1、高三第一輪專題復(fù)習(xí)一、課程說明(一)教學(xué)目標(biāo)：1.知識與能力：掌握等差、等比數(shù)列的概念、通項公式、前n項和公式及其他性質(zhì)公式；進(jìn)一步滲透方程思想、分類討論思想、等價轉(zhuǎn)化思想以及體會類比與歸納的數(shù)學(xué)方法。2.過程與方法：通過典例剖析進(jìn)一步提高學(xué)生研究問題、分析問題與解決問題能力。3.情感態(tài)度與價值觀：通過在教學(xué)過程中讓學(xué)生多動手、多觀察、勤思考、善總結(jié)，引導(dǎo)學(xué)生養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)的學(xué)習(xí)習(xí)慣；激發(fā)學(xué)生求知欲，鼓勵學(xué)生大膽嘗試，敢于探索、創(chuàng)新的學(xué)習(xí)品質(zhì)。（二）教材分析教材上基礎(chǔ)知識詳細(xì)，基本方法歸納基本到位，但對等差數(shù)列與等比數(shù)列的性質(zhì)運用及通項公式，求和公式例題講解不足。而數(shù)列作為一種特殊的，函數(shù)與函數(shù)

2、思想密不可分；另一方面,學(xué)習(xí)數(shù)列也為進(jìn)一步學(xué)習(xí)數(shù)列的極限等內(nèi)容做好準(zhǔn)備，所以在本次復(fù)習(xí)中要彌補(bǔ)教材上的不足。（三）學(xué)習(xí)者特征分析高三學(xué)生，隨著高二一年的學(xué)習(xí)，對于等差數(shù)列與等比數(shù)列的一些基礎(chǔ)知識有點模糊，對性質(zhì)運用，基本方法不夠深入，但是基礎(chǔ)知識還是比較好，而且思維敏捷，所以本次復(fù)習(xí)也有了針對性。（四）教學(xué)重點1.等差數(shù)列、等比數(shù)列概念，性質(zhì)，和公式的理解。2.求等差數(shù)列、等比數(shù)列的通項公式,前n項和公式的基本方法。（五）教學(xué)難點1. 等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用。2.求 等差數(shù)列、等比數(shù)列通項公式,前n項和公式方法的相互滲透。二、課前準(zhǔn)備（一）教學(xué)方法啟發(fā)引導(dǎo)回顧舊知，通過常見重難題的講

3、練結(jié)合，讓學(xué)生在自我探究合作、交流中掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的知識，并能在高考中得分；（二）教學(xué)器材（根據(jù)輔導(dǎo)地點所定）若是教室則為多媒體設(shè)備，投影儀，擴(kuò)音器；若在家中則借助小白板即可。（三）時間分配雖內(nèi)容較多，但重難點突出，且有針對性，所以用三分之一的時間復(fù)習(xí)基礎(chǔ)知識，用三分之二的時間重點講解和練習(xí)性質(zhì)及方法的運用，課后會有適量的作業(yè)鞏固課堂所學(xué)。三、課程設(shè)計（教學(xué)過程）（一）基礎(chǔ)知識鞏固等差數(shù)列 等比數(shù)列定義通項公式前n項和公式 中項公式a,A,b成等差數(shù)列a,G,b成等比數(shù)列判定性質(zhì)成等差數(shù)列成等比數(shù)列 （）有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論1等差數(shù)列的任意連續(xù)項的和構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列2等差數(shù)列

4、中，若，則3等比數(shù)列中，若，則4等比數(shù)列an的任意連續(xù)項的和構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列5兩個等差數(shù)列與的和差的數(shù)列仍為等差數(shù)列6兩個等比數(shù)列與的積、商、倒數(shù)的數(shù)列、仍為等比數(shù)列（二）等差數(shù)列、等比數(shù)列性質(zhì)的靈活運用典型題例示范講解例1已知函數(shù)f(x)= (x<2)(1)求f(x)的反函數(shù)f-1(x);(2)設(shè)a1=1, =f-1(an)(nN*),求an;(3)設(shè)Sn=a12+a22+an2,bn=Sn+1Sn是否存在最小正整數(shù)m,使得對任意nN*,有bn<成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由命題意圖本題是一道與函數(shù)、數(shù)列有關(guān)的綜合性題目，著重考查學(xué)生的邏輯分析能力知識依托本題

