數。如：|a|=5 ,貝U a= 5 1.3有理數的加減法 有理數的加減法1. 有理數的加法法則同號兩數相加，取相

9、同的符號，并把絕對值相加；絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值 減去較小的絕對值；互為相反數的兩數相加，和為零；一個數與零相加，仍得這個數。2. 有理數加法的運算律加法交換律：a+b=b+a加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規律：互為相反數的兩個數先相加一一“相反數結合法”；符號相同的兩個數先相加一一“同號結合法”；分母相同的數先相加一一“同分母結合法”；幾個數相加得到整數，先相加一一“湊整法”；整數與整數、小數與小數相加一一“同形結合法”。3. 加法性質一個數加正數后的和比原數大；加

10、負數后的和比原數小；加0 后的和等于原數。即：當 b0時，a+ba當 b0時，a+ba(3)當 b=0時，a+b=a4. 有理數減法法則減去一個數，等于加上這個數的相反數。用字母表示為：a-b=a+(-b) 。5. 有理數加減法統一成加法的意義在有理數加減法混合運算中，根據有理數減法法則，可以將減法轉化成加法后，再按照加法法則進行計算。在和式里，通常把各個加數的括號和它前面的加號省略不寫，寫成省略加號的和的形式。如：(-8)+(-7)+(-6)+(+5)=-8-7-6+5.和式的讀法：按這個式子表示的意義讀作“負8、負7、負6、正5的和”按運算意義讀作“負8減7減6加5”6. 有理數加減混合運

11、算中運用結合律時的一些技巧：I .把符號相同的加數相結合(同號結合法)(-33)-(-18)+(-15)-(+1)+(+23)原式=-33+(+18)+(-15)+(-1)+(+23)(將減法轉換成加法)=-33+18-15-1+23 (省略加號和括號)二(-33-15-1)+(18+23)(把符號相同的加數相結合)=-49+41 (運用加法法則一進行運算)=-8 (運用加法法則二進行運算)n .把和為整數的加數相結合(湊整法)(+6.6)+(-5.2)-(-3.8)+(-2.6)-(+4.8)原式二(+6.6)+(-5.2)+(+3.8)+(-2.6)+(-4.8)(將減法轉換成加法)=6.

12、6-5.2+3.8-2.6-4.8(省略加號和括號)=(6.6-2.6)+(-5.2-4.8)+3.8(把和為整數的加數相結合)=4-10+3.8 (運用加法法則進行運算)=7.8-10 (把符號相同的加數相結合，并進行運算)=-2.2 (得出結論)田.把分母相同或便于通分的加數相結合(同分母結合法)-3- 1 + 3- 2 + 1- 75 2 4 5 2 8原式二( -)+( - + - )+(+ -) 5 52 24 8=-1+0- -8=-1 1 8IV.既有小數又有分數的運算要統一后再結合(先統一后結合) (+0.125)-(-3 3 )+(-3 1)-(-10 -)-(+1.25)4

13、83原式=(+1 )+(+3 3 )+(-3 1)+(+10 -)+(-1 1) 84834= 1+33-3 1+102-1 184834=(3 3-1 1)+( 1-31)+10 244883=21-3+10 2231=-3+1316= 1016V .把帶分數拆分后再結合(先拆分后結合)-3 1+10-12 +415112215原式=(-3+10-12+4)+(- 1+1)+( - )5 1511 22=-1+15 22=-1+2+地30 307 -30VI.分組結合2-3-4+5+6-7-8+9 +66-67-68+69原式=(2-3-4+5)+(6-7-8+9)+ +(66-67-68+

14、69)=0vn.先拆項后結合(1+3+5+7- +99) - (2+4+6+& +100)有理數加法法則：1、同號兩數相加，取相同的符號，并把絕對值相加。2、絕對值不相等的異號兩數相加，取絕對值較大的加數的符號，并用較大的絕對值減去較小的絕對值。互為相反數的兩個數相加得0。3、一個數同0相加，仍得這個數。加法的交換律和結合律 有理數減法法則：減去一個數，等于加這個數的相反數。1.4有理數的乘除法1 .有理數的乘法法則法則一：兩數相乘，同號得正，異號得負，并把絕對值相乘；(“同號得正，異號得負”專指“兩數相乘”的情況，如果因數超過兩個，就必須運用法則三)法則二：任何數同0相乘，都得0;法則三：幾

15、個不是0的數相乘，負因數的個數是偶數時，積是正數；負因數的個數是奇數時，積是負數；法則四：幾個數相乘，如果其中有因數為 0,則積等于0.2 .倒數乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為a=l a(a?0),就是說a和工互為倒數，即a是工的倒數，二是a的倒數。aaa注意：0沒有倒數；求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置；正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。(求一個數的倒數，不改變這個數的性質)；倒數等于它本身的數是1或-1,不包括0。3 .有理數的乘法運算律乘法交換律：一般地

16、，有理數乘法中，兩個數相乘，交換因數的位置，積相等。即 ab=ba乘法結合律：三個數相乘，先把前兩個數相乘，或者先把后兩個數相乘，積相等。即(ab)c=a(bc).乘法分配律：一般地，一個數同兩個數的和相乘，等于把這個數分別同這兩個數相乘，在把積相加。即a(b+c尸ab+ac4 .有理數的除法法則(1)除以一個不等0的數，等于乘以這個數的倒數。(2)兩數相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。0除以任何一個不等于0的數，都得05 .有理數的乘除混合運算(1)乘除混合運算往往先將除法化成乘法，然后確定積的符號，最后求出結果。(2)有理數的加減乘除混合運算，如無括號指出先做什么運算，則按照先乘除，后加減的順序進行。有理數的乘方1 .乘方的概念求n個相同因數的積的運算，叫做乘方，乘方的結果叫做哥。在an中，a叫做底數，n叫做指數。2 .乘方的性質(1)負數的奇次哥是負數，負數的偶次哥的正數。(2)正數的任何次哥都是正數，0的任何正整數次哥都是0。有理數