1、第三章 直線與方程（1）直線的傾斜角定義：x軸正向與直線向上方向之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地，當直線與x軸平行或重合時,我們規定它的傾斜角為0度。因此，傾斜角的取值范圍是0°180°（2）直線的斜率定義：傾斜角不是90°的直線，它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k表示。即。斜率反映直線與軸的傾斜程度。當直線l與x軸平行或重合時, =0°, k = tan0°=0;當直線l與x軸垂直時, = 90°, k 不存在.當時，； 當時，； 當時，不存在。過兩點的直線的斜率公式： （ P1(x1,y1),P2(x2,y2)

2、,x1x2）注意下面四點：(1)當時，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90°；(2)k與P1、P2的順序無關；(3)以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點的坐標直接求得；(4)求直線的傾斜角可由直線上兩點的坐標先求斜率得到。（3）直線方程點斜式：直線斜率k，且過點注意：當直線的斜率為0°時，k=0，直線的方程是y=y1。當直線的斜率為90°時，直線的斜率不存在，它的方程不能用點斜式表示但因l上每一點的橫坐標都等于x1，所以它的方程是x=x1。斜截式：，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b兩點式：（）直線兩點，截矩式：其中直線與軸交于點,與軸交于點,即與軸

3、、軸的截距分別為。一般式：（A，B不全為0）注意：各式的適用范圍 特殊的方程如：平行于x軸的直線：（b為常數）； 平行于y軸的直線：（a為常數）； （6）兩直線平行與垂直當，時，；注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時，要注意斜率的存在與否。（7）兩條直線的交點 相交交點坐標即方程組的一組解。方程組無解 ； 方程組有無數解與重合（8）兩點間距離公式：設是平面直角坐標系中的兩個點，則 （9）點到直線距離公式：一點到直線的距離（10）兩平行直線距離公式已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，：，則與的距離為直線的方程1. 設a，b，c是互不相等的三個實數，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c

4、3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明 A、B、C三點共線，kAB=kAC，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.2.（2009·宜昌調研）若實數x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（ ）A. B.C. D.答案D3.（1）求經過點A（-5，2）且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；（2）過點A（8，6）引三條直線l1,l2,l3，它們的傾斜角之比為124，若直線l2的方程是y=x,求直線l1,l3的方程.解 （1）當直線l在x、y軸上的截距

5、都為零時，設所求的直線方程為y=kx,將（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此時，直線方程為y=-x, 即2x+5y=0.當橫截距、縱截距都不是零時，設所求直線方程為=1，將（-5，2）代入所設方程，解得a=-，此時，直線方程為x+2y+1=0.綜上所述，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.（2） 設直線l2的傾斜角為,則tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直線l1的方程為y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程為y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.4.直線l經過點P（3，2）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OAB的面積為12，求直線l的方

6、程.解 方法一 設直線l的方程為（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直線方程為=1,即2x+3y-12=0.方法二 設直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l在y軸上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直線方程為y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.9.已知線段PQ兩端點的坐標分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0與線段PQ有交點，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點.kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時直線x+my+

7、m=0與線段PQ有交點，所求m的取值范圍是-m.方法二 過P、Q兩點的直線方程為y-1=(x+1),即y=x+,代入x+my+m=0,整理，得x=-. 由已知-1-2, 解得-m.兩直線方程例1 已知直線l1:ax+2y+6=0和直線l2:x+(a-1)y+a2-1=0,（1）試判斷l1與l2是否平行；（2）l1l2時，求a的值.解 （1）方法一 當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1不平行于l2;當a=0時，l1:y=-3,l2:x-y-1=0,l1不平行于l2;當a1且a0時，兩直線可化為l1:y=-3,l2:y=-(a+1),l1l2，解得a=-1, 綜上可知，a=-1時

