1、 第一章 行列式1.利用對角線法則計算下列三階行列式：（1）（2）2.按自然數從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數：（1）2 4 1 3；（2）1 3 2 4 ；（3）1 3 2.解（1）逆序數為3. （2）逆序數為.（3）逆序數為.3.寫出四階行列式中含有因子的項.解 由定義知，四階行列式的一般項為，其中為的逆序數由于已固定，只能形如，即1324或1342.對應的分別為或和為所求.4.計算下列各行列式：解(1) =0(2)=(3) = = 5、證明：(1) (2) (3) = (4) 用數學歸納法證明假設對于階行列式命題成立，即 所以，對于階行列式命題成立.6、計算下列各行列式（為階行列

2、式）： (1), 其中對角線上元素都是a, 未寫出的元素都是0; 解=an-an-2=an-2(a2-1). (2); 解 將第一行乘(-1)分別加到其余各行, 得 , 再將各列都加到第一列上, 得 =x+(n-1)a(x-a)n-1. (3) (4) 由此得遞推公式： 即 而 得 (5)=7.用克萊姆法則解下列方程組：解 9.有非零解？解 ，齊次線性方程組有非零解，則即 , 得 不難驗證，當該齊次線性方程組確有非零解.第二章 矩陣及其運算1已知兩個線性變換求從變量到變量的線性變換。解 由已知 所以有 2設求及.解 .3計算； 解：. 解：。4設,求.解 ; 利用數學歸納法證明: 當時,顯然成

3、立,假設時成立,則時由數學歸納法原理知:.5設求.解 首先觀察, 由此推測 (*)用數學歸納法證明: 當時,顯然成立. 假設時成立，則時，由數學歸納法原理知: (*)成立.6設都是階對稱陣,證明是對稱陣的充要條件是.證明：由已知： 充分性：即是對稱矩陣.必要性：.7設, ，問：(1)嗎?(2)嗎?(3)嗎?解 (1), . 則 (2) 但故(3) 而 故 8舉反例說明下列命題是錯誤的:（）若,則;（）若,則或;（）若,且, 則.解 (1)取, ,但(2)取, ,但且(3)取, , . 且 但.9已知線性變換求從變量到變量的線性變換。解：所以即.10求下列方陣的逆陣： 解：, . . 解： 故存

4、在從而 .（3） 解： 由對角矩陣的性質知 .11解矩陣方程： 解： 解：.12、利用逆陣解線性方程組： .解：解、(1)方程組可表示為 故 從而有 .13、設（為正整數）,證明：.證明：一方面， 另一方面，由有 故兩端同時右乘就有.14、設, 求.解由可得故.15、設, 其中, 求.解故所以 而 故 .16.設矩陣可逆，證明其伴隨陣也可逆，且。證 因=，由的可逆性及，可知可逆，且；另一方面，由伴隨陣的性質，有=.用左乘此式兩邊得=,比較上面兩個式子，即知結論成立。17、設階方陣的伴隨陣為,證明: 若,則； .證明 (1)用反證法證明假設則有.由此得.這與矛盾，故當時, 有.(2)由于取行列式

5、得到: 若 則若由(1)知此時命題也成立故有.18.設，求。解 由于所給矩陣方程中含有及其伴隨矩陣，因此仍從公式=著手。為此，用左乘所給方程兩邊，得，又，=2AB-8E=8E=4E.注意到=,是可逆矩陣，且=,于是4=.19、設,求 及及.解 ， 令 , . 則. 故. . . .第三章 矩陣的初等變換與線性方程組1. 把下列矩陣化為行最簡形： 解(下一步: r2-3r1, r3-2r1, r4-3r1. )(下一步: r2¸(-4), r3¸(-3) , r4¸(-5). )(下一步: r1-3r2, r3-r2, r4-r2. ) . 2. 利用矩陣的初等變換

6、，求下列方陣的逆： 解, 故逆矩陣為. (2) 解 故逆矩陣為.3. 設, , 求X使AX=B. 解 因為 , 所以 .4. 求作一個秩是4的方陣，使它的兩個行向量.解 用已知向量容易構成一個有4個非零行的5階下三角矩陣: ,此矩陣的秩為4, 其第2行和第3行是已知向量.5. 求下列矩陣的秩,并求一個最高階非零子式. 解 (下一步: r1«r2. )(下一步: r2-3r1, r3-r1. )(下一步: r3-r2. ), 矩陣的, 是一個最高階非零子式. 解 (下一步: r1-r2, r2-2r1, r3-7r1. )(下一步: r3-3r2. ), 矩陣的秩是3, 是一個最高階非

