1、第3章 微分中值定理與導數的應用 羅爾定理定理3.1 如果函數滿足：(1) 在閉區間上連續；(2) 在開區間內可導；(3) 那么，在內至少存在一點，使得這就是羅爾()定理圖這個定理的幾何解釋如圖所示，如果連續曲線在開區間內的每一點處都存在不垂直于軸的切線，并且兩個端點、處的縱坐標相等，即連結兩端點的直線平行于軸，則在此曲線上至少存在一點，使得曲線在點處的切線與軸平行 拉格朗日中值定理定理3.2 如果函數滿足：(1) 在閉區間上連續；(2) 在開區間內可導那么，在內，至少存在一點，使得 （3-1）也可以寫成這就是拉格朗日()中值定理在此定理中，如果區間的兩個端點處的函數值相等，就變成了羅爾定理也

2、就是說，羅爾定理是拉格朗日定理的特殊情況拉格朗日定理的幾何解釋如圖3-2所示，若是閉區間上的連續曲線弧段，連接點和點的弦的斜率為，而弧段上某點的斜率為定理3.2的結論表明：在曲線弧段上至少存在一點，使得曲線在點處的切線與曲線的兩個端點連線平行圖3-2拉格朗日定理有兩個推論：推論1 如果在區間內，函數的導數恒等于零，那么在區間內，函數是一個常數證明 在區間內任取兩點，在上，用拉格朗日中值定理，有 由于函數的導數恒等于零，所以這說明在區間內，函數的在任何兩點處的函數值都相等故在區間內，函數是一個常數推論2 如果在區間內，則在區間內，與只相差一個常數，即 (為一常數)證 令，則，由推論1知，為一常數

3、，于是有 (為常數)* 柯西中值定理定理3.3 設函數與函數滿足：(1) 在閉區間上連續；(2) 在開區間內可導；(3) 在區間內那么，在內，至少存在一點，使得 （3-2）這就是柯西()中值定理在此定理中，若，則其就變成了拉格朗日定理，說明拉格朗日定理是柯西定理的特殊情況3.2 洛必達法則重點：洛必達法則的應用。難點：洛必達法則的應用。中值定理的一個重要應用是計算函數的極限.在第一章求極限時，我們經常遇到形如當(或)時，函數的分子、分母都趨近于零或都趨近于無窮大的情況.對于這種函數是不能直接利用商的極限運算法則去求其極限的極限可能存在，也可能不存在通常把這種極限叫做未定式，分別簡記為“”或“”

4、型下面介紹求這類極限的一種簡便且重要的方法 洛必達()法則對于“”型的極限，有下面的法則：法則1 如果函數與函數滿足：(1) ；(2) 函數與在點的鄰域內均可導，且；(3) 存在(或為無窮大)那么對于“”型的極限，有下面法則：法則2 如果函數與函數滿足：(1) ；(2) 函數與在點的鄰域內均可導，且；(3) 存在(或為無窮大)那么使用洛必達法則必須注意以下兩點：（1）洛必達法則只適用于未定式，其他未定式須先化成這兩種類型之一，然后再用該法則；（2）洛必達法則的條件是充分的，但不是必要的，因此，該法則失效但極限仍有可能存在.有些極限雖然是未定式，但使用洛必達法則無法計算出其極限值，這時應考慮用其

5、它方法例如求，兩次使用洛必達法則后，又還原成原來的形式，因而洛必達法則對它失效，事實上3.3 函數的單調性與極值 函數的單調性函數的單調性是函數的一個重要性態，它反映了函數在某個區間隨自變量的增大而增大（或減少）的一個特征.但是，利用單調性的定義來討論函數的單調性往往是比較困難的.本節利用導數符號來研究函數的單調性由圖3-3可以看出，當函數在上是單調增加時，其曲線上任一點的切線的傾斜角都是銳角，因此它們的斜率都是正的，由導數的幾何意義知道，此時，曲線上任一點的導數都是正值，即0由圖3-4可以看出，當函數在上是單調減少時，其曲線上每一點的切線的傾斜角都是鈍角，因此它們的斜率都是負的，此時，曲線上

6、任一點的導數都是負值，即0 圖3-3 圖3-4定理3.4 設函數在內可導，則(1) 如果在內，那么函數在內單調增加；(2) 如果在內，那么函數在內單調減少注 在區間內個別點處導數等于零，不影響函數的單調性如冪函數，其導數在原點處為，但它在其定義域內是單調增加的 函數的極值極值的概念如圖3-5所示，函數在點的函數值比它左右近旁的函數值都大，而在點的函數值比它左右近旁的函數值都小，對于這種特殊的點和它對應的函數值，我們給出如下定義：定義3.1 設函數在區間內有定義，是內的一個點(1) 如果對于點近旁的任一點，都有，那么稱為函數的一個極大值，點稱為的一個極大值點(2) 如果對于點近旁的任一點，都有，

