1、知識(shí)點(diǎn)一、不等式和絕對(duì)值不等式1. 不等式的基本性質(zhì)2. 基本不等式1) a2 b2 2ab a,bR ，（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取“ ”號(hào)）22變形公式： ab a b22）（基本不等式）a b ab a,bR ，（當(dāng)且僅當(dāng) a b 時(shí)取號(hào)）變形公式： a b 2 ababab23. 三個(gè)正數(shù)的算術(shù)幾何平均不等式（1）如果 a,b,c R ，那么 a b c 3 abc ，當(dāng)且僅當(dāng) a b c 時(shí)，等號(hào)成立。3（2）推廣：如果 a1,a2, ,an 為n個(gè)正數(shù)，則 a1 a2an n a1a2 an ，當(dāng)且n僅當(dāng) a1 a2an 時(shí)，等號(hào)成立。4. 絕對(duì)值三角不等式（1）如果 a,b是實(shí)數(shù)，則

2、 a b a b ，當(dāng)且僅當(dāng) ab 0 時(shí)，等號(hào)成立。（2）如果 a, b, c是實(shí)數(shù)，那么 a c a b b c ，當(dāng)且僅當(dāng) a b b c 0 時(shí)，等號(hào)成立。5. 絕對(duì)值不等式的解法一般地，當(dāng) a 0時(shí)，有： x a a x a ，因此不等式 x a的解集是 a,a ；a a,x a x a或 x a ，因此，不等式 x a 的解集是a f x b b a 0 a f x b 或 b f x a 。二、證明不等式的基本方法1. 比較法（1）作差法（2）作商法2. 綜合法3. 分析法4. 反證法5. 放縮法三、柯西不等式與排序不等式1. 二維形式的柯西不等式（1）一般形式：設(shè) a1,a2,

3、 an，b1,b2, ,bn 為實(shí)數(shù)，則a12a22an2b12b22bn2a1b1a2b2anbn 2 ，當(dāng)且僅當(dāng) bi0 ，或存在一個(gè)實(shí)數(shù) k ，使得 ai kbi i 1,2, n 時(shí)，等號(hào)成立。（2）二維形式的柯西不等式代數(shù)形式：設(shè) a,b,c,d 均為實(shí)數(shù)，則 a2 b2 c2 d2 ac bd 2 。上式等號(hào)成 立 ad bc向量形式：設(shè) ， 為平面上的兩個(gè)向量，則 。當(dāng)且僅當(dāng) 是零 向量或存在實(shí)數(shù) k 使得 k 時(shí)，等號(hào)成立。三角形式：設(shè) x1,x2, y1, y2R，則x12y12x22y22x1x22y1y22 ，其幾何意義是三角形的兩邊之和大于第三邊。注意：應(yīng)用柯西不等式求

4、解時(shí)，按照“一看、二構(gòu)造、三判斷、四運(yùn)用”2. 排序不等式設(shè)a1 a2an，b1 b2bn為兩組實(shí)數(shù) . c1,c2, ,cn 是b1,b2, bn 的任一排列，則 a1bn a2bn 1anb1 a1c1 a2c2ancn a1b1 a2b2anbn ，（反序和 亂序和 順序和），當(dāng)且僅當(dāng) a1 a2an或b1 b2bn時(shí)，反序和等于順序和 .四、數(shù)學(xué)歸納法證明不等式1. 數(shù)學(xué)歸納法一般地，當(dāng)要證明一個(gè)命題對(duì)于不小于某正整數(shù) n0的所有正整數(shù) n都成立時(shí)， 可 以用一下兩個(gè)步驟：（1）證明當(dāng) n n0時(shí)命題成立；（ 2）假設(shè) n k k N 且 k n0 時(shí)命題成立，證明 n k 1時(shí)命題成