8、，l1l2，否則l1與l2不平行. 方法二 由A1B2-A2B1=0，得a（a-1）-1×2=0，由A1C2-A2C10，得a(a2-1)-1×60,l1l2a=-1,故當a=-1時，l1l2，否則l1與l2不平行.（2）方法一 當a=1時，l1:x+2y+6=0,l2:x=0,l1與l2不垂直，故a=1不成立.當a1時，l1:y=-x-3,l2:y=-(a+1),由·=-1a=.方法二 由A1A2+B1B2=0，得a+2(a-1)=0a=.例3 （12分）已知直線l過點P（3，1）且被兩平行線l1:x+y+1=0,l2:x+y+6=0截得的線段長為5，求直線l的

9、方程.解 方法一 若直線l的斜率不存在，則直線l的方程為x=3,此時與l1,l2的交點分別是A（3，-4），B（3，-9），截得的線段長|AB|=|-4+9|=5,符合題意.若直線l的斜率存在時，則設直線l的方程為y=k(x-3)+1,分別與直線l1,l2的方程聯立，由,解得A.8分由,解得B, 由兩點間的距離公式，得+=25，解得k=0,即所求直線方程為y=1. 綜上可知，直線l的方程為x=3或y=1. 方法二 設直線l與l1,l2分別相交于A(x1,y1),B(x2,y2),則x1+y1+1=0,x2+y2+6=0,兩式相減，得(x1-x2)+(y1-y2)=5 6分又(x1-x2)2+(

10、y1-y2)2=25聯立可得或, 10分由上可知，直線l的傾斜角分別為0°和90°，故所求的直線方程為x=3或y=1.例4 求直線l1:y=2x+3關于直線l:y=x+1對稱的直線l2的方程.解 方法一 由 知直線l1與l的交點坐標為（-2，-1），設直線l2的方程為y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.在直線l上任取一點（1，2），由題設知點（1，2）到直線l1、l2的距離相等，由點到直線的距離公式得=，解得k=(k=2舍去)，直線l2的方程為x-2y=0.方法二 設所求直線上一點P（x,y）,則在直線l1上必存在一點P1（x0,y0）與點P關于直線l對稱.由題

11、設：直線PP1與直線l垂直，且線段PP1的中點P2在直線l上.，變形得,代入直線l1:y=2x+3，得x+1=2×(y-1)+3,整理得x-2y=0.所以所求直線方程為x-2y=0.線性規劃例1 畫出不等式組表示的平面區域,并回答下列問題:(1)指出x,y的取值范圍;(2)平面區域內有多少個整點?解 (1)不等式x-y+50表示直線x-y+5=0上及右下方的點的集合.x+y0表示直線x+y=0上及右上方的點的集合, x3表示直線x=3上及左方的點的集合.則U. 所以,不等式組.表示的平面區域如圖所示.結合圖中可行域得x,y-3,8.(2)由圖形及不等式組知當x=3時,-3y8,有12

12、個整點;當x=2時,-2y7,有10個整點;當x=1時,-1y6,有8個整點;當x=0時，0y5，有6個整點；當x=-1時,1y4,有4個整點;當x=-2時,2y3,有2個整點;平面區域內的整點共有2+4+6+8+10+12=42(個).例2 （2008·湖南理，3）已知變量x、y滿足條件則x+y的最大值是（ ）A.2B.5C.6D.8答案C例3 （12分）某工廠生產甲、乙兩種產品，計劃每天每種產品的生產量不少于15噸，已知生產甲產品1噸，需煤9噸，電力4千瓦時，勞力3個；生產乙產品1噸，需煤4噸，電力5千瓦時，勞力10個；甲產品每噸的利潤為7萬元，乙產品每噸的利潤為12萬元；但每天

13、用煤不超過300噸，電力不超過200千瓦時，勞力只有300個.問每天生產甲、乙兩種產品各多少噸，才能使利潤總額達到最大？解 設每天生產甲、乙兩種產品分別為x噸、y噸，利潤總額為z萬元，1分則線性約束條件為4分目標函數為z=7x+12y, 6分作出可行域如圖， 8分作出一組平行直線7x+12y=t,當直線經過直線4x+5y=200和直線3x+10y=300的交點A（20，24）時，利潤最大. 10分即生產甲、乙兩種產品分別為20噸、24噸時，利潤總額最大，zmax=7×20+12×24=428（萬元）.答 每天生產甲產品20噸、乙產品24噸，才能使利潤總額達到最大. 12分直