7、那么稱為函數的一個極小值，點稱為的一個極小值點函數的極大值與極小值統稱為函數的極值，極大值點與極小值點統稱為函數的極值點圖3-5如圖3-5中的和是函數的極大值點，和是函數極大值；和是函數的極小值點，和是函數的極小值注意 (1) 極值只是一個局部概念，它僅是與極值點鄰近的函數值比較而言較大或較小的，而不是在整個區間上的最大值或最小值函數的極值點一定出現在區間的內部，在區間的端點處不能取得極值；(2) 函數的極大值與極小值可能有很多個，極大值不一定比極小值大，極小值不一定比極大值小；(3) 函數的極值可能取在導數不存在的點函數極值的判定從圖3-5可以看出，曲線在點、取得極值處的切線都是水平的，即在

8、極值點處函數的導數等于零對此，我們給出函數存在極值的必要條件：定理3.5 如果函數在點處可導且取得極值，那么使得函數的導數等于零的點(即方程的實根)，叫做函數的駐點定理3.5說明，可導函數的極值點必定是它的駐點，但是，函數的駐點不一定是它的極值點例如點是函數的駐點，但不是極值點所以定理3.5還不能解決所有求函數極值的問題但是，定理3.5提供了尋求可導函數極值點的范圍，即從駐點中去尋找還要指出連續但不可導點也可能是其極值點，如，在處連續，但不可導，而是該函數的極小點判斷駐點是否是極值點，我們有如下定理：定理3.6 設函數在點的近旁可導，且(1) 如果當時，；當時，那么是極大值點，是函數的極大值；

9、(2) 如果當時，；當時，那么是極小值點，是函數的極小值(3) 如果在點的左右兩側，同號，那么不是極值點，函數在點處沒有極值圖3-6分別顯示了以上三種情形： (1) (2) (3)圖3-6根據定理3.5和定理3.6，可得到求函數極值點和極值的步驟如下：(1) 求出函數的定義域；(2) 求出函數的導數；(3) 令，求出函數在定義域內的全部駐點；(4) 用所有駐點和導數不存在的點把定義域分成若干個部分區間，列表考察每個部分區間內的符號，確定極值點；(5) 求出各極值點處的函數值，即得函數的全部極值1閉區間上連續函數的最值設函數在閉區間上連續，由閉區間上連續函數的性質知道，函數在閉區間上一定有最大值

10、與最小值最大值與最小值可能取在區間內部，也可能取在區間的端點處，如果取在區間內部，那么，它們一定取在函數的駐點處或者導數不存在的點處函數的極值是局部概念，在一個區間內可能有很多個極值，但函數的最值是整體概念，在一個區間上只有一個最大值和一個最小值由以上分析知，求函數在閉區間上的最大值與最小值的步驟為：(1) 求出在區間內的所有駐點，導數不存在的點，并計算各點的函數值；(2) 求出端點處的函數值和；(3) 比較以上所有函數值，其中最大的就是函數在上的最大值，最小的就是函數在上的最小值3.4 函數圖形的描繪3 4 1曲線的凹凸與拐點研究函數的單調性與極值，對于了解函數的性態，描繪函數的圖形起到了重

11、要作用但是僅依賴于這些知識，還不能比較準確地描繪出函數的圖形例如函數與在上的圖形(圖3-10)，其曲線都是單調上升的，但他們的彎曲方向卻不同，這就是所謂的凹與凸的區別曲線上任一點的切線均位于曲線下方，形狀是凹的，而曲線上任一點的切線均位于曲線上方，形狀是凸的 圖3-10一般地，從圖3-11可以看出，在向下凸的曲線弧段上，任一點處的切線都在曲線的下方；在向上凸的曲線弧段上，任一點處的切線都在曲線的上方對于此，我們給出下面的定義：定義3.2 如果在某區間內，曲線弧段上任一點處的切線都在曲線的下方，那么稱此曲線弧段為凹曲線；曲線弧段上任一點處的切線都在曲線的上方，那么稱此曲線弧段為凸曲線從圖3-11

12、中還可以看出，當曲線弧段是凹的時候，其切線的斜率是逐漸增加的，即函數的導數是單調增加的；當曲線弧段是凸的時候，其切線的斜率是逐漸減少的，即函數的導數是單調減少的根據函數單調性的判定方法，有如下定理：圖3-11定理3.7 設函數在區間內具有二階導數(1) 如果當時，恒有，則曲線在區間內是凹的；(2) 如果當時，恒有，則曲線在區間內是凸的定義3.3 連續曲線上凸的曲線與凹的曲線的分界點叫做曲線的拐點曲線的漸近線先看我們熟悉的函數，如：(1) 函數，當時，函數值無限趨近于零，那么曲線無限接近于直線；(2) 函數，當時，函數值的絕對值無限增大，那么曲線無限接近于直線；（3）函數，當時，函數值無限接近于，那么曲線無限接近于直線；當時，函數值無限接近于，那么曲線無限接近于直線一般地，當曲線上的一動點沿著曲線移向無窮遠時，如果點到某定直線的距離趨向于零，那么直線就稱為曲線的一條漸近線.漸近線分為水平、垂直和斜漸近線，我們給出下面的定義：定義3.4 設曲線，(1) 如果（或，），則稱直線為曲線的一條水平漸近線；(2) 如果（或，），則稱直線為曲線的一條垂