1、一線三等角模型“三垂直”,等，以下稱為“一線三等角”。一.一線三等角概念“一線三等角”是一個常見的相似模型, 上構成的相似圖形，這個角可以是直角, 不同的稱呼，“K形圖”，二一線三等角的分類 全等篇指的是有三個等角的頂點在同一條直線 也可以是銳角或鈍角。不同地區對此有 “弦圖”同側銳角相似篇異側的性質3-1，由/1 = / 2=7 3,三、“一線三等角”1. 一般情況下，如圖2當等角所對的邊相等時，則兩個三角形全等 易得 AE3A BDE.如圖 3-1，若 CE=ED 則厶 AE3A BDE.圖3-1圖3-23.中點型“一線三等角”如圖 3-2，當/ 仁/ 2=7 3,且 D 是 BC 中點時

2、， BD0A CFSA DFE.4“中點型一線三等角“的變式（了解）1如圖3-3，當/仁/ 2且.BOC =90BAC時，點O是厶ABC的內心.可以考慮構2”通常與三角形的內心或旁心相關,1 BOC =90 BAC這是內心的性質，反之未必是內心.2在圖3-4 （右圖）中，如果延長 BE與CF，交于點P，則點D是厶PEF的旁心.5.“一線三等角”的各種變式（圖 3-5，以等腰三角形為例進行說明）圖3-5其實這個第4圖，延長DC反而好理解.相當于兩側型的，不延長理解，以為 是一種新型的，同側穿越型？不管怎么變，都是由三等角確定相似三角形來進 行解題四、“一線三等角”的應用1. “一線三等角”應用的

3、三種情況.a. 圖形中已經存在“一線三等角”，直接應用模型解題；b. 圖形中存在“一線二等角”，不上“一等角”構造模型解題；c. 圖形中只有直線上一個角，不上“二等角”構造模型解題體會：感覺最后一種情況出現比較多，尤其是壓軸題中，經常會有一個特殊角 或指導該角的三角函數值時，我經常構造“一線三等角”來解題2. 在定邊對定角問題中，構造一線三等角是基本手段，尤其是直角坐標系中的 張角問題，在x軸或y軸（也可以是平行于x軸或y軸的直線）上構造 線三等角解決問題更是重要的手段3. 構造一線三等角的步驟：找角、定線、構相似A£ MNip口 n在DC的延按続上融取CE= - 在CD的延長銭上誌

4、觀DF= jtanatana則 unZAEP= tacZPFB= tans 則ZAEP= ZPFB= a= ZAPS,所IAPaE«ABPF *在CP上截取CE= 二，在DP爺取DF= 二，ranarana則 cmZ.XEC= tmZBFD= tana，WJZAEC= ZBFD= a= ZAPB，所WAPAEcoABPF *坐標系中，要講究“線”的特殊性如圖3-6，線上有一特殊角，就考慮構造同側型一線三等角當然只加這兩條線通常是不夠的，為了利用這個特殊角導線段的關系，過C、D兩點作直線I的垂線是必不可少的。兩條垂線通常情況下是為了 “量化”的需 要。上面就是作輔助線的一般程序，看起來

5、線條比較多，很多老師都認為一下子不 容易掌握解題示范例1如圖所示，一次函數 y - -X 4與坐標軸分別交于 A、B兩點，點P是線段 AB上一個動點（不包括 A、B兩端點），C是線段0B上一點, 三角形，求點P的坐標.EC/例 2 如圖所示，四邊形 ABCD 中，/ C=90 °/ ABD= / DBC=22.5 ° AE 丄BC 于 E，/ ADE=67.5 ° AB=6,貝U CE=.例 3 如圖，四邊形 ABCD 中，/ABC= / BAD=90 ° ,Z ACD=45 ° , AB=3 , AD=5.求 BC 的長.DH 3 S8-x&

6、#163;x-2例 4 如圖， ABC 中，/BAC=45 ° , AD 丄 BC, BD=2 , CD=3,求 AD 的長.一線三等角，補形最重要，內構勤思考，外構更精妙.找出相似形,比例不能少.巧設未知數，妙解方程好還是可以縱橫斜三個方向構造，坐標系中一般考慮縱橫兩個方向構造例 5 如圖，在ABC 中，/ BAC=135 , AC= .2 AB, AD丄 AC 交 BC 于點 D,若 AD =2 ,求AABC的面積當然有45°或135。等特殊角，據此也可以構造不同的一線三等角一線三等角所有的構造都是把分居定角兩側的數據集中在一起，是相似集中條件的一種大練身手：1-如圏，

7、AJSC+, tan 厶仞=丄 P ZB = 90a, AD = 2, BC = 4. i32,如圖，AJBC 中，ZB-90°ZCAD45a f AB3f CD二兌求 BD 的長.玉如圖，在四邊y&ABCD中* Z BAD= ZACB= A A CD=4 5, AC=4.求遲CD的周長.4在直角三角形ABC, ZO90°，乙皆30° AC=A. D為/C的中點，若ZYOEF為正三角形，求CF的長.5如圖，在 Rt/ABC 中，ZACB=3O0 , D4 平分ZCAB,若ZCDB=60° , CA = 4>/3 求的長.6如圖，在等腰直角三