14、線與方程1.設直線l與x軸的交點是P，且傾斜角為,若將此直線繞點P按逆時針方向旋轉45°，得到直線的傾斜角為+45°，則（ ）A.0°180°B.0°135°C. 0°135°D. 0°135° 答案 D2.（2008·全國文）曲線y=x3-2x+4在點（1，3）處的切線的傾斜角為（ ）A.30°B.45°C.60°D.120°答案 B3.過點M（-2，m），N（m，4）的直線的斜率等于1，則m的值為( )A.1B.4C.1或3D.1或4答案 A

15、4.過點P（-1，2）且方向向量為a=（-1，2）的直線方程為（ ）A.2x+y=0 B.x-2y+5=0 C.x-2y=0D.x+2y-5=0答案 A5.(2009·株州模擬)一條直線經過點A（-2，2），并且與兩坐標軸圍成的三角形的面積為1，則此直線的方程為 .答案 x+2y-2=0或2x+y+2=0例1 已知三點A（1，-1），B（3，3），C（4，5）.求證：A、B、C三點在同一條直線上.證明A（1，-1），B（3，3），C（4，5），kAB=2,kBC=2，kAB=kBC，A、B、C三點共線.例2已知實數x,y滿足y=x2-2x+2 (-1x1).試求：的最大值與最小值.解

16、 由的幾何意義可知，它表示經過定點P（-2，-3）與曲線段AB上任一點（x,y)的直線的斜率k,如圖可知：kPAkkPB,由已知可得：A（1，1），B（-1，5），k8，故的最大值為8，最小值為.例3 求適合下列條件的直線方程：（1）經過點P（3，2），且在兩坐標軸上的截距相等；（2）經過點A（-1，-3），傾斜角等于直線y=3x的傾斜角的2倍.解 （1）方法一 設直線l在x,y軸上的截距均為a,若a=0，即l過點（0，0）和（3，2），l的方程為y=x，即2x-3y=0.若a0，則設l的方程為，l過點（3，2），a=5，l的方程為x+y-5=0,綜上可知，直線l的方程為2x-3y=0或x+y

17、-5=0.方法二 由題意知，所求直線的斜率k存在且k0,設直線方程為y-2=k(x-3),令y=0，得x=3-,令x=0,得y=2-3k,由已知3-=2-3k，解得k=-1或k=,直線l的方程為：y-2=-（x-3）或y-2=(x-3),即x+y-5=0或2x-3y=0.（2）由已知：設直線y=3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2. tan=3,tan2=-.又直線經過點A（-1，-3），、因此所求直線方程為y+3=-(x+1),即3x+4y+15=0.例4 （12分）過點P（2，1）的直線l交x軸、y軸正半軸于A、B兩點，求使：（1）AOB面積最小時l的方程；（2）|PA|·|P

18、B|最小時l的方程.解 方法一 設直線的方程為 (a2,b1),由已知可得（1）2=1，ab8.SAOB=ab4. 當且僅當=,即a=4,b=2時，SAOB取最小值4，此時直線l的方程為=1,即x+2y-4=0. 6分（2） 由+=1,得ab-a-2b=0,變形得(a-2)(b-1)=2,|PA|·|PB|=·=.當且僅當a-2=1,b-1=2,即a=3,b=3時，|PA|·|PB|取最小值4.此時直線l的方程為x+y-3=0.方法二 設直線l的方程為y-1=k(x-2) (k0),則l與x軸、y軸正半軸分別交于A、B（0，1-2k）.（1）SAOB=（1-2k）

19、=×（4+4）=4.當且僅當-4k=-,即k=-時取最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+2y-4=0.6分·（2）|PA|·|PB|=4,當且僅當=4k2,即k=-1時取得最小值，此時直線l的方程為y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 1.設a，b，c是互不相等的三個實數，如果A（a，a3）、B（b，b3）、C（c，c3）在同一直線上，求證：a+b+c=0.證明 A、B、C三點共線，kAB=kAC，化簡得a2+ab+b2=a2+ac+c2，b2-c2+ab-ac=0，（b-c）（a+b+c）=0，a、b、c互不相等，b-c0，a+b+c=0.