5、立。完成以上兩個(gè)步驟后，就可以斷定命題 對(duì)于不小于 n0 的所有正整數(shù)都成立。2. 貝努力不等式如果x是實(shí)數(shù)，且 x 1，x 0 ， n為大于1的自然數(shù)，那么有 1 x n 1 nx。典型例題33例1.已知a b 0，比較 aa3 bb3與aa bb的大小。變式 1-1. 已知 a 0， a2 2ab c220， bc a2 ，試比較 a,b,c的大小。例 2. （ 1）已知：2（2）已知： 1 a b 1 ，12 ，求 2 的范圍；a 2b 3 ，求 a 3b 的范圍。變式 2-1. 若二次函數(shù) yf x 的圖象過原點(diǎn)，且 11 2， 3 f 14 ，求f 2 的范圍例 3. 若 a b 0

6、 ， c d0，e 0 。求證：1）acebd2)a變式 3-1. 已知 a bc 0 ，求證：babbca c a c例 4. 已知 a,b,c R ，且 a b c 1，求證： 3a 2 3b 2 3c 2 6 。變式 4-1. 設(shè) a,b, c R ，求證： a2 b2 b2 c2 c2 a22 a19例5. （1）已知 x 0,y 0，且 1 9 1，求x y的最小值xy2）已知 a 0,b0 ，且 4a b 1，求 ab 的最大值。例 6.1）求函數(shù)x 1 2 3 2x1 x 23 的最大值；變式 6-1. 求函數(shù) y42x1x 1 2的最小值例 7. 設(shè) a,b,c R a,b,

7、cR ，求證：11a b b cca變式7-1. 已知 a,b, c 是形的長(zhǎng)，求證1abc1bca19c a b a b c例 8. 已知 a 1, b1，試比較：abb與 2的大小。變式 8-1. （1）求函數(shù) f xx 1 x 1 的最小值；2）求函數(shù) f xx11 的值域。例 9. 解下列不等式：（ 1）2) x 1 4 2 。變式 9-1. （1）解不等式x22x；2）若 滿 足 不 等2a 1 的 x 值 也 滿 足 不 等 式 2x2 3 a 1 x 2 3a0，求 a 的取值范圍。3）若不等式 kx2 的解集為 x 1 x3 ，則實(shí)數(shù) k例 10. 若 a b c ，求證： b

8、c 2 ca2 ab 2b2c c2a a2b 。變式 10-1. 若 a,b,c 為正實(shí)數(shù)，且 abc 1，求證：1。ab bc ca22 22 2 2a2b 2ab b2c2bc c2a 2ca例 11. 已知 a b c 1 ，求證 ab bc ca 1 32例 12. 已知 a b 0 ，求證：b28aab28b變式 12-1. 設(shè) x, y 0,，求證： 1 x y 2 1 x y x y y x 。 24變式 12-2. 已知 a,b, c且 abbc ca求證：（1） a b c 3；2) bcacb3ac。例 13. 已知 0 x 2 ，0 y2 ，0 z 2 ，求證： x 2

9、y ，y 2變式 11-1. 已知 a,b 是正實(shí)數(shù)，且 a b 1，求證：都大于 1.變式 13-1. 已知 a,b,c 是 ABC 的三邊長(zhǎng)，求證： a bc ，a cb，至少有一個(gè)不大于 a,b,c 的幾何平均數(shù)。例 14. 求證： 2 n 1 112變式 14-1. 求證：23nnn 1 2nN2變式 14-2. 求證：1n1122n 2且 n N 。2 例 15. 設(shè) m2 x2n2 y，求證：變式 15-1. 設(shè) a, bR，且 a2b210求 3ab的最大值與最小值。變式 15-2. 已知 2x3y 1，求 4x2 9 y2的最小值。11例 16. 設(shè) x1, x2, , xn

10、都是正數(shù)，求證： 1 1x1 x2xnx1 x2xn變式17-1.已知（1）11bcca（2）3 ab3333c3 ca1 aba,b , c為正數(shù)，c ，求證：3c33ab變式16-1. 設(shè) 2x3y5z 29 ，求函數(shù) u2x 1 3y 4 5z 6 的最大值。例17.已知a,b, c,dR ， 求 證4 a 22 2 2 bcda2 b2 c2d 2 a bc d 。變式 18-1 已知數(shù)列 an 滿足 a10, a2 1，當(dāng) n N 時(shí)， an 2an 1 an ，求證：例18. 用數(shù)學(xué)歸納法證明：11111 1 1 112342 n 1 2n n 1 n 22nn1, n N 。數(shù)列 an 的第 4m