1、第四章微分中值定理和導數的應用4.1微分中值定理費馬引理：設函數y=f(x)在點的一個鄰域上有定義，并在可導，如果（或） 則一、羅爾(Rolle)定理1.羅爾 （Rolle）定理如果函數f(x)在閉區間a，b上連續，在開區間（a，b）內可導，且在區間端點的函數值相等，即f(a)=f(b)，那么在（a,b）內至少有一點，使得函數f(x)在該點的導數等于零，即。2.幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點C，在該點處的切線是水平的。例1.判斷函數，在-1，3上是否滿足羅爾定理條件，若滿足，求出它的駐點。2 / 51【答疑編號11040101】解滿足在-1，3上連續，在（-1，3）上可導，且f(-1)=f

2、(3)=0，取例2.設f(x)=(x+1)(x-2)(x-3)(x-5)，判斷有幾個實根，并指出這些根所在的區間。【答疑編號11040102】二、拉格朗日(Lagrange)中值定理1.拉格朗日(Lagrange)中值定理如果函數f(x)在閉區間a,b上連續，在開區間（a，b）內可導，那么在（a,b）內至少有一點，使等式成立。注意：與羅爾定理相比條件中去掉了f(a)=f(b)結論亦可寫成。2.幾何解釋:在曲線弧AB上至少有一點C，在該點處的切線平行于弦AB。拉格朗日中值定理又稱微分中值定理例3（教材162頁習題4.1，3題（2）題）、判斷f(x)=sinx在上是否滿足拉格朗日中值定理。【答疑編

3、號11040103】推論1如果函數f(x)在區間I上的導數恒為零，那么f(x)在區間I上是一個常數。例4（教材162頁習題4.1，4題）、證明【答疑編號11040104】證設又，即，推論2假設在區間I上兩個函數f(x)和g(x)的導數處處相等，則f(x)與g(x)至多相差一個常數。4.2洛必達法則一、型及型未定式解法：洛必達法則1、定義如果當xa（或x）時，兩個函數f(x)與F(x)都趨于零或都趨于無窮大，那么極限稱為或型未定式。例如,2、定理設（1）當x0時，函數f(x)及F（x）都趨于零；（2）在a點的某臨域內（點a本身可以除外），f(x)及F(x)都存在且F(x)0；（3）存在（或為無窮

4、大）；那么。3、定義這種在一定條件下通過分子分母分別求導再求極限來確定未定式的值的方法稱為洛必達法則。當x時，以及xa，x時，該法則仍然成立。4、例題分析例1、求。【答疑編號11040201】解：原式。例2、求【答疑編號11040202】例3、求【答疑編號11040203】例4、求【答疑編號11040204】例5、求【答疑編號11040205】例6、【答疑編號11040206】例7（教材166頁例4）、求。【答疑編號11040207】例8、求。【答疑編號11040208】解：原式。例9、求。【答疑編號11040209】解：原式。例10、求。【答疑編號11040210】例11（教材168頁，例8

5、）、求（a0）【答疑編號11040211】解：當x+時，ln x+，這是型未定式，用洛必達法則，例12、求（n是正整數）。【答疑編號11040212】解：這是型未定式，接連用洛必達法則n次，得。對于任意的0，同樣可以證明。二、型未定式解法關鍵：將其它類型未定式化為洛必達法則可解決的類型。1、0.型步驟：，或。例13、求。（0·）【答疑編號11040213】解：原式例14、求。【答疑編號11040214】例15（教材169頁，例10）、求。【答疑編號11040215】解：當x時，所以這是0·型未定式。2、型步驟：例16、求。（）【答疑編號11040216】例17（教材172頁

6、習題4.2，3題（2）題）、求【答疑編號11040217】3、型步驟：例18、求【答疑編號11040218】解：原式例19、。【答疑編號11040219】解：原式。例20（教材172頁習題4.2，4題）、設是連續函數，求a.【答疑編號11040220】注意：洛必達法則的使用條件是分子分母都有導數，且分母的導數不為0，導數比的極限存在。例21、求。【答疑編號11040221】解：原式洛必達法則失效。原式4.3函數的單調性一、單調性的判別法定理 設函數y=f(x)在a,b上連續，在（a,b）內可導，（1）如果在（a,b）內f(x)0，那么函數y=f(x),在a,b上單調增加；（2）如果在（a,b）