5、融合了反函數(shù)，數(shù)列遞推公式，等差數(shù)列基本問題、數(shù)列的和、函數(shù)單調(diào)性等知識于一爐，結(jié)構(gòu)巧妙，形式新穎，是一道精致的綜合題錯解分析本題首問考查反函數(shù)，反函數(shù)的定義域是原函數(shù)的值域，這是一個易錯點，(2)問以數(shù)列為橋梁求an,不易突破技巧與方法(2)問由式子得=4,構(gòu)造等差數(shù)列,從而求得an,即“借雞生蛋”是求數(shù)列通項的常用技巧；(3)問運用了函數(shù)的思想解(1)設(shè)y=,x<2,x=,即y=f-1(x)= (x>0)(2)，是公差為4的等差數(shù)列，a1=1,=+4(n1)=4n3,an>0,an=(3)bn=Sn+1Sn=an+12=,由bn<,得m>,設(shè)g(n)=,g(n

6、)=在nN*上是減函數(shù)，g(n)的最大值是g(1)=5,m>5,存在最小正整數(shù)m=6,使對任意nN*有bn<成立例2（由學(xué)生和老師共同完成）設(shè)等比數(shù)列an的各項均為正數(shù)，項數(shù)是偶數(shù)，它的所有項的和等于偶數(shù)項和的4倍，且第二項與第四項的積是第3項與第4項和的9倍，問數(shù)列l(wèi)gan的前多少項和最大？(lg2=03,lg3=04)命題意圖本題主要考查等比數(shù)列的基本性質(zhì)與對數(shù)運算法則，等差數(shù)列與等比數(shù)列之間的聯(lián)系以及運算、分析能力知識依托本題須利用等比數(shù)列通項公式、前n項和公式合理轉(zhuǎn)化條件，求出an;進(jìn)而利用對數(shù)的運算性質(zhì)明確數(shù)列l(wèi)gan為等差數(shù)列，分析該數(shù)列項的分布規(guī)律從而得解錯解分析題設(shè)

7、條件中既有和的關(guān)系，又有項的關(guān)系，條件的正確轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，計算易出錯；而對數(shù)的運算性質(zhì)也是易混淆的地方技巧與方法突破本題的關(guān)鍵在于明確等比數(shù)列各項的對數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，而等差數(shù)列中前n項和有最大值，一定是該數(shù)列中前面是正數(shù)，后面是負(fù)數(shù)，當(dāng)然各正數(shù)之和最大；另外，等差數(shù)列Sn是n的二次函數(shù)，也可由函數(shù)解析式求最值解法一設(shè)公比為q,項數(shù)為2m,mN*,依題意有化簡得設(shè)數(shù)列l(wèi)gan前n項和為Sn,則Sn=lga1+lga1q2+lga1qn1=lga1n·q1+2+(n1)=nlga1+n(n1)·lgq=n(2lg2+lg3)n(n1)lg3=()·n2+(2lg2+lg

8、3)·n可見，當(dāng)n=時，Sn最大而=5,故lgan的前5項和最大解法二接前，,于是lgan=lg108()n1=lg108+(n1)lg,數(shù)列l(wèi)gan是以lg108為首項，以lg為公差的等差數(shù)列，令lgan0,得2lg2(n4)lg30,n=55由于nN*,可見數(shù)列l(wèi)gan的前5項和最大例3（由學(xué)生和老師共同完成）等差數(shù)列an的前n項的和為30，前2m項的和為100，求它的前3m項的和為_解法一將Sm=30,S2m=100代入Sn=na1+d,得解法二由知，要求S3m只需求ma1+,將得ma1+d=70,S3m=210解法三由等差數(shù)列an的前n項和公式知，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，即S

