1、導數與零點考點一。求參數取值范圍、一,1990(1)設函數f(x)x3x26xa,若方程f(x)0有且僅有一個實根，求a的取值范圍.22解：(1)f(x)3x9x63(x1)(x2),因為當x1時，f(x)0;當1x2時，f(x)0;當x2時,5f(x)0;所以當x1時，f(x)取極大值f(1)a;當x2時，f(x)取極小值f(2)2a;25故當f(2)0或f(1)0時，方程f(x)0僅有一個實根.解得a2或a5.2(2)已知函數f(x)x33ax1,(a0)，若f(x)在x1處取得極值，直線y=m與yf(x)的圖象有三個不同的交點，求m的取值范圍。解：f(x)3x23a3(x2a),因為f(

2、x)在x1處取得極大值，所以f(1)3(1)23a0,a1.32所以f(x)x3x1,f(x)3x3,由f(x)0解得x11兇1f(x)在x1處取得極大值f(1)1,在x1處取得極小值f(1)3,又直線ym與函數yf(x)的圖象有三個不同點，則m的范圍是(3,1)。(3)已知函數f(x)x2xsinxcosx,若曲線yf(x)與直線yb有兩個不同的交點，求b的取值范圍.解：由f(x)x2xsinxcosx,得f(x)x(2cosx),令f(x)0,得x0.函數f(x)在區間(，0)上單調遞減，在區間(0,)上單調遞增，f(0)1是f(x)的最小值.當b1時，曲線yf(x)與直線yb最多只有一個

3、交點；當b1時，yf(x)與直線yb有且只有兩個不同交點.綜上可知，b的取值范圍是(1,).(4)已知函數11f(x) x 1 x e ，若直線l : y kx 1與曲線y f(x)沒有公共點，求k的最大值.解：f x x1與曲線y f x沒有公共點，等價于關于x的方程kx 1 x11一直線l:ykxxe，1,R上沒有實數解，即關于x的方程：k1x在R上沒有實數解.e1當k1時，萬程(*)可化為=0,在R上沒有實數解.e1當k1時，萬程(*)化為xe.令gxxe,則有gx1xe.令gx0,得x1,k111當x1時，gx,同時當x趨于時，gx趨于，從而gx的取值范圍為一，.ee,11,、，一、，

4、一I,一I八，I一一，一，所以當，,1時，方程(*)無實數解，解得k的取值范圍是1e,1.綜上，得k的最大值為1.k1e考點二。判斷零點個數，證明x12(1)已知函數f(x)e,xR.證明：曲線y=f(x)與曲線y-xx1有唯一公共點.“11c證明：令h(x)f(x)-xx1e-xx1,xR,則22h(x)exx1,h(x)的導數h(x)ex1,且h(0)0,h(0)0,h(0)0當x。時h(x)0yh(x)單調遞減；當x。時h”(x)0yh(x)單調遞增yh(x)h(0)0,所以yh(x)在R上單調遞增，最多有一個零點x01o.所以，曲線y=f(x)與曲線yx2x1只有唯一公共點(0,1).

5、23(2)已知函數f(x)xsinx,判斷函數f(x)在(0,兀)內的零點個數，并加以證明。23斛：f(x)xsinxh(x)f(x)sinxxcosx233當x0,時，f(x)0yf(x)在(0,上單倜遞增，f(0)f(一)0yf(x)在(0,222222上有唯一零點當x 2,時,h (x)2cos xxsinx 0J)當* -,上單調遞減,f ( )f(-)20 存在2唯一x0(-,)使f(x0)0由得：函數f(x)在(0,)內有兩個零點。O。),f (x)在區間(0,1)內均存在零點.(3)已知函數f(x)4x33tx26t2xt1,證明：對任意的t(0,解：f(x)12x26tx6t2

6、,令f(x)0,解得xt或x-.2內單調遞增，以下分兩種情況討論:當t0時，f(x)在0,-內的單調遞減，在-,22t2(1)當1,即t2時，f(x)在(0,1)內單倜遞減，f(0)t10,f(1)6t4t3644230.2所以對任意t2,),f(x)在區間(0,1)內均存在零點。(2)當0-1,即0t2時，f(x)在0,-內單調遞減，在-,1內單調遞增，2224t 3 6t 4t 3 2t 3 0.-t7373-2若t(0,1,ft3t1-t30.,f(1)6t2244所以f(x)在-,1內存在零點。2t(1，2)，f :7t3t1-t310.,f(0)t10,所以f(x)在0,-內存在零點

7、。442所以，對任意t (0,),f(x)在區間(0, 1)內均存在零點。(4)已知a, b是實數，1和1是函數f(x) x3ax2 bx的兩個極值點，設h(x)f(f(x) c,其中 c 2,2,解：由 f(x) x3 ax2 bx,得 f(x)求函數yh(x)的零點個數.x3 3x ,3x22axb,.1和1是函數f(x)x3ax2bx的兩個極值點,f(1)32ab=0,f(1)32ab=0,解得a=0,b=3,則f(x)令f(x)=t,則h(x)f(t)c,先討論關于x的方程f(x)=d根的情況：d2,2。當d=2時，f(x尸2的兩個不同的根為1和一2,f(x)是奇函數，f(x)=2的兩

8、個不同的根為-1和2。當|d0,f(1)d=f(2)d=2d0，于是f(x)是單調增函數，從而f(x)f(2)=2，此時f(x)=d在2,無實根。當x1,2時.f(x)0,于是f(x)是單調增函數。又=f(1)d0,y=f(x)d的圖象不間斷，f(x)=d在(1,2)內有唯一實根。同理，f(x)=d在(一2,I)內有唯一實根。當x1,1時，f(x)0,f(1)d0,y=f(x)d的圖象不間斷，f(x)=d在(1,1)內有唯一實根。因此，當d=2時，f(x)=d有兩個不同的根x,x2滿足x1=1,x2=2；當d2時f(x)=d有三個不同的根治，x,%,滿足X2,i=3,4,5,現考慮函數yh(x)的零點：(i)當c=2時，f(t)=c有兩個根。t2,滿足t1=1,t2=2。而f(x)=t1有三個不同的根，f(x)=t2有兩個不同的根，故yh(