1、正余弦定理的應用-同步分層能力測試題A組一填空題(本大題共8小題，每小題5分，共40分)1某人朝正東方向走了x km后，向左轉1500后，再向前走了3 km，結果他離出發點恰好km，那么x= 。 1或2. 提示：由余弦定理知3=x2+32-6xcos300,解得x=或2.2.在ABC中,已知2sinAcosB=sinC,那么ABC的形狀是 三角形。2等腰。提示:由2sinAcosB=sinC,知2sinAcosB=sin(A+B),    2sinAcosB=sinAcosB+cosAsinB.即cosAsinB-sinAcosB=0.  si

2、n(B-A)=0， B=A.3一飛機沿水平方向飛行，在位置A處測得正前下方地面目標C的俯角為30°，向前飛行了10000米，到達位置B時測得正前下方地面目標C的俯角為75°，這時飛機與地面目標的距離為 米 3。提示：由正弦定理得，得x=.4在平行四邊形ABCD中，已知AB=1，AD=2，則= 4.。提示：，得cosA=,A=600.故B=1200。由余弦定理知：AC2=12+22-4cos1200=7, =.5在一次抗洪搶險中，某救生艇發動機突然發生故障停止轉動，失去動力的救生艇在洪水中漂行，此時，風向是北偏東300，風速是20 km/h；水的流向是正東，流速是20km/h

3、，若不考慮其他因素，救生艇在洪水中漂行的速度的方向為北偏東_，大小為_km/h.5.60， 20。提示：解法一：如圖1，AOB=600,由余弦定理知OC2=202+202-800cos1200=1200,故OC=20。解法二：實質求,平方即可。 圖16.把一30厘米的木條鋸成兩段，分別做鈍角三角行ABC的兩邊AB和BC，且ABC=120，AB= 時，才能使第三條邊AC最短。6. 15.提示：在ABD中，設AB=x（0x30） 由余弦定理，得AC=x2x（30-x）cos120 =900-30x+x=（x15）+675， 所以 把AB鋸成15厘米時第三條邊AC最短7. 在ABC中，邊a，b，c的

4、對角分別為A、B、C，且。則角B= 。7.提示：由正弦定理可設=k.代入已知式，可得，由余弦定理，8 如圖2，在四邊形ABCD中，已知ADCD, AD=10, AB=14, ÐBDA=60°, ÐBCD=135° ，則BC= 。8.。提示：在ABD中，設BD=x，則即 ， 圖2整理得：，解之： ，（舍去）。由正弦定理： 。二解答題(本大題共4小題，共54分)9在奧運會壘球比賽前，C國教練布置戰術時，要求擊球手以與連結本壘及游擊手的直線成15°方向把球擊出，根據經驗，通常情況下，球速為游擊手最大跑速的4倍，問按這樣布置，游擊手能否接著球？解如圖3

5、：設接球點為B，O為守壘，A為游擊手出發點， 故不能接著球 圖310. 在ABC中，b=asinC且c=asin(900-B)，判定ABC的形狀。解： c=asin(900-B)=acosB= ； 又 由條件 綜上得ABC是等腰直角三角形。11.平面內三個力，作用于同丄點O且處于平衡狀態，已知，的大小分別為1kg，kg，、的夾角是45°，求的大小及與夾角的大小.11.解 如圖4，設與的合力為，則|F|=|F3|.FF1F2F3OF1OF2=45° FF1O=135°.在OF1F中，由余弦定理=.又由正弦定理，得. 圖4F1OF=30° 從而F1與F3的夾

6、角為150°.答：F3的大小是（+1）kg,F1與F3的夾角為150°.12. 在中，所對的邊長分別為，設滿足條件和，求和的值。解法一：由余弦定理，因此， 在ABC中，C=180°AB=120°B.由已知條件，應用正弦定理解得從而解法二：由余弦定理，因此，由，得所以 由正弦定理.由式知故B<A，因此B為銳角，于是，從而說明 求的關鍵是利用余弦定理的變式：cosA=。另外，在三角形中內角和為1800也是常用的一個結論。備選題：1.為了測河寬，在一岸邊選定兩點A和B，望對岸的標識物C，測得CAB=45，CBA=75， AB=120米，則河寬= 。1.

