1、八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班第2講矩形和菱形知識(shí)總結(jié)歸納一. 矩形的定義：定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫矩形，矩形也是我們通常所稱的長(zhǎng)方形.二. 矩形的性質(zhì)：(1) 矩形具有平行四邊形的所有性質(zhì).(2) 矩形的對(duì)角線相等.(3) 矩形的四個(gè)角都是直角.(4) 矩形是軸對(duì)稱圖形，它有兩條對(duì)稱軸.三. 矩形的判定：(1) 定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形.(2) 對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.(3) 有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.四. 直角三角形的一條重要性質(zhì)：(1) 直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半.(2) 性質(zhì)可以用來解決有關(guān)線段倍分的問題.五. 菱形的定義：定義：有一組鄰邊相等的平行四邊

2、形叫做菱形六. 菱形的性質(zhì)：(1) 菱形具有平行四邊形的所有性質(zhì).(2) 菱形的四條邊相等.(3) 菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角.七. 菱形的判定：(1)由定義判定：有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.(2)由對(duì)角線判定：對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.(3) 由邊的關(guān)系判定：四條邊相等的四邊形是菱形.典型例題.矩形【例1】 已知矩形的對(duì)角線長(zhǎng)為 13，周長(zhǎng)為34，求這個(gè)矩形的面積.【例2】 如圖，在矩形 ABCD中，對(duì)角線 AC、BD交于0，且 AOD 120 , AC 12 cm，求AB的 長(zhǎng).3思維的發(fā)掘能力的飛躍八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班#思維的發(fā)掘能力的飛躍八年級(jí)

3、初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班【例3】 如圖，在 ABC中，AB AC , D為BC中點(diǎn)，四邊形 ABDE是平行四邊形.求證：四邊形ADCE是矩形.#思維的發(fā)掘能力的飛躍Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例4】 如圖，矩形ABCD的對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O, E、F、G、H分別是OA、OB、OC、OD的中點(diǎn)，試說明：四邊形 EFGH是矩形.D思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例5】 如圖，在 ABC中，AB AC , AD、AE分別是 BAC與 BAC的外角的平分線，CE AE , 求證：AC DE .思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍

4、教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例6】 如圖，在矩形 ABCD中，AB 16 , BC 8，若將矩形沿 AC折疊，點(diǎn)D落在點(diǎn)E處，CE與AB交于點(diǎn)F，求AF的長(zhǎng).CB思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例7】如圖，折疊矩形 ABCD的邊AB ,使點(diǎn)B落在AC上的點(diǎn)F處，折痕為AE，若AB 1 , BC 2 ,ADE求BE的長(zhǎng).【例8】 如圖，在矩形 ABCD中，E是AD的中點(diǎn)，將 ABE折疊后得到 EBG，延長(zhǎng)BG交CD于點(diǎn)F，若CF 1 , FD 2，求BC的長(zhǎng).直角三角

5、形的斜邊中線【例9】 如圖，已知平行四邊形ABCD，AC、BD相交于點(diǎn) 0 , P是平行四邊形 ABCD外一點(diǎn)，且APCBPD 90 .求證：平行四邊形 ABCD是矩形.D思維的發(fā)掘能力的飛躍5Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例10】如圖，平行四邊形 ABCD中，DE丄AB于E, BM=MC = DC .求證：/ EMC=3 / BEM .思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)BD ,垂足為D , DE交BC于點(diǎn)E .求【例11】如圖，在 ABC中，AB AC , BD

6、平分 ABC , DE思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)證：CD 1 BE.2C思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例12】如圖， ABC的邊BC的中點(diǎn)為N，過A的任一直線 AD BD與D , CE AD于E .求證:NE ND .【例13】如圖，分別以 ABC的AC、BC邊為腰,A、B為直角頂點(diǎn)，作等腰直角 ACE和等腰直思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)角厶BCD , M為DE中點(diǎn)，求證：AM BM .D【例14】如圖，已知

7、五邊形 ABCDE中， ABC AED 90 , BACEAD , M為CD的中點(diǎn)，求證：MB ME .思維的發(fā)掘能力的飛躍#八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班輕鍛育AECMD三.菱形【例15】如圖，菱形ABCD中，B 60 , AB 2 cm , E、F分別是BC、CD的中點(diǎn)，連AE、EF、AF，求 AEF的周長(zhǎng).【例16】如圖所示，在菱形 ABCD中,【例17】AC 與 BD 交于 0 , AC 6 , BD8，求菱形ABCD的面積.如圖，P是菱形ABCD對(duì)角線BD上一點(diǎn)，PEAB于點(diǎn)E , PE 4 cm，則點(diǎn)P到BC的距7思維的發(fā)掘能力的飛躍八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班輕鍛育#思維的發(fā)掘能力的飛躍八年級(jí)初二

