1、第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎第二節第二節 拉氏變換拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎設函數f(t)滿足：1. f(t)實函數； 2. 當t0時 ， f(t)=0； 3. 當t0時, f(t)在每個區間上是分段連續的 3. f(t)的積分 在s的某一域內收斂，s為復變數0)(dtetfst一、拉氏變換的定義一、拉氏變換的定義則函數則函數f(t)f(t)的拉普拉氏變換存在，并定義為：的拉普拉氏變換存在，并定義為：式中：s=+j（，均為正實數）；F(s)F(s)稱為函數f(t)f(t)的拉普拉氏變換拉普拉氏變換或象函數象函數; ;f(t)f(t)稱為F(s)F(

2、s)的原函數原函數；L L為拉氏變換的符號。（29）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎拉氏反變換的定義拉氏反變換的定義其中L1為拉氏反變換的符號。ste稱為稱為收斂因子收斂因子。 積分的結果不再是積分的結果不再是 t 的函數，而是復變量的函數，而是復變量 s的函數。的函數。所以拉氏變換是把一個時間域的函數所以拉氏變換是把一個時間域的函數f(t)變換到變換到 s 域內的域內的復變函數復變函數F(s)。 jcjcstdsesFjsFL)( 21)(1 用符號用符號L L-1 -1 表示對方括號里的復變函數作拉氏表示對方括號里的復變函數作拉氏反變換反變換。（210）（211）第二章 拉普

3、拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎階躍函數的拉氏變換階躍函數的拉氏變換二、二、 典型函數的拉氏變換典型函數的拉氏變換)()1()( 1 )(0stdsetLSFst（212）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎斜坡函數單位速度函數的拉氏變換單位速度函數的拉氏變換（213）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎冪函數冪函數 拉氏變換（法拉氏變換（法1）nt10( )xxe dx根據函數根據函數則則(1)( )!nnnn 令令ust11001! nnstnunnnL tt edtu e duss（214）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎冪函數的拉氏變換（法冪函數的拉

4、氏變換（法2）（215）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎拋物線函數單位加速度函數拉氏變換單位加速度函數拉氏變換（216）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎洛必達法則洛必達法則單位脈沖函數拉氏變換單位脈沖函數拉氏變換（217）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎指數函數的拉氏變換指數函數的拉氏變換（218）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-1：求解函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎（歐拉公式）（歐拉公式）三角函數的拉氏變換三角函數的拉氏變換（219）（220）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-2：求

5、解函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎高等函數初等函數指數函數三角函數單位脈沖函數單位階躍函數單位速度函數單位加速度函數冪函數典型函數的拉氏變換小結典型函數的拉氏變換小結1! nnnL ts第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-3：求解函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎三、拉氏變換的主要運算定理第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎LK(1-e-at) =LK -LKe-atsKasK)(assKa結論：結論：由此可見，根據拉氏變換的線性性質，求函由此可見，根據拉氏變換的線性性

6、質，求函數乘以常數的象函數以及求幾個函數相加減的結果數乘以常數的象函數以及求幾個函數相加減的結果的象函數時，可以先求各函數的象函數再進行計算。的象函數時，可以先求各函數的象函數再進行計算。例例2-4：求以下函數的拉氏變換：求以下函數的拉氏變換：f(t)=K(1-e-at)第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎原函數的高階導數原函數的高階導數 像函數中像函數中s s的高次代數式的高次代數式（221）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎解解：（：（1）)cos(t22sin()Lts22221sin()cos()10dtLtLdtss

7、ss1dttd)sin(例例2-5：利用導數性質求以下函數的象函數：利用導數性質求以下函數的象函數：（1）f(t)=cos(t)（2）f(t)=(t)第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎（2）由于由于 (t)=d(t)/dt/ )()(dttdLtLs1=1f(t)=(t)= s- 0第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎（222）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例例2-6：利用積分性質求函數：利用積分性質求函數f(t)=t的象函數的象函數解解：f(t)=ttd0)(Lf(t)=s1s121s第二章 拉普拉斯變換的數

8、學方法機械工程控制基礎原函數乘以指數函數原函數乘以指數函數e e-at-at像函數像函數F(S)F(S)在復數域中作位移在復數域中作位移a a（223）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-7：求 的拉氏變換解：直接用復位移定理得：sintet22sin()tL ets 求 的拉氏變換？costet第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎原函數平移原函數平移 像函數乘以像函數乘以 e e-s-s 0 ()()stL f taf ta edta令 t-()00 ()( )()( )( )saassasL f tafedaefedeF s（224）第二章 拉普拉斯變換的數學方法

9、機械工程控制基礎Otf(t)T例例2-8：求：求f(t)的象函數的象函數解：解：f(t)=A(t)A-A(t-T)Lf(t)= A/s- A/s e-sTOtf (t)Otf (t)f (t)+ f (t)第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-9：求圖所示三角波的拉氏變換從圖可知，三角波左邊函數斜率為 ，右邊函數斜率為 ，則分段函數可表示為：124kT224kT 1211122122111111112222( )( )( )( )( )( )( )( )()()()224444()()()22f tf tf tftftftftTTftftftftTTTttttTTTTT 第二章

10、拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎（225）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎（226）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎（227）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎證：令()()tLfaFasata則000 ( )( )( )()( )stasasttL ffedtfed aaaafed再令as則00 ( )( )( )( )()astL fafedafedaaFaF as尺度變換定理尺度變換定理（228）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎復數域積分定理復數域積分定理證：( )()sftLFs d st0000( )( )( )1( )(

11、)( )stssstsstsstF s dsf t edtdsf t dtedsf t dtetf tf tedtLtt （229）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-10：求如下函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎證：()( )d FsLtftd s 000( ) ( )( )( ) ( )stststdF sdd f t ef t edtdtdsdsdstf t edtL tf t 復數域微分定理復數域微分定理( )()( )nnnd F sLtf tds推論：（230）第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-11：求如下函數的拉氏變換第

12、二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎例2-12：已知因果函數f(t)的象函數22332213(32)39( )13ssssfteess2( )1sF ss求 的象函數(32)teft解：由于2( )1sf ts利用實位移定理由尺度變換定理22(2)1ssf tes第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎由復位移定理2(1)321(32)(1)9stseftes第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎練 習練習2-1：求如下函數的拉氏變換練習2-2：求如下函數的拉氏變換練習2-3：求如下函數的拉氏變換練習2-4：求如下函數的拉氏變換練習2-5：求如下函數的拉氏變換練習2-6：求如下函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎練習2-7：求如下函數的拉氏變換練習2-8：求如下函數的拉氏變換練習2-9：求如下函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎練習2-1：求如下函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎練習2-2：求如下函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎練習2-3：求如下函數的拉氏變換第二章 拉普拉斯變換的數學方法機械工程控制基礎練習2-4：求如下函