20、2.（2009·宜昌調研）若實數x,y滿足等式(x-2)2+y2=3，那么的最大值為（ ）A. B.C. D.答案D3.（1）求經過點A（-5，2）且在x軸上的截距等于在y軸上的截距的2倍的直線方程；（2）過點A（8，6）引三條直線l1,l2,l3，它們的傾斜角之比為124，若直線l2的方程是y=x,求直線l1,l3的方程.解 （1）當直線l在x、y軸上的截距都為零時，設所求的直線方程為y=kx,將（-5，2）代入y=kx中，得k=-，此時，直線方程為y=-x,即2x+5y=0.當橫截距、縱截距都不是零時，設所求直線方程為=1，將（-5，2）代入所設方程，解得a=-，此時，直線方程為

21、x+2y+1=0.綜上所述，所求直線方程為x+2y+1=0或2x+5y=0.（2）設直線l2的傾斜角為,則tan=.于是tan=,tan2=,所以所求直線l1的方程為y-6=(x-8),即x-3y+10=0,l3的方程為y-6=(x-8),即24x-7y-150=0.4.直線l經過點P（3，2）且與x，y軸的正半軸分別交于A、B兩點，OAB的面積為12，求直線l的方程.解 方法一 設直線l的方程為（a0,b0）,A(a,0),B(0,b),解得所求的直線方程為=1,即2x+3y-12=0.方法二 設直線l的方程為y-2=k(x-3),令y=0,得直線l在x軸上的截距a=3-,令x=0,得直線l

22、在y軸上的截距b=2-3k.(2-3k)=24.解得k=-.所求直線方程為y-2=-(x-3).即2x+3y-12=0.一、選擇題1.直線xcos+y-1=0 (R)的傾斜角的范圍是（ ）A. B.C. D.答案D2.已知直線l過點（a,1)，（a+1,tan +1),則（ ）A.一定是直線l的傾斜角B.一定不是直線l的傾斜角C.不一定是直線l的傾斜角D.180°-一定是直線l的傾斜角答案C3.已知直線l經過A（2，1），B（1，m2）（mR）兩點，那么直線l的傾斜角的取值范圍是（ ）A. B.C. D.答案 B4.過點（1，3）作直線l，若經過點（a，0）和（0，b），且aN*，b

23、N*，則可作出的l的條數為（ ）A.1 B.2 C.3 D.4答案B5.經過點P（1，4）的直線在兩坐標軸上的截距都是正的，且截距之和最小，則直線的方程為（ ）A.x+2y-6=0B.2x+y-6=0C.x-2y+7=0D.x-2y-7=0答案B6.若點A（2，-3）是直線a1x+b1y+1=0和a2x+b2y+1=0的公共點，則相異兩點（a1，b1）和（a2，b2）所確定的直線方程是（ ）A.2x-3y+1=0B.3x-2y+1=0C.2x-3y-1=0 D.3x-2y-1=0答案A二、填空題7.（2008·浙江理，11）已知a0,若平面內三點A（1，-a），B（2，a2），C（3，a3）共線，則a= .答案 1+8.已知兩點A（-1，-5），B（3，-2），若直線l的傾斜角是直線AB傾斜角的一半，則l的斜率是 .答案 三、解答題9.已知線段PQ兩端點的坐標分別為（-1，1）、（2，2），若直線l：x+my+m=0與線段PQ有交點，求m的取值范圍. 解 方法一 直線x+my+m=0恒過A（0，-1）點.kAP=-2，kAQ=，則-或-2，-m且m0.又m=0時直線x