7、零子式.6. 解下列齊次線性方程組： 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數). 解 對系數矩陣A進行初等行變換, 有A=, 于是 , 故方程組的解為 (k1, k2為任意常數).7. 寫出一個以為通解的齊次線性方程組. 解 根據已知, 可得 , 與此等價地可以寫成, 或 , 或 , 這就是一個滿足題目要求的齊次線性方程組.非齊次線性方程組.8 解下列非齊次線性方程組： 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=, 于是,即(k1, k2為任意常數). 解 對增廣矩陣B進行初等行變換, 有 B=, 于是 , 即 (k1, k2為任意常數)

8、9. 當l取何值時有解？并求出它的解. 解. 要使方程組有解, 必須(1-l)(l+2)=0, 即l=1, l=-2. 當l=1時, , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數). 當l=-2時, , 方程組解為 或, 即 (k為任意常數).10. 設.問l為何值時, 此方程組有唯一解、無解或有無窮多解? 并在有無窮多解時求解. 解B=要使方程組有唯一解, 必須R(A)=R(B)=3, 即必須(1-l)(10-l)¹0,所以當l¹1且l¹10時, 方程組有唯一解.要使方程組無解, 必須R(A)<R(B), 即必須(1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)

9、¹0,所以當l=10時, 方程組無解. 要使方程組有無窮多解, 必須R(A)=R(B)<3, 即必須 (1-l)(10-l)=0且(1-l)(4-l)=0, 所以當l=1時, 方程組有無窮多解.此時，增廣矩陣為B, 方程組的解為 ,或 (k1, k2為任意常數).線性代數期中復習答案一、選擇題（1）設有齊次線性方程組Ax=0和Bx=0, 其中A,B均為矩陣，現有4個命題： 若Ax=0的解均是Bx=0的解，則秩(A)秩(B)； 若秩(A)秩(B)，則Ax=0的解均是Bx=0的解； 若Ax=0與Bx=0同解，則秩(A)=秩(B)； 若秩(A)=秩(B)， 則Ax=0與Bx=0同解.

10、以上命題中正確的是(A) . (B) .(C) . (D) . B 【分析】 本題也可找反例用排除法進行分析，但 兩個命題的反例比較復雜一些，關鍵是抓住 與 ，迅速排除不正確的選項.【詳解】 若Ax=0與Bx=0同解，則n-秩(A)=n - 秩(B), 即秩(A)=秩(B)，命題成立，可排除(A),(C)；但反過來，若秩(A)=秩(B)， 則不能推出Ax=0與Bx=0同解，如，則秩(A)=秩(B)=1，但Ax=0與Bx=0不同解，可見命題不成立，排除(D),故正確選項為(B). (2) 設階矩陣的伴隨矩陣 若是非齊次線性方程組 的互不相等的解，則對應的齊次線性方程組的基礎解系(A) 不存在.

11、(B) 僅含一個非零解向量.(C) 含有兩個線性無關的解向量. (D) 含有三個線性無關的解向量. B 【分析】要確定基礎解系含向量的個數, 實際上只要確定未知數的個數和系數矩陣的秩.【詳解】 因為基礎解系含向量的個數=, 而且根據已知條件 于是等于或. 又有互不相等的解, 即解不惟一, 故. 從而基礎解系僅含一個解向量, 即選(B).（3）設階矩陣與等價, 則必須(A) 當時, . (B) 當時, .(C) 當時, . (D) 當時, . D 【分析】 利用矩陣與等價的充要條件: 立即可得.【詳解】因為當時, , 又與等價, 故, 即, 從而選 (D). 二、填空題（1） 設三階方陣A,B滿

12、足，其中E為三階單位矩陣，若，則 .【分析】 先化簡分解出矩陣B，再取行列式即可.【詳解】 由知， ，即 ，易知矩陣A+E可逆，于是有 再兩邊取行列式，得 ，因為 , 所以 .（2）設矩陣，矩陣B滿足，其中為A的伴隨矩陣，E是單位矩陣，則 .【分析】 可先用公式進行化簡【詳解】 已知等式兩邊同時右乘A，得， 而，于是有， 即 ，再兩邊取行列式，有 ，而 ，故所求行列式為（3） 設，其中為三階可逆矩陣,則【分析】 將的冪次轉化為的冪次, 并注意到為對角矩陣即得答案.【詳解】因為, .故, .（4）已知矩陣，且的秩，則_-3_（5）已知線性方程組有解，則_-1_三. 證明R(A)=1的充分必要條件

13、是存在非零列向量a及非零行向量bT, 使A=abT. 證明 必要性. 由R(A)=1知A的標準形為 , 即存在可逆矩陣P和Q, 使 , 或. 令, bT=(1, 0, ×××, 0)Q-1, 則a是非零列向量, bT是非零行向量, 且A=abT. 充分性. 因為a與bT是都是非零向量, 所以A是非零矩陣, 從而R(A)³1. 因為 1£R(A)=R(abT)£minR(a), R(bT)=min1, 1=1, 所以R(A)=1. 四、設階矩陣和滿足條件： 證明：是可逆矩陣，其中是階單位 已知矩陣，求矩陣 解： 由等式，得，即因此矩陣可