7、內f(x)0，那么函數y=f(x)在a,b上單調減少。例1、討論函數的單調性。【答疑編號11040301】解：二、單調區間求法問題:如上例，函數在定義區間上不是單調的，但在各個部分區間上單調定義:若函數在其定義域的某個區間內是單調的，則該區間稱為函數的單調區間.導數等于零的點和不可導點，可能是單調區間的分界點方法：用方程f(x)=0的根及f(x)不存在的點來劃分函數f(x)的定義區間，然后判斷區間內導數的符號。注意:函數的單調性是一個區間上的性質，要用導數在這一區間上的符號來判定，而不能用一點處的導數符號來判別一個區間上的單調性。例2、求的單調區間【答疑編號11040302】例3、確定函數的單

8、調區間。【答疑編號11040303】解： 例4、確定的單調區間。【答疑編號11040304】利用導數判斷函數的單調性的性質可以證明一些不等式。例5、當x0，證明：xln(1+x)這個不等式成立。【答疑編號11040305】單調增函數的含義例6、證明：當x0時。【答疑編號11040306】4.5函數的極值與最值函數極值的定義 定義設函數f(x)在區間(a,b)內有定義，是（a,b）內的一個點，如果存在著點的一個鄰域，對于這鄰域內的任何點x，除了點外，f(x)均成立，就稱是函數f(x)的一個極大值；如果存在著點的一個鄰域，對于這鄰域內的任何點x，除了點外，f(x)均成立，就稱是函數f(x)的一個極

9、小值。函數的極大值與極小值統稱為極值，使函數取得極值的點稱為極值點。函數極值的求法定理1（必要條件）設f(x)在點處具有導數，且在處取得極值，那么必定f()=0。定義使導數為零的點（即方程f(x)=0的實根）叫做函數f(x)的駐點。注意：可導函數f(x)的極值點必定是它的駐點，但函數的駐點卻不一定是極值點。如例7、。【答疑編號11040307】注意:函數的不可導點,也可能是函數的極值點。所以:連續函數的極值點必是函數的駐點和不可導點。定理2（第一充分條件）設函數f(x)在點的一個鄰域上連續，在去心鄰域上可導。（1）如果，有f(x)0；而，有f(x)0，則f(x)在處取得極大值。（2）如果，有f

10、(x) 0；而，有f(x)0，則f(x)在處取得極小值。（3）如果當及時，f(x)符號相同，則f(x)在處無極值。 (是極值點情形) (不是極值點情形)求極值的步驟:（1）求定義域；（2）求導數f(x)及導數不存在的點；（3）求駐點，即方程f(x)=0的根；（4）檢查f(x)在駐點左右的正負號，判斷極值點；（5）求極值。例8、求出函數的極值。【答疑編號11040308】x（-，-1）-1（-1,3）3（3,+）f（x）+0-0+f（x）極大值極小值極大值f(-1)=10,極小值f(3)=-22。定理3（第二充分條件）設f(x)在x0處具有二階導數，且f()=0，f()0，那么（1）當f()0時

11、，函數f(x)在處取得極大值；（2）當f() 0時，函數f(x)在處取得極小值。例9、求出函數的極值。【答疑編號11040309】解：f(x)=3+6x-24=3(x+4)(x-2)令f(x)=0,得駐點=-4，=2。f(x)=6x+6, f(-4)=-180，故極大值f(-4)=60，f(2)=180，故極小值f(2)=-48。例10、求出函數的極值。【答疑編號11040310】解：當x=2時，f(x)不存在，但函數f(x)在該點連續。當x2時，f(x) 0；當x2時，f(x) 0。f(2)=1為f(x)的極大值。二、函數的最值若函數f(x)在a,b上連續，除個別點外，處處可導，并且至多有有

