1、精選優質文檔-傾情為你奉上摘要本文研究了體育館的建設問題，通過圖像分析以及先決任務的限定條件，建立了二個模型，分別給出了三個問題的解決方案，求解出不同問題下的最優方案。對于問題一，我們首先對不同任務的先決條件進行查詢，然后判斷不同任務的先后順序。根據各任務之間的關系繪制出關系圖。對于問題二，我們首先根據問題一的關系圖和完成不同任務所需要的時間，建立施工順序的約束條件。然后，以第18項工程的完工時刻作為目標函數。利用LINGO求出完成此項工程所需最少時間為64星期。為了使縮短工期后建筑公司多獲得利潤，我們根據不同任務的開始時刻與先決任務耗時的關系，以及政府獎勵和公司額外支出建立新的約束關系。從建

2、筑公司的角度，建立多獲得利潤最大的線性規劃模型，利用LINGO軟件，求出公司多獲得最大利潤為8.7萬元。本文最后對建立的預測模型進行了客觀的評價，分析了它的優缺點，進而對模型的改進和推廣提供了一些意見。關鍵字： 先決任務 線性規劃 LINGO 專心-專注-專業一、 問題重述某市政府決定修建一個小型體育館。在下表中列出了工程中的主要任務。耗時均以星期計。有些任務只有在某些其他任務完成后才能進行。首先請建立數學模型回答下面問題：（1）繪制各任務之間的關系圖；（2）最早能在什么時候完成此工程。市政府希望能夠提前完工（比問題2的答案提前）。為此，市政府決定工期每縮短一周，則向此公司支付3萬元獎勵。為了

3、縮短工期，建筑公司需要雇傭更多的工人，并租借更多的設備。在下列表中列出了每項任務能夠縮短的最長時間（最大縮短時間列），以及相關的每周額外支出。從公司獲利最大的角度，對施工進行安排。表格： 體育館施工數據任務描述耗時先決任務最大縮短時間每周額外支出單位（萬）1工地布置2沒有02場地平整161333打地基9212.64通路及其他道路網絡8221.25底層施工10321.76主場地施工64,511.57劃分更衣室2410.88看臺電氣布置2609頂部施工94,624.210照明系統5412.111安裝階梯看臺3611.812封頂29013更衣室17014建造售票處7222.215第二通路44,142

4、1.216信號設施38,11,141617草坪與附屬運動設施91231.618交付使用1170二、 問題分析在問題一中，我們根據表格中提供的先解決任務，判斷出18種建設任務的先后順序和不同任務間的聯系，繪制出不同建設任務的關系圖。在問題二中，我們結合問題一中建設任務的關系圖，列出不同任務的開始時刻與先決任務耗時之間的約束關系。通過以上約束關系，我們可以建立完成此工程的時間最小的線性規劃模型。已知工程每縮短一周公司將獲得政府3萬元的獎勵，但公司每周需額外支出部分金額。為了滿足政府提前完工的需要，以及建筑公司獲利最大，列出不同任務的開始時刻與先決任務耗時的關系，以及政府獎勵和公司額外支出建立新的約

5、束關系。從建筑公司的角度出發，我們根據以上約束關系，建立利潤最大的線性規劃模型。三、 問題假設1. 假設建筑公司施工速度不受天氣影響。2. 假設建筑公司人數在所需范圍內可以隨意增減。3. 假設各個任務在滿足先決條件下可以同時施工。4. 假設同時施工的各項任務所需施工設備互不影響。5. 先決任務完成后下一個任務可直接開始。四、 符號說明:表示第i個任務開始時刻:表示第i個任務實際縮短時間:表示完成第i個任務的耗時:表示縮短任務時間后第i個任務每周的額外支出:表示第i個任務最大縮短時間:表示縮短工期后建筑公司多獲得的最大利潤:表示最快完成此工程的總時間(=1，2，18)五、 模型建立與求解5.1問

