1、第四章 圖形的相似一成比例線段1.線段的比1.如果選用同一個長度單位量得兩條線段AB, CD的長度分別是m、n,那么就說這兩條線段的比AB:CD=m:n ,或寫成.2.成比例線段及比例的性質：（1）成比例線段：四條線段a、b、c、d中,如果a與b的比等于c與d的比,即,那么這四條線段a、b、c、d叫做成比例線段,簡稱比例線段.注意點:a:b=k,說明a是b的k倍； 由于線段a、b的長度都是正數,所以k是正數；比與所選線段的長度單位無關,求出時兩條線段的長度單位要一致.（2）比例的基本性質:若, 則ad=bc； 若ad=bc, 則合比性質:如果，那么； 等比性質：如果（），那么注意：若沒有“b+

2、d+n0”這個條件，需分類討論.二.平行線分線段成比例平行線分線段成比例定理:三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例.如圖1，/，則.推廣：過一點的一線束被平行線截得的對應線段成比例.定理推論：平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例.平行于三角形一邊，并且和其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應成比例.三.黃金分割如圖,點C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果,那么稱線段AB被點C黃金分割,點C叫做線段AB的黃金分割點,AC與AB的比叫做黃金比， 一條線段有兩個黃金分割點.0.618:1；四相似多邊形一般地,形狀相同的圖形稱為相似圖形.

3、1.概念：對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形.相似多邊形對應邊的比叫做相似比.2.性質：相似多邊形的對應角相等、對應邊成比例；周長等于相似比；面積比等于相似比的平方.（3）判定：對應角相等、對應邊成比例的兩個多邊形相似.（兩個條件缺一不可）五三角形的相似（“”不需分類討論，“相似”需分類討論）1.探索三角形相似的條件相似三角形的判定方法:一般三角形直角三角形基本定理:平行于三角形的一邊且和其他兩邊(或兩邊的延長線)相交的直線,所截得的三角形與原三角形相似.兩角對應相等；兩邊對應成比例,且夾角相等；三邊對應成比例.一個銳角對應相等；兩條邊對應成比例；a. 兩直角邊對應成比例；b.

4、 斜邊和一直角邊對應成比例.2.相似三角形的判定定理的證明3.利用相似三角形測高（3種方法）（1）利用太陽光線平行運用方法1:可以把太陽光近似地看成平行光線，計算時還要用到觀測者的身高.（2） 利用標桿運用方法2：觀測者的眼睛必須與標桿的頂端和旗桿的頂端“三點共線”，標桿與地面要垂直，在計算時還要用到觀測者的眼睛離地面的高度.（3） 利用反射運用方法3：光線的入射角等于反射角.4. 相似三角形的性質（1）對應角相等、對應邊成比例的三角形叫做相似三角形.相似三角形對應邊的比叫做相似比.（2）全等三角形是相似三角的特例,這時相似比等于1. 注意:證兩個相似三角形,與證兩個全等三角形一樣,應把表示對

5、應頂點的字母寫在對應的位置上.（3）性質：相似三角形對應角相等，對應邊成比例；相似三角形對應高的比,對應中線的比與對應角平分線的比都等于相似比；相似三角形周長的比等于相似比；相似三角形面積的比等于相似比的平方.5.圖形的位似：位似圖形的概念：如果兩個圖形不僅相似，而且每組對應點的連線交于一點,對應邊互相平行或在一條直線上,那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心.這時兩個相似圖形的相似比又叫做它們的位似比.位似圖形的性質：（1）位似圖形是相似圖形，具備相似圖形的所有性質；（2）位似圖形上的任意一對對應點到位似中心的距離之比等于相似比；（3）位似圖形中的對應線段平行（或在一條直線上）.

6、位似圖形的畫法：（1）畫出基本圖形； （2）選取位似中心；（3）根據條件確定對應點，并描出對應點；（4）順次連結各對應點，所成的圖形就是所求的圖形.例題：如圖，已知ABC和點O.以O為位似中心，求作ABC的位似圖形，并把ABC的邊長擴大到原來的兩倍. 注意：給出基本圖形和位似中心，可以做兩個圖形與原圖形位似，分別在位似中心同側和異側各有一個，在具體的題中需根據實際情況作圖.位似變換與坐標在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或-k.例如：點A(x,y)的對應點為A´，則A´點的坐標可以這樣確定xA´=xA

7、×k，yA´=yA×k 即A´（kx,ky）或xA´=xA×(-k)，yA´=yA×(-k) 即A´（-kx,-ky）例題：在平面直角坐標系中, 四邊形ABCD的四個頂點的坐標分別為A(-6,6),B(-8,2),C(-4,0),D(-2,4),畫出它的一個以原點O為位似中心,相似比為的位似圖形.題：ABC三個頂點坐標分別為A(2,3)，B(2,1)，C(6,2)，以點O為位似中心，相似比為2，將ABC放大，點A的對應點A的坐標為_總結：至此，我們學過的圖形變換有：平移，軸對稱，旋轉，位似.（1）平移：上下移：橫坐標不變，縱坐標隨之平移 左右移：縱坐標不變，橫坐標隨之平移（2）軸對稱:關于x軸對稱：