14、逆，而且 由知，即 五、 當、為何值時，線性方程組有唯一解，無解，有無窮多組解，并求出有無窮多組解時的通解 解：將方程組的增廣矩陣用初等行變換化為階梯矩陣： 所以， 當時，此時線性方程組有唯一解 當，時，此時線性方程組無解 當，時，此時線性方程組有無窮多組解 此時，原線性方程組化為因此，原線性方程組的通解為或者寫為第四章向量組的線性相關性1設, 求及.解 2. 設其中, ,求.解 由整理得3設,證明向量組線性相關.證明 設有使得則(1) 若線性相關,則存在不全為零的數,; ; ; ;由不全為零,知不全為零,即線性相關.(2) 若線性無關, 則 由 知此齊次方程存在非零解. 則線性相關.綜合得證

15、.4. 設,且向量組線性無關,證明向量組線性無關.證明 設則因向量組線性無關,故 因為 故方程組只有零解.則. 所以線性無關5. 設向量組線性無關，向量可由向量組線性表示，而向量不能由向量組線性表示.證明:個向量必線性無關.證明6. 當為何值時，向量組，線性相關.解 由所以當時，所以.7. CCBC8. (1).線性相關；(2).；(3).線性相關；(4).線性無關。9. 求下列向量組的秩，并求一個最大無關組： 解線性相關.由秩為2,一組最大線性無關組為.10. 利用初等變換求矩陣的列向量組的一個最大無關組，并把不屬于最大無關組的列向量用最大無關組線性表示.解 所以第1、2、3列構成一個最大無

16、關組，。11. 已知向量組，與向量組，具有相同的秩，且可由向量組線性表示，求的值.解 因為線性無關，而，所以線性相關，且向量組的秩為2，所以向量組的秩也為2.由于可由線性表示，故可由線性表示，即線性相關.于是有 ，解得，另外，解得.故 ，.12. DC13. 由 所生成的向量空間記作 ，由所生成的向量空間記作 ，試證: .證明 設, 任取中一向量,可寫成,要證,從而得由得上式中,把看成已知數,把看成未知數 有唯一解同理可證: () 故14. 驗證為的一個基，并把，用這個基表示.解 由于即矩陣的秩為3. 故線性無關，則為的一個基.設，則 故設，則 故線性表示為 15. 求下面齊次線性方程組的基礎

17、解系與通解. 解(1)所以原方程組等價于 取得 ; 取得.因此基礎解系為，通解為。16. 設，求一個矩陣，使，且.解由于,所以可設. 則由 可得, , 解此非齊次線性方程組可得唯一解，故所求矩陣17. 設四元非齊次線性方程組的系數矩陣的秩為3，已知是它的三個解向量，且，求該方程組的通解。解 由于矩陣的秩為3，一維故其對應的齊次線性方程組的基礎解系含有一個向量，且由于均為方程組的解，由非齊次線性方程組解的結構性質得為其基礎解系向量，故此方程組的通解：，18求下列非齊次方程組的通解. 解:通解為19. DBCAD第五章 相似矩陣及二次型1. 試用施密特法把向量組正交化.解：根據施密特正交化方法:令

18、，, ，故正交化后得 2. 判斷下列矩陣是不是正交陣，并說明理由:(1) (2)解： (1)第一個行向量非單位向量, 故不是正交陣(2) 該方陣每一個行向量均是單位向量，且兩兩正交，故為正交陣 3. 設為n維列向量, , 令, 求證: H是對稱的正交陣.證明 因為 HT=(E-2xxT)T=E-2(xxT)T=E-2(xxT)T =E-2(xT)TxT=E-2xxT, 所以H是對稱矩陣. 因為 HTH=HH=(E-2xxT)(E-2xxT) =E-2xxT-2xxT+(2xxT)(2xxT) =E-4xxT+4x(xTx)xT =E-4xxT+4xxT =E, 所以H是正交矩陣.4. 設與都是

19、階正交矩陣, 證明：（1）也是正交陣；（2）也是正交陣.證明（1）因為是階正交陣，故， 所以 故也是正交陣正交. 正交.（2） 因為是階正交陣，故，故也是正交陣5. 求下列矩陣的特征值和特征向量:(1) (2).并問它們的特征向量是否兩兩正交?解：(1) . 故的特征值為當時,解方程,由 , 得基礎解系所以是對應于的全部特征值向量當時,解方程,由, 得基礎解系所以是對應于的全部特征向量,故不正交(2).故的特征值為當時，解方程，由, 得基礎解系故是對應于的全部特征值向量.當時,解方程，由, 得基礎解系故是對應于的全部特征值向量當時，解方程，由 , 得基礎解系故是對應于的全部特征值向量， ， 所