6、題一5.1.1繪制關系圖分析體育館施工數據表格，我們得到不同任務之間的關系，以及施工的先后順序。根據不同任務的先決條件，得到以下關系圖：工地布置場地平整通路及其他道路網絡建造售票處第二通路劃分更衣室更衣室打地基底層施工主場地施工看臺電氣布置安裝階梯看臺建造售票處信號設施頂部施工封頂草坪與附屬運動設施交付使用照明系統5.2問題二5.2.1最快完工時間（i=1,18）表示第i項任務的施工時刻，表示第i項任務的耗時；施工的任務為i，其先決任務為j和k，于是有約束：+問題希望盡快完工，即最后一項工程的完工時刻最小，所以以第18項工程的完工時刻作為目標函數，于是建立體育館問題（1）的線性規劃模型：=+利

7、用LINGO軟件（詳見附錄一）解得：=64各項任務的開始及結束時間如表二所示：表二 周次任務任務開始周次任務完成周次工地布置02場地平整218打地基1827通路及其他道路網絡1826底層施工2737主場地施工3743劃分更衣室2628看臺電氣布置4345頂部施工4352照明系統2631安裝階梯看臺4346封頂5254更衣室2829建造售票處1825第二通路2630信號設施4649草坪與附屬運動設施5463交付使用6364我們根據問題一中的關系圖，對完成工程的最少時間64周進行驗證。先決任務的關系圖可以將整個流程分為幾個小流程，完成每個流程即可求的最少時間，經計算我們可以得到最少時間為64周。結

8、果比較合理。根據LINGO軟件求的每個任務開始的施工時間，并制出上述表格。5.2.2公司多獲得最大利潤，(i=1,18)分別表示第i項任務的施工周次和實際縮放的周次，分別表示第i想任務縮短時間的、時每周的額外開支，耗時，最大縮短時間，其先決任務為j和k，則此項任務的實際耗時為-。約束條件為：+-+-實際縮短的時間不可能超過最大縮短時間，有： (i=1,18)對于任務二，由于縮短時間后每周額外支出3萬元和政府獎勵相同，為了縮短時間我們可以令=3周。已知未對這18項任務縮短時，第18項任務開始的時刻為第63周。（第十八項任務不能做縮短，可以不考慮）縮短后開始第十八項任務的時刻為，則完成前十七項任務

9、的實際縮短為（63-），縮短后帶來的利益為：=3(63)-數學模型如下:Max =3(63)-利用LINGO軟件（詳見附錄二）解得：=8.7各任務縮短時間如表三所示：表三縮短時間031021000000000030由LINGO求的的建筑公司最大多獲得實際利潤為8.7萬元，因為工期的總時間縮短才會得到政府的獎勵，所以公司是否獲得獎勵，取決于用時最長的那個小流程總施工時間是否縮短。其它的任務不能影響總時間，如果對其縮短反而會增加建筑公司的額外支出，影響公司利潤。經過任務的縮短后總工期變為：64-3-1-2-1-3=54周，提前10周完成任務。六、 模型的評價優點:1. 模型結構簡單，多用圖表表示，

10、簡潔明了的給出了工程安排形式。2. 模型假設充分合理，貼近于實際，具有較強的普遍性和推廣性。缺點:1. 在建立求解過程中沒有把天氣等自然因素考慮。2. 建筑公司的人員數量以及設備數量沒有做任何限定，求解過于理想化。3. 文章只對已知數據進行處理給出解決方法，不具有很強的推廣性。如果考慮到以上三個因素，能夠使模型更具有說服力。七、 參考文獻1姜啟源，謝金星，葉俊.數學模型（第三版）M.北京：高等教育出版社，20032袁新生，邵大宏，郁時煉.LINGO和Excel在數學建模中的應用M.北京：科學出版社，20083司守奎，孫璽菁.數學建模運算與應用M.北京：國防工業出版社，2011附錄附錄一：mod