9、n=An2+Bn(A、B是常數(shù)）將Sm=30,S2m=100代入，得,S3m=A·(3m)2+B·3m=210解法四S3m=S2m+a2m+1+a2m+2+a3m=S2m+(a1+2md)+(am+2md)=S2m+(a1+am)+m·2md=S2m+Sm+2m2d由解法一知d=,代入得S3m=210解法五根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)知Sm,S2mSm,S3mS2m也成等差數(shù)列，從而有2(S2mSm)=Sm+(S3mS2m)S3m=3(S2mSm)=210解法六Sn=na1+d,=a1+d點(n,)是直線y=+a1上的一串點，由三點(m,),(2m,),(3m,)共線，易得S

10、3m=3(S2mSm)=210解法七令m=1得S1=30，S2=100，得a1=30,a1+a2=100,a1=30,a2=70a3=70+(7030)=110S3=a1+a2+a3=210答案 210（三）十種求數(shù)列通項公式的方法（歸納總結(jié)，不用于課堂講解，只是根據(jù)學(xué)生的掌握情況，個別指導(dǎo)，彌補(bǔ)學(xué)生沒有掌握的那種方法）1、公式法（掌握！）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，由等差數(shù)列的通項公式，得，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，說明數(shù)列是等差數(shù)列，再直接利用等差數(shù)列的通項公式求出，進(jìn)而求出數(shù)列的通

11、項公式。2、累加法（掌握！）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由得則所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式。例、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：兩邊除以，得，則，故因此，則評注：本解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。3、累乘法（掌握！）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以，則，故所以數(shù)列的通項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，即得數(shù)列的通項公式。例、已知數(shù)列滿足，求的通項公式。解：因為所以用式式得則 故所以由，則，又知，則，代入得。所以，的通

12、項公式為評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，進(jìn)而求出，從而可得當(dāng)?shù)谋磉_(dá)式，最后再求出數(shù)列的通項公式。4、待定系數(shù)法（掌握！）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，等式兩邊消去，得，兩邊除以，得代入式得由及式得，則，則數(shù)列是以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得整理得。令，則，代入式得由及式，得，則，故數(shù)列是以為首項，以3為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知

13、數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求數(shù)列的通項公式。例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：設(shè)將代入式，得，則等式兩邊消去，得，解方程組，則，代入式，得由及式，得則，故數(shù)列為以為首項，以2為公比的等比數(shù)列，因此，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。5、對數(shù)變換法（了解）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以。在式兩邊取常用對數(shù)得設(shè)將式代入式，得，兩邊消去并整理，得，則，故代入式，得由及式，得，則，所以數(shù)列是以為首項，以5為公比的等比數(shù)列，則，因此則。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過對數(shù)變換

14、把遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化為，從而可知數(shù)列是等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。6、迭代法（掌握！）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：因為，所以又，所以數(shù)列的通項公式為。評注：本題還可綜合利用累乘法和對數(shù)變換法求數(shù)列的通項公式。即先將等式兩邊取常用對數(shù)得，即，再由累乘法可推知，從而。7、數(shù)學(xué)歸納法（掌握！）例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：由及，得由此可猜測，往下用數(shù)學(xué)歸納法證明這個結(jié)論。（1）當(dāng)時，所以等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)時等式成立，即，則當(dāng)時，由此可知，當(dāng)時等式也成立。根據(jù)（1），（2）可知，等式對任何都成立。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過首項和遞推關(guān)系式先求出

15、數(shù)列的前n項，進(jìn)而猜出數(shù)列的通項公式，最后再用數(shù)學(xué)歸納法加以證明。8、換元法（了解）例、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，則故，代入得即因為，故則，即，可化為，所以是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，因此，則，即，得。評注：本題解題的關(guān)鍵是通過將的換元為，使得所給遞推關(guān)系式轉(zhuǎn)化形式，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，進(jìn)而求出數(shù)列的通項公式，最后再求出數(shù)列的通項公式。9、不動點法(了解)例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的兩個不動點。因為。所以數(shù)列是以為首項，以為公比的等比數(shù)列，故，則。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的兩個根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等比數(shù)列，