8、數(shù)學(xué)聯(lián)賽班輕鍛育離是多少?#思維的發(fā)掘能力的飛躍八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班輕鍛育#思維的發(fā)掘能力的飛躍八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班輕鍛育AD#思維的發(fā)掘能力的飛躍*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例18】如圖，用兩張等寬的紙帶交叉重疊地放到一起，重合的四邊形ABCD是菱形嗎？如果是菱形請(qǐng)給出證明，如果不是菱形請(qǐng)說明理由.【例19】如圖，在口 ABCD中，EF經(jīng)過對(duì)角線的交點(diǎn)O，且 EFAC分別交CD、AB于E、F .試思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)說明四邊形 AECF是菱形.思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛

9、躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例20】如圖，在 ABC中， ACB 90 , AD是高，交 AD于F , DE AB于E，求證：四邊形 CDEF是菱形.BAC的平分線，交BC于D ,CH是AB邊上的思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例21】如圖，已知菱形 ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)(1)求證：BD EC ;(2 )若 E 50，求 BAO的大小.O，延長(zhǎng) AB至點(diǎn)E，使 BE AB，連CE .思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#*思躍“初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育

10、初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例22】如圖，在菱形 ABCD中，E為AB上一點(diǎn)，DE交AC于F .求證：FBC AED 【例23】延長(zhǎng)菱形一邊 DC至E，使CE DC , F、G在BC上，且BF CG，又FAB 1 DAB , AF4交對(duì)角線BD于H，求證:FHC 2 CEG。思維飛躍【例24】設(shè)凸四邊形的4個(gè)頂點(diǎn)滿足條件：每一點(diǎn)到其他3個(gè)點(diǎn)的距離之和都相等試判斷這個(gè)四邊形是什么四邊形？請(qǐng)證明你的結(jié)論.【例25】已知， ABC中， B 2 C , M是BC中點(diǎn),1AD BC 于 D .求證：DM - AB .2思維的發(fā)掘能力的飛躍9Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)【例26】如圖所示，矩形 ABCD內(nèi)一

11、點(diǎn)P到A、B、C的長(zhǎng)分別是3、4、5，求PD的長(zhǎng).【例27】如圖，已知矩形 ABCD中，CE BD于點(diǎn)E ,延長(zhǎng)EC ,與 BAD的平分線 AF相交于點(diǎn)F ,求證：CF BD .【例28】如圖，點(diǎn)P是邊長(zhǎng)為1的菱形ABCD對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn) M、N分別是AB、BC邊 的中點(diǎn)，MP NP的最小值是多少？C【例29】如圖，在矩形 ABCD中，E為CB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 AC CE , F為AE的中點(diǎn).求證：思維的發(fā)掘能力的飛躍#Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)BF FD .AD【例30】如圖，在 口 ABCD中，AB 2AD , F為AB的中點(diǎn)，CE AD交AD （或延長(zhǎng)線）于 E.求 證

12、： BFE 3 AEF .作業(yè)1.如圖，在 口 ABCD中，AC、BD相交于點(diǎn)O，且 AOB使等邊三角形，邊長(zhǎng)為 2，求BC的長(zhǎng).2.如圖，在矩形ABCD中,AB 3 , BC 4，若將矩形折疊，使點(diǎn)與點(diǎn)B重合，求折痕EF的長(zhǎng).思維的發(fā)掘能力的飛躍11Ip思躍教育初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班八年級(jí)3.如圖，矩形 ABCD邊AD沿折痕AE折疊，使點(diǎn)D落在BC上的F處，已知AB 6, ABF的面 積是24,求FC的值.DEC4. 能判定一個(gè)四邊形是菱形的條件是()A 對(duì)角線互相平分且相等B 對(duì)角線互相垂直且相等C 對(duì)角線互相垂直且對(duì)角相等D .對(duì)角線互相垂直，且一條對(duì)角線平分一組對(duì)角5. 已知菱形周長(zhǎng)為 24,

13、 一條對(duì)角線長(zhǎng)為8，求菱形的面積.6. ABC中，分別以AB、AC為斜邊作等腰直角三角形 ABM和CAN , P是BC的中點(diǎn)，求證：PM =PN .7.如圖，在厶ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上，CE II BF，連BE、CF .(1)求證： BDF也 CDE .思維的發(fā)掘能力的飛躍#八年級(jí)初二數(shù)學(xué)聯(lián)賽班A思躍殽育(2)若AB AC，求證：四邊形 BFCE是菱形.8. 已知：銳角三角形 ABC中，BD、CE是兩條高，F(xiàn)、G分別是BC、DE的中點(diǎn)，求證： FG垂直平分DE .9.如圖所示，在 ABC中,BAC 90 , AD BC 于 D , BE 平分 ABC，交 AD 于點(diǎn) M , AN 平分DAC，交BC于點(diǎn)N 求證：四邊形AMNE是菱形.C10.如圖在矩形 ABCD中，已知AD 12 , AB5 , P是AD邊上任意一點(diǎn),PEBD , PF AC , E、13思維的發(fā)掘能力的