11、el:min=x18+1；x1=0;x1+2<=x2;x2+16<=x3;x2+16<=x4;x3+9<=x5;x4+8<=x6;x5+10<=x6;x4+8<=x7;x6+6<=x8;x6+6<=x9;x4+8<=x9;x4+8<=x10;x6+6<=x11;x9+9<=x12;x7+2=x13;x2+16<=x14;x14+7<=x15;x4+8<=x15;x8+2<=x16;x11+3<=x16;x14+7<=x16;x12+2<=x17;x17+9<=x18;

12、結果： Objective value: 64.00000 Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X18 63.00000 0. X1 0. 0. X2 2. 0. X3 18.00000 0. X4 18.00000 0. X5 27.00000 0. X6 37.00000 0. X7 26.00000 0. X8 43.00000 0. X9 43.00000 0. X10 26.00000 0. X11 43.00000 0. X12 52.00000 0. X13 28.00000 0. X14 18.00000

13、 0. X15 26.00000 0. X16 46.00000 0. X17 54.00000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 64.00000 -1. 2 0. -1. 3 0. 1. 4 0. 1. 5 0. 0. 6 0. 1. 7 11.00000 0. 8 0. 1. 9 0. 0. 10 0. 0. 11 0. 1. 12 17.00000 0. 13 0. 0. 14 0. 0. 15 0. 1. 16 0. 0. 17 0. 0. 18 1. 0. 19 0. 0. 20 1. 0. 21 0. 0. 22 21.00000 0. 2

14、3 0. 1. 24 0. 1.附錄二：model:Max=189-3*x18-(3*y2+2.6*y3+1.2*y4+1.7*y5+1.5*y6+0.8*y7+4.2*y9+2.1*y10+1.8*y11+2.2*y14+1.2*y15+6*y16+1.6*y17);y1<=0;y2=3;y3<=1;y4<=2;y5<=2;y6<=1;y7<=1;y8<=0;y9<=2;y10<=1;y11<=1;y12<=0;y13<=0;y14<=2;y15<=2;y16<=1;y17<=3;y18<=

15、0;x1+2-y1<=x2;x2+16-y2<=x3;x2+16-y2<=x4;x3+9-y3<=x5;x4+8-y4<=x6;x5+10-y5<=x6;x4+8-y4<=x7;x6+6-y6<=x8;x6+6-y6<=x9;x4+8-y4<=x9;x4+8-y4<=x10;x6+6-y6<=x11;x9+9-y9<=x12;x7+2-y7<=x13;x2+16-y2<=x14;x14+7-y14<=x15;x4+8-y4<=x15;x8+2-y8<=x16;x11+3-y11<=

16、x16;x14+7-y14<=x16;x12+2-y12<=x17;x17+9-y17<=x18;結果： Global optimal solution found. Objective value: 8. Total solver iterations: 0 Variable Value Reduced Cost X18 53.00000 0. Y2 3. 0. Y3 1. 0. Y4 0. 1. Y5 2. 0. Y6 1. 0. Y7 0. 0. Y9 0. 1. Y10 0. 2. Y11 0. 1. Y14 0. 2. Y15 0. 1. Y16 0. 6. Y17

17、 3. 0. Y1 0. 0. Y8 0. 0. Y12 0. 0. Y13 0. 0. Y18 0. 0. X1 0. 3. X2 2. 0. X3 15.00000 0. X4 15.00000 0. X5 23.00000 0. X6 31.00000 0. X7 23.00000 0. X8 37.00000 0. X9 36.00000 0. X10 23.00000 0. X11 36.00000 0. X12 45.00000 0. X13 25.00000 0. X14 15.00000 0. X15 23.00000 0. X16 39.00000 0. X17 47.00000 0. Row Slack or Surplus Dual Price 1 8. 1. 2 0. 3. 3 0. 0. 4 0. 0. 5 2. 0. 6 0. 1. 7 0. 1. 8 1. 0. 9 0. 0. 10 2. 0. 11 1. 0. 12 1.