16、再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。例、 已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：令，得，則是函數(shù)的不動點。因為，所以，所以數(shù)列是以為首項，以為公差的等差數(shù)列，則，故。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出函數(shù)的不動點，即方程的根，進(jìn)而可推出，從而可知數(shù)列為等差數(shù)列，再求出數(shù)列的通項公式，最后求出數(shù)列的通項公式。10、特征根法（了解）例、已知數(shù)列滿足，求數(shù)列的通項公式。解：的相應(yīng)特征方程為，解之求特征根是，所以。由初始值，得方程組求得從而。評注：本題解題的關(guān)鍵是先求出特征方程的根。再由初始值確定出，從而可得數(shù)列的通項公式。（四）數(shù)列求和的方法（歸納總結(jié)，用來彌補(bǔ)學(xué)生沒有掌握到的基本方法，根據(jù)學(xué)生情

17、況個別講解）1、公式法：如果一個數(shù)列是等差、等比數(shù)列或者是可以轉(zhuǎn)化為等差、等比數(shù)列的數(shù)列，我們可以運用等差、等比數(shù)列的前n項和的公式來求.等差數(shù)列求和公式：等比數(shù)列求和公式：常見的數(shù)列的前n項和：， 1+3+5+(2n-1)=，等.2、倒序相加法：類似于等差數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。如果一個數(shù)列，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，可采用正序?qū)懞团c倒序?qū)懞偷膬蓚€和式相加，就得到一個常數(shù)列的和。這一種求和的方法稱為倒序相加法.例1、 已知函數(shù)（1）證明：；（2）求的值.解：（1）先利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)對函數(shù)化簡，后證明左邊=右邊（2）利用第（1）小題已經(jīng)證明的結(jié)論可知，兩式相加得： 所

18、以.小結(jié)：解題時，認(rèn)真分析對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求和.針對訓(xùn)練3、求值：3、錯位相減法：類似于等比數(shù)列的前n項和的公式的推導(dǎo)方法。若數(shù)列各項是由一個等差數(shù)列和一個等比數(shù)列對應(yīng)項相乘得到，即數(shù)列是一個“差·比”數(shù)列，則采用錯位相減法.若，其中是等差數(shù)列，是公比為等比數(shù)列，令則兩式相減并整理即得例2、（2008年全國第19題第（2）小題，滿分6分）已知，求數(shù)列an的前n項和Sn.解：得小結(jié)：錯位相減法的求解步驟：在等式兩邊同時乘以等比數(shù)列的公比；將兩個等式相減；利用等比數(shù)列的前n項和的公式求和.針對訓(xùn)練4、求和：4、裂項相消法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，即數(shù)列的每

19、一項都可按此法拆成兩項之差，在求和時一些正負(fù)項相互抵消，于是前n項的和變成首尾若干少數(shù)項之和，這一求和方法稱為裂項相消法。適用于類似（其中是各項不為零的等差數(shù)列，為常數(shù)）的數(shù)列、部分無理數(shù)列等。用裂項相消法求和，需要掌握一些常見的裂項方法：（1），特別地當(dāng)時，（2），特別地當(dāng)時例3、數(shù)列的通項公式為，求它的前n項和解： =小結(jié)：裂項相消法求和的關(guān)鍵是數(shù)列的通項可以分解成兩項的差，且這兩項是同一數(shù)列的相鄰兩項，即這兩項的結(jié)構(gòu)應(yīng)一致，并且消項時前后所剩的項數(shù)相同.針對訓(xùn)練5、求數(shù)列的前n項和.5、分組求和法：有一類數(shù)列，它既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列.若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個等差、等比數(shù)列或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可.例4、求和：解：小結(jié)：這是求和的常用方法，按照一定規(guī)律將數(shù)列分成等差（比）數(shù)列或常見的數(shù)列，使問題得到順利求解.針對訓(xùn)練6、求和：（）（）（）（五）、方法小結(jié)1解決等差數(shù)列和等比數(shù)列的問題時，通常考慮兩類方法：基本量法：即運用條件轉(zhuǎn)化為關(guān)于和的方程；巧妙運用等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，一般地運用性質(zhì)可以化繁為簡，減少運算量2深刻領(lǐng)會兩類數(shù)列的性質(zhì)，弄清通項和前項和公式的內(nèi)在聯(lián)系是解題的關(guān)鍵（六）、課后鞏固練習(xí)基本訓(xùn)練1（1）若一個等差數(shù)列前3項的和為34，最后三項的和為146，且所有項的和為,則這個數(shù)列有