1、向 量一、知識結構平面向量表示運算向量的三種表示向量加法與減法實數與向量的積向量的數量積平行四邊形法則向量平行的充要條件三角形法則平面向量的基本定理二、重要知識及典型例題1、向量的相關概念（1）向量：既有方向，又有大小的量叫做向量.用有向線段表示或小寫字母a、b、c表示.（2）向量的模：就是向量的長度(或稱模)，記作.向量不能比較大小，但向量的模可以比較大小.（3）零向量與單位向量：長度為0的向量稱為零向量，用表示.兩個特征：一長度為0；二是方向不定.長度為1的向量稱為單位向量.（4）平行向量（共線向量）：方向相同或相反的非零向量稱為平行向量.規定：零向量與任一向量都平行.（5）相等向量：長度

2、相等且方向相同的向量叫相等向量，若向量與向量相等，記作=.2、向量的運算（1）向量的加法：將兩個向量的求和運算稱為向量的加法 法則適用于“首尾相接”的兩向量之和，法則適用于“共起點”的兩向量之和.推廣：多邊形法則： 交換律： 結合律：重要不等式：兩個非零向量與：|-|+（說明：與同向時取后“=”；與異向時取前“=”）特別地：+=（與互為相反向量）（2）向量的減法：向量加上的相反向量，叫做與的差，即-=+(-) 法則：（同始連終，指向被減）作平移，共起點；兩尾連，指被減。 重要不等式：-+（說明：與同向時取前“=”；與異向時取后“=”）3、實數與向量的積（1）實數與向量的積：實數與向量的積是一個

3、向量，記，它的長度與方向規定如下：=·當0時，的方向與的方向相同；當0時，的方向與的方向相反；當=0時，=,方向是任意的.（2）運算律：設、為實數，那么：(a)=；(+) =+；(+)=+（3）共線定理：向量與非零向量共線是有且只有一個實數，使得=.4、平面向量基本定理如果，是同一平面內的兩個不共線向量，那么對這一平面內的任一向量，有且只有一對實數1 、2使：=1+2 （，叫做一組基底）向量的加法、減法、實數與向量的積的混合運算稱為向量的線性運算，它們的結果仍為向量.5、平面向量的坐標運算 和與差：±=(x1±x2,y1±y2) 如果A(x1，y1)、B

4、(x2,y2)，則= 若=(x,y),則=(x,y) 如果=(x1,y1), =(x2,y2)( )則6、線段的定比分點：點P分有向線段 向量式：=· 坐標式： 坐標公式：(-1) 中點公式：重心：7、平面向量的數量積及運算律 (1).概念 兩平面向量和的夾角：，是兩非零向量，.兩平面向是和的數量積(或內積)：數量·=·規定，零向量與任一向量的數量積均為0.·=0是或，中至少一個為的充要條件幾何意義：向量的模與在的方向上投影cos的乘積.一個向量在另一向量方向上的投影：稱為向量在的方向上的投影（2）性質：設、是兩非零向量，是單位向量，是與的夾角，

5、83;=·=； ·=0 、同向·=· ,反向·=-;特別地 ·=2=2或=. = (為，的夾角)；··（3）.平面向量的數量積的運算律 交換律：·=·； 分配律：(+)· =·+· 數乘向量與數量積的結合律：(·)=()·=·();(R)（4）兩向量的數量積與兩數之間的乘法的區別當時，不能由·=0，推出=，因可能不為，但可能與垂直.不滿足消去律，即·=·=不滿足結合律，即 (·)(·)&

6、#183;， 8、平面向量數量積的坐標表示；向量的模：若=(x,y),則= 兩點間距離公式：= ；夾角：=9、平移（1）平移公式： =+(平移向量公式) (平移的坐標公式)；變換公式（2）題型：（一設二找三代四換）（待定系數法、配湊法、逆推法）10、正弦定理 余弦定理 （1）正弦定理、三角形面積公式（為外接圓半徑）=2R；S=bcsinA=absinC=acsinB變形：；=,=,=. 應用：求角、邊、判斷三角形的形狀（實現三角形中邊角關系轉化）（2）余弦定理在ABC中，有a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2accosB；c2=a2+b2-2abcosC；變形：=；（3）正、

7、余弦定理應用：求角、邊、判斷三角形的形狀（實現三角形中邊角關系轉化）注意：A+B+C=；0A，B，C；sin=sin=；(A+B)=三、習題1、平面向量則這樣的向量有（）A1個 B2個 C多個2個 D不存在2向量=（1，2），向量與共線，且|=4|，則=（ ）A（4，8） B（4，8）或（4，8） C（4，8） D（8，4）或（4，8）3設是平面內任意的非零向量且相互不共線，給出下列命題中真命題是（ ） ； ； 不與垂直； A B C D4設向量（ ）ABCD5給定兩個向量平行，則x的值等于（ ）A1BC2D6若e，e，且，則四邊形ABCD是（ ）A平行四邊形B菱形C等腰梯形D非等腰梯形7已知

8、關于x的方程的兩根之和等于兩根之積的一半，則ABC一定是（ ）A直角三角形B鈍角三角形C等腰三角形D等邊三角形8已知點A（2，1），B（0，2），C（2，1），O（0，0）. 給出下面四個結論：直線OC與直線BA平行； ； ； ，其中正確結論的個數是（ ）A1個B2個C3個D4個9. 已知| a | = | b | = 2, a·b = -2, 且(a + b)(a + b), 則實數的值為（ ） (A) 1 (B) 1 (C) 2 (D) 210已知向量a=（2，3），b=(1,2)，且(a+b)(a-b)，則等于( )A B.- C.-3 D.311給定兩個向量，則x的等于（ ）

9、A3BC3D12已知空間向量（1，0），（2，k），則k的值為（ ）ABCD13設向量，且，則實數的值為（ ）A B C D14在中，若為鈍角，則的值（ ）A大于且小于B等于 C大于D不能確定15已知向量 a = (2,3) ,b= (-1,2), ma+nb與a-2b共線，則等于 ( ). B.2 C. - D.-216設O為坐標原點，若點P到x軸、y軸的距離之和既不大于2，又不小于1，則的取值范圍是 .17已知非零向量、滿足，則與夾角的大小為 18 向量a、b滿足（ab）·（2a+b）=4，且|a|=2，|b|=4，則a與b夾角的余弦值等于_.19設為非零向量，下列命題中：|=|

10、有相等的模； |=|+|的方向相同；|+|>|的夾角為銳角； |=|其中真命題的序號是 （將所有真命題的序號都填上）。20若點P分有向線段的比為，則點P1分有向線段所成的比為 1 .21已知，且存在實數k和t，使得，且，則的最小值是 .22已知向量向量與向量夾角為，且. （1）求向量； （2）若向量與向量=（1，0）的夾角為，其中A，C為ABC的內角，且A，B，C依次成等差數列，試求|+|的取值范圍.23設、是兩個不共線的非零向量（）（1）記那么當實數t為何值時，A、B、C三點共線？（2）若，那么實數x為何值時的值最小？解：（1）A、B、C三點共線知存在實數即，則（2）當24（1）已知|=4，|=3，（23）·（2+）=61，求與的夾角； （2）設=（2，5），=（3，1），=（6，3），在上是否存在點M，使 ，若存在，求出點M的坐標，若不存在，請說明理由.解：（1）（23）·（2+）=61， 又