8、角形/PC中，ZBAC=9QQ , D為曲上一點,連接CD P為CD上一點,ZBPD=45°，若CP=69 /CD的面積為1&則線段DB的長為B交/C邊與點F, EFM，則AC的長為.B DC9如圖，在平面直角坐標系中，點A （4,0）,點（0,2石），點C在第一彖限內，若AJBC為等邊三角形，則點C的坐標為.10.矩形ABCD在直角坐標系的位登如圖所示，點J（2V15,0）點C（0,5）,反比例函數y = £的圖像交邊/、 BC于D. E兩點且ZDOE=45°，則匕.11如圖，直線y = 2x-4交坐標軸與/k B兩點,交雙曲線y = -(x>0)

9、于點C,且5=8,點F在點Cx的右惻的雙曲線上，ZPBC=45° ,則點P的坐標為12.在ZU5C中，AB = 2伍、佔=45°,以點A為直角頂點作等腿直角ZUDE點D在BC上，點E在/1C上,若CE = &則CD的長為.13如圖，直角AABC中，ZC=90° , AC=6. BC=8,。是斜邊的中點，E為BC上動點,DF丄AE于點F, 連接。民 若»£/是等腰直角三角形，求DE的長度.14在MBC中，ZB=45。, ZC=30°，點D是BC上一點,連接過點/作/G丄/JD,在/G上取 點F,連接DF.延長D4至E,使AE=A

10、F9連接EG, DG,且GE=DF(1) 若 AB = 24iAB=2,求 BC 的長；(2) 如圖1,當點G在AC k時，求證：BD =、CG ；2(3) 如圖2,當點G在/C的垂直平分線上時，直接寫出務的值.D例7:在平面直角坐標系中，已知點A (1 , 0), B ( 0, 3), C (-3, 0), D是線段AB上一點，CD 父 y 軸于 E，且 Sbce= 2Ssob.(1) 求直線AB的解析式；(2) 求點D的坐標，猜想線段 CE與線段AB的數量關系和位置關系，并說明理由;(3) 若F為射線CD上一點，且/ DBF= 45°求點F的坐標.2例8如圖，直線y= x+ 2與

11、y軸交于點C,與拋物線y= ax交于A、B兩點(A在B的左側)， BC= 2AC,點P是拋物線上一點.(1) 求拋物線的函數表達式；(2) 若點P在直線AB的下方，求點P到直線AB的距離的最大值；(3) 若點P在直線AB的上方，且/ BPC= 45°求所有滿足條件的點 P的坐標.練1 如圖，拋物線的頂點為 C (- 1 , - 1),且經過點A、點B和坐標原點0,點B的橫坐 標為3.(1) 求拋物線的解析式；(2) 若點D為拋物線上的一點，且 B0D的面積等于 B0C的面積，請直接寫出點 D的坐 標；(3) 若點E的坐標為(0, 2),點P是線段BC上的一個動點，是否存在點P,使得/

12、 OPE =45°若存在，求出點 P的坐標；若不存在，請說明理由.C課后作業：如圖，點 A(0,-1),B(3,0),P為直線y= -x+5上一點，若/ APB=45 °，求點 P的坐標在四邊形ABCD中,ABC= / BAD=90。，/ ACD=45 ° , AB=3,AD=4,求 AC 的長.如圖，正方形 ABCDBE+GC= .3 BC，點E,F,G分別在 AB,BC,CD上， EFG為等邊三角形，求證:如圖， ABC U DBA，且 AC= 、一 2 BC,求證：CD=2AB.如圖，在四邊形 ABCD中，/ ABC= 90° AB= 3, BC=

13、 4, CD= 10 , DA= 55，求 BD 的長如圖，點A是反比例（X >0）圖形上一點，點 B是X軸正半軸上一點，點 C的坐標為（0, 2）,點厶ABC是等邊三角形時，求點 A的坐標.拋物線y"-虹+3與坐標軸交于乩呂、C三點、*點F徃拋物線上* FE丄呂C于點E*若FE=2U瓦 求尸點坐標.2如圖，拋物線y= ax +bx+ 4與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側)，與y軸交于點C,17直線I: y=-x+ m經過點A,與拋物線交于另一點D (5,-)，點P是直線I上方的拋 物線上的動點，連接 PC PD.(1) 求拋物線的解析式；)當厶PCD為直角三角形時，求點 P的坐標；(3)設厶PCD的面積為S,請你探究：使 S的值為整數的點 P共有幾個，說明理由.42221如圖1,已知直線y=kx與拋物線_ _帀 y 交于點A (3, 6).(1) 求直線y=kx的解析式和線段 OA的長度；(2) 點P為拋物線第一象限內的動點 ，過點P作直線PM,交x軸于點M (點M、0不重合),交直線0A于點Q,再過點Q作直線PM的垂線,交y軸于點N.試探究：線 段QM與線段QN的長度之比是否為定值？如果是,求出這個定值,如果不是,說明理由；(3) 如圖2,若點B為拋物線上對稱軸右側的點，點E在線段0A上(與點0、A不重 合)，點D (