1、一、協方差與相關系數的概念及性質一、協方差與相關系數的概念及性質二二、相關系數的意義相關系數的意義三、小結三、小結第三節第三節 協方差及相關系數協方差及相關系數1. 問題的提出問題的提出 那么那么相互獨立相互獨立和和若隨機變量若隨機變量,YX).()()(YDXDYXD 不相互獨立不相互獨立和和若隨機變量若隨機變量YX?)( YXD22)()()(YXEYXEYXD ).()(2)()(YEYXEXEYDXD 一、協方差與相關系數的概念及性質一、協方差與相關系數的概念及性質 協方差協方差).()(),ov(C),Cov(.)()(YEYXEXEYXYXYXYEYXEXE 即即記為記為的協方差的

2、協方差與與稱為隨機變量稱為隨機變量量量2. 定義定義.)()(),Cov(的相關系數的相關系數與與稱為隨機變量稱為隨機變量而而YXYDXDYXXY )()(),Cov(YEYXEXEYX )()(YEYEXEXE . 0 相互獨立相互獨立和和若隨機變量若隨機變量YX)3()()(2 )()()(YEYXEXEYDXDYXD ).()(YDXD 相互獨立相互獨立和和若隨機變量若隨機變量YX)2(),(Cov2)()(YXYDXD 3. 說明說明 .,)1(個無量綱的量個無量綱的量它是一它是一協方差協方差的相關系數又稱為標準的相關系數又稱為標準和和YX4. 協方差的計算公式協方差的計算公式);()

3、()(),Cov()1(YEXEXYEYX ).,Cov(2)()()()2(YXYDXDYXD 證明證明)()(),Cov()1(YEYXEXEYX )()()()(YEXEYXEXYEXYE ).()()(YEXEXYE )()()()(2)(YEXEYEXEXYE )()()()2(2YXEYXEYXD )()(2YEYXEXE )()(2YEYXEXE )()(22YEYEXEXE ).,Cov(2)()(YXYDXD 5. 性質性質 );,Cov(),Cov()1(XYYX ;, , ),Cov(),Cov()2(為為常常數數baYXabbYaX ).,Cov(),Cov(),Cov

4、()3(2121YXYXYXX .),(),(222121相關系數相關系數的的與與試求試求設設YXNYX解解 2222212121212221)()(2)()1 ( 21exp121),(yyxxyxf由由,e21)(21212)(1 xxfxX.,e21)(22222)(2 yyfyY例例1.)(,)(,)(,)(222121YDXDYEXE yxyxfyxYXdd),()(),Cov(21 而而.ddee)(1212112222121)1(212)(21221xyyxxyx ,1111222 xyt令令,11xu ututuYXtudde )1(21),Cov(2222122122 tuu

5、tudede22222122 ttuutudede212222122,22221 .),Cov(21YX 故有故有.)()(),Cov( YDXDYXXY于是于是結論結論;,)1(的相關系數的相關系數與與代表了代表了參數參數中中二維正態分布密度函數二維正態分布密度函數YX. )2(相互獨立相互獨立與與等價于等價于相關系數為零相關系數為零與與二維正態隨機變量二維正態隨機變量YXYX.23,21),4 , 0(),3 , 1(,22YXZNNYXXY 設設分別服從分別服從已知隨機變量已知隨機變量?)3(.)2(.)1(為什么為什么是否相互獨立是否相互獨立與與問問的相關系數的相關系數與與求求的數學期

6、望和方差的數學期望和方差求求ZXZXZ解解.16)(, 0)(, 9)(, 1)()1( YDYEXDXE由由)23()(YXEZE 得得)(21)(31YEXE .31 例例2)2,3Cov(2)2()3()(YXYDXDZD ),Cov(31)(41)(91YXYDXD )()(31)(41)(91YDXDYDXDXY . 3241 )()(21)(31YDXDXDXY . 033 . 0) )()(),Cov( ZDXDZXXY故故:,)3(可知可知立兩者是等價的結論立兩者是等價的結論關系數為零和相互獨關系數為零和相互獨由二維正態隨機變量相由二維正態隨機變量相.是相互獨立的是相互獨立的與

7、與ZX)23,Cov(),Cov()2(YXXZX ),Cov(21),Cov(31YXXX 1. 問題的提出問題的提出?,衡量衡量接近的程度又應如何來接近的程度又應如何來最接近最接近可使可使應如何選擇應如何選擇問問YbaXba )(2bXaYEe 設設.的好壞程度的好壞程度近似表達近似表達可用來衡量可用來衡量則則YbXae .,的近似程度越好的近似程度越好與與表示表示的值越小的值越小當當YbXae .,達到最小達到最小使使的值的值確定確定eba二、相關系數的意義二、相關系數的意義).(2)(2)(2)()(2222YaEXabEXYbEaXEbYE 得得并令它們等于零并令它們等于零求偏導數求

8、偏導數分別關于分別關于將將,bae . 0)(2)(2)(2, 0)(2)(222XaEXYEXbEbeYEXbEaae解得解得,)(),Cov(0XDYXb .)(),Cov()()(0XDYXXEYEa )(2bXaYEe 得得中中代入代入將將,)(,200bXaYEeba )(min2,bXaYEeba ).()1(2YDXY 2. 相關系數的意義相關系數的意義.,系較緊密系較緊密的線性關系聯的線性關系聯表明表明較小較小較大時較大時當當YXeXY.,線性相關的程度較差線性相關的程度較差較小時較小時當當YXXY.,0不相關不相關YXXY和和稱稱時時當當 )(200XbaYE 例例3 ?,)

9、,cos(,cos,2, 0的相關系數的相關系數和和求求是常數是常數這里這里的均勻分布的均勻分布服從服從設設 aa 解解, 0dcos21)(20 xxE ,21dcos21)(2022 xxE , 0d)(cos21)(20 xaxE ,21d)(cos21)(2022 xaxE ,cos21d)cos(cos21)(20axaxxE 數為數為由以上數據可得相關系由以上數據可得相關系.cosa , 1,0 時時當當a, 1, 時時當當a .存在線性關系存在線性關系, 0,232 時時或或當當aa.不相關不相關與與 , 122 但但.不獨立不獨立與與因此因此 .的相關關系的相關關系與與動畫演示

10、動畫演示 單擊圖形播放單擊圖形播放/ /暫停暫停 ESCESC鍵退出鍵退出(1) 不相關與相互獨立的關系不相關與相互獨立的關系3. 注意注意相互獨立相互獨立不相關不相關(2) 不相關的充要條件不相關的充要條件; 0,1o XYYX不相關不相關; 0),Cov(,2o YXYX不相關不相關).()()(,3oYEXEXYEYX 不相關不相關4. 相關系數的性質相關系數的性質. 1)1( XY. 1,:1)2( bXaYPbaXY使使存在常數存在常數的充要條件是的充要條件是證明證明)(min)1(2,bXaYEeba )()1(2YDXY 0 012 XY. 1 XY. 1,1)2( bXaYPbaXY使使存在常數存在常數的充要條件是的充要條件是1, XY事實上事實上20000200)()( )(0XbaYEXbaYDXbaYE , 0)(00 XbaYD. 0)(00 XbaYE由方差性質知由方差性質知. 100 XbaYP或或0)(200 XbaYE, 10)(00 XbaYP使使若存在常數若存在常數反之反之 ba ,1 XbaYP. 0)(2 XbaYE)(min2,bXaYEba )(200XbaYE )()1(2YDXY . 1 XY, 10)(2 XbaYP, 10)( XbaYP故有故有)(02XbaYE .),(的的關關系系相相關關系系數數的的