7、60+20.提示：把AB看成河岸，要求的河寬就是C到AB的距離，也就是的邊AB上的高。在中，有正弦定理，得BC=40（米）。設河寬為h=BCsin75=40×=60+20.2.在中，角所對的邊分別為，已知，（1）求的值；（2）求的值解：（1）由余弦定理，得，（2）方法1：由余弦定理，得， 是的內角， 方法2：，且是的內角，根據正弦定理，得 3. 某海輪以30海里/小時的速度航行，在A點測得海面上油井P在南偏東，向北航行40分鐘后到達B點，測得油井P在南偏東，海輪改為北偏東的航向再行駛80分鐘到達C點，求P、C間的距離ABCP解：如圖5，在ABP中，AB = 30×= 20，

8、APB =，BAP =，由正弦定理，得：=，即=，解得BP =在BPC中，BC = 30×= 40，由已知PBC =，PC = (海里) 圖5所以P、C間的距離為海里B組一填空題(本大題共6小題，每小題5分，共30分)1. 在ABC中，若c=4,b=7,BC邊上的中線AD的長為3.5，則a= .圖6ABC北45°15°1.9.提示：設CD=DB=x, 在ACD中，由余弦定理，得osC=.在ABC中，由余弦定理，得cosC=.=,解得x=4.5,a=9.2. 如圖6，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9n mile并以20n mile/h的速

9、度沿南偏西15°方向航行，若甲船以28n mile/h的速度航行，追上乙船至少要 h.2. .提示：設用t h，甲船能追上乙船，且在C處相遇。在ABC中，AC=28t，BC=20t，AB=9，設ABC=，BAC=。=180°45°15°=120°。根據余弦定理， ，（4t3）（32t+9）=0，解得t=，t=（舍）.3我國發射的“神舟六號”飛船開始運行的軌道是以地球的中心F為一個焦點的橢圓，測得近地點A距地面200 km，遠地點B距地面350km，地球半徑為6 371km，則在橢圓軌道上的飛船看地球的最大視角一半的正弦值為 。3. 。解析：a+

10、c=350+6 371=6 721,a-c=6 371+200=6 571.如圖7，在A處看視角最大.sinBAF=。超綱4. 在ABC中，已知a-b=4,a+c=2b且最大內角為120，則a= 。4.14.提示：由a-b=4和a+c=2b可得abc， 所以最大角為A=120。 圖7由余弦定理，得 cos120=-，結合 a-b=4 ，a+c=2b。可解得 a=14。5.如圖，測量河對岸的塔高時，可以選與塔底在同一水平面內的兩個測點與測得 米，并在點測得塔頂的仰角為, 則塔高AB= 5.15。提示：如圖8，在中，。由正弦定理得所以 圖8在中，（m）。6.江岸邊有一炮臺高30米，江中有兩條船，由

11、炮臺頂部測得俯角分別為450 和300 ，而且兩條船與炮臺底部連線成300 角，則兩條船相距 米。6. 15。提示：設炮臺頂位置為A，炮底為O，兩船位置分別為B、C。在RtAOB中，BO=30米，在RtAOB中，AO=30米，在BOA中，由余弦定理，得BC=2250，所以 BC=15米。二解答題(本大題共2小題，共36分)7. 在ABC中，角A，B，C的對邊為，向量，（1）求角C； （2）若，試求的值解：（1）由得 即因為，所以(2)法一:由正弦定理可設 =k ，（因為）法二: 由有,再利用求解.8. 如圖所示，在海岸A處發現北偏東45°方向，距A處（）海里的B處有一艘走私船，在A處

12、北偏西75°方向，距A處2海里的C處的我方緝私船，奉命以10海里/小時的速度追截走私船,此時走私船正以10海里/小時的速度，從B處向北偏東30°方向逃竄. 問：緝私船應沿什么方向行駛才能最快截獲走私船？并求出所需時間. 8.解 設緝私船應沿CD方向行駛t小時，才能最快截獲（在D點）走私船，則CD=10海里，BD=10t海里在ABC中，由余弦定理，得BC2=AB2+AC22AB·AC·cosA=·2·cos120°=6， BC=海里 。 又 ABC=45°，B點在C點的正東方向上， CBD=90°+30&#

13、176;=120°。 在BCD中，由正弦定理得 BCD=30°，緝私船應沿北偏東60°的方向行駛。又在BCD中，CBD=120°，BCD=30°，D=30°， BD=BC，即小時15分鐘。 緝私船應沿北偏東60°的方向行駛，才能最快截獲走私船，大約需要15分鐘 備選題：1. 某人在草地上散步，看到他西南有兩根相距6米的標桿，當他向正北方向步行3分鐘后，看到一根標桿在其南方向上，另一根標桿在其南偏西方向上，此人步行的速度是 東北南西ABC1. 3。提示：如圖所示，A、B兩點的距離為6米，當此人沿正北方向走到C點時，測得BCO =， ACO =，BCA =BCOACO =由題意，知BAC =，