20、以兩兩正交6. 設為階矩陣, 證明與的特征值相同. 證明: 因為|AT-lE|=|(A-lE)T|=|A-lE|T=|A-lE|,所以AT與A的特征多項式相同, 從而AT與A的特征值相同. 7. 設, 證明的特征值只能取1或2. 證明: 設l是A的任意一個特征值, x是A的對應于l的特征向量, 則 (A2-3A+2E)x=l2x-3lx+2x=(l2-3l+2)x=0. 因為x¹0, 所以l2-3l+2=0, 即l是方程l2-3l+2=0的根, 也就是說l=1或l=2.8.設是階矩陣的特征值, 證明也是階矩陣的特征值. 證明: 設x是AB的對應于l¹0的特征向量, 則有 (

21、AB)x=lx, 于是 B(AB)x=B(lx), 或 BA(B x)=l(Bx), 從而l是BA的特征值, 且Bx是BA的對應于l的特征向量. 9. 已知3階矩陣的特征值為1, 2, 3, 求. 解: 令j(l)=l3-5l2+7l, 則j(1)=3, j(2)=2, j(3)=3是j(A)的特征值, 故 |A3-5A2+7A|=|j(A)|=j(1)×j(2)×j(3)=3´2´3=18. 10. 設方陣與相似, 求x , y.解 方陣與相似，則與的特征多項式相同，即 11. 設A與B都是n階方陣,且,證明AB與BA相似.證明: 則可逆 則與相似12

22、. 設矩陣可相似對角化, 求.解 由,得A的特征值為l1=6, l2=l3=1. 因為A可相似對角化, 所以對于l2=l3=1, 齊次線性方程組(A-E)x=0有兩個線性無關的解, 因此R(A-E)=1. 由知當x=3時R(A-E)=1, 即x=3為所求. 13. 設3階方陣A的特征值為;對應的特征向量依次為求A.解：因為，又，所以，.14. 已知是矩陣的一個特征向量， 試求參數及特征向量所對應的特征值.解： 設l是特征向量p所對應的特征值, 則 (A-lE)p=0, 即, 解之得l=-1, a=-3, b=0. 15. 設3階實對稱陣A的特征值為6,3,3, 與特征值6對應的特征向量為，求A

23、.解： 設. 由， 知 3是的二重特征值,根據實對稱矩陣的性質定理知的秩為1，故利用 可推出 秩為1.則存在實的使得成立由解得得 16. 試求一個正交的相似變換矩陣, 將下列對稱陣化為對角陣:(1); 解：故得特征值為當時，由. 解得 . 單位特征向量可取:當時,由. 解得. 單位特征向量可取: 當時,由.解得 單位特征向量可取: , 得正交陣. . (2) 解：，故得特征值為當時，由. 解得 此二個向量正交,單位化后,得兩個單位正交的特征向量; ， 單位化得 當時,由. 解得. 單位化得.得正交陣. 17. 設, 求解 由 , 得A的特征值為l1=1, l2=5, l3=-5. 對于l1=1

24、, 解方程(A-E)x=0, 得特征向量p1=(1, 0, 0)T. 對于l1=5, 解方程(A-5E)x=0, 得特征向量p2=(2, 1, 2)T. 對于l1=-5, 解方程(A+5E)x=0, 得特征向量p3=(1, -2, 1)T. 令P=(p1, p2, p3), 則 P-1AP=diag(1, 5, -5)=L, A=PLP-1, A100=PL100P-1. 因為 L100=diag(1, 5100, 5100), , 所以 . 18. 用矩陣記號表示下列二次型:(1);解： (2).解：19. 求一個正交矩陣化下列二次型成標準形:(1) ;解：二次型的矩陣為, 故的特征值為當時

25、, 解方程，由. 得基礎解系 . 取 當時，解方程，由，得基礎解系 . 取當時，解方程，由 得基礎解系 . 取 ，于是正交變換為. 且有 (2) .解：二次型矩陣為 ，故的特征值為當時，可得單位特征向量，當時，可得單位特征向量，當時，可得單位特征向量，于是正交變換為 且有20. 證明:二次型在時的最大值為方陣A的最大特征值.證明 為實對稱矩陣，則有一正交矩陣，使得成立其中為的特征值，不妨設最大，為正交矩陣，則且，故則 其中當時，即即 故得證21.用配方法化下列二次形成規范形, 并寫出所用變換的矩陣：(1)；解 f(x1, x2, x3)=x12+2x32+2x1x3+2x2x3 =(x1+x3)2+x32+2x2x3; =(x1+x3)2-x22+(x2+x3)2. 令 , 即, 二次型化為規范形f=y12-y22+y32,所用的變換矩陣為 (2).解 f(x1, x2, x3)=2x12+x22+4x32+