12、限個導數為零的點，則f(x)在a,b上的最大值與最小值存在。步驟:1.求駐點和不可導點；2.求區間端點及駐點和不可導點的函數值,比較大小,大的就是最大值,小的就是最小值；應用舉例例1、求函數y=2x3+3x2-12x+14的在-3,4上的最大值與最小值。【答疑編號11040401】比較得最大值f(4)=142，最小值f(1)=7。實際問題求最值應注意:(1)建立目標函數;(2)求最值;若目標函數只有唯一駐點，則該點的函數值即為所求的最大（或最小）值。例2、由直線y=0，x=8及拋物線y=x2圍成一個曲邊三角形，在曲邊y=x2上求一點使曲線在該點處的切線與直線y=0及x=8所圍成的三角形面積最大

13、。【答疑編號11040402】令解得（舍去）。為極大值。故為所有三角形中面積的最大者。補：第三章第六節 導數和微分在經濟學中的簡單應用361 邊際分析定義：設y=f(x)是一個經濟函數，其導數f(x)稱為f(x)的邊際函數。f(x0)稱為f(x)在點的邊際函數值。成本、收入、利潤函數的導數稱為邊際成本MC、邊際收入MR、邊際利潤ML。例、（147頁例1）已知某產品的產量為q件時總成本為（百元），求q=900件時的邊際成本。【答疑編號11040403】解： ，即MC=1.5當q從900件改變（增加或減少）1件時，成本要改變150元。362彈性分析定義：設y=f(x)是一個經濟函數，當經濟變量x在

14、點x0改變x時，經濟變量y相應地在y0=f(x0)處改變y=f(x0+x)-f(x0) ，如果極限存在，則稱此極限值為y=f(x)在點x0的彈性，記為在任意點的彈性記為，它作為x的函數稱為y=f(x)的彈性函數。=例4、（149頁例3）設S=S(p)是市場對某一種商品的供給函數，其中p是商品價格，S是市場的供給量，則稱為供給價格彈性。由于S一般隨p的上升而增加，S（p）是單調增加函數，當p0時，S0，故0。其意義是：當價格從p上升1%時，市場供給量從S（p）增加個百分數。【答疑編號11040404】例5、（149頁例4）【答疑編號11040405】例6、（07年4月考題）設某商品市場需求量D對

15、價格p的函數關系為，則需求價格彈性是：【答疑編號11040406】解：例7、（05年1月考題）已知某廠生產x件產品的成本為，問：（1）要使平均成本最小，應生產多少件產品？【答疑編號11040407】（2）如產品以每件500元出售，要使利潤最大，應生產多少件產品？【答疑編號11040408】解：（1） 4.4曲線的凹凸性和拐點曲線凹凸的定義問題:如何研究曲線的彎曲方向?曲線凹凸的判定定理1 如果f(x)在a,b上連續，在（a,b）內具有二階導數，若在（a,b）內（1）f(x)0，則f(x)在a,b上的圖形是凹的；（2）f(x)0，則f(x)在a,b上的圖形是凸的。例1、判斷曲線y=x3的凹凸性。

16、【答疑編號11040501】解：當x0時，y0，曲線在(-,0)為上凸的；當x0時，y0，曲線在（0，+）為上凹的。注意到，點（0，0）是曲線由凸變凹的分界點。曲線的拐點及其求法1.定義連續曲線上凹凸的分界點稱為曲線的拐點。2拐點的求法拐點只可能是二階導數為零的點以及二階導數不存在的點。設函數f(x)在x0的鄰域內二階可導且f(x0)=0或者二階不可導：（1）x0兩側f（x）變號，點（x0,f(x0)）即為拐點；（2）x0兩側f(x)不變號，點（x0,f(x0)）不是拐點。例2、求曲線y=3x4-4x3+1的拐點及凹凸的區間。【答疑編號11040502】解： x（-，0）0（0，2/3）2/3（2/3，+）f（x）+0-0+f（x）凹的拐點（0,1）凸的拐點（2/3,11/27）凹的例3、設函數f(x)在區間（a,b）上恒有f(x)0，f（x）0，則曲線y=f(x)在（a,b）上（）。A單調上升，凹B.單調上升，凸C.單調下降，凹D.單調下降，凸【答疑編號11040503】答案：B例4、給定曲線C：y=f(x)(xR)，已知y=f(x)的圖形，則曲線C在（-，+）上是（）。圖4-8A凹的B凸的C單調上升D單調下降【答疑編號11040504】答案：A例5、求的拐點。【答疑編號110405