1、第1課時向量加法運算及其幾何意義核心必知1預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材P80P83的內容，回答下列問題(1)觀察教材P80圖2.21，思考：某對象從A點經B點到C點，兩次位移的結果是什么？與從A點直接到C點的位移有什么關系？提示：從A點經B點到C點，兩次位移的結果是位移，與從A點直接到C點的位移相等(2)觀察教材P80“探究”的內容，思考：力F對橡皮條產生的效果，與力F1與F2共同產生的效果相同嗎？提示：產生的效果相同力F與力F1、F2有怎樣的關系？提示：力F是F1與F2的合力力F在以F1、F2為鄰邊的平行四邊形的對角線上，并且大小等于平行四邊形對角線的長(3)數的加法啟發我們，從

2、運算的角度看，F可以認為是F1與F2的什么運算？提示：F可以認為是F1與F2的和，即位移、力的合成可看作向量的加法2歸納總結，核心必記(1)向量加法的定義求兩個向量和的運算，叫做向量的加法(2)向量加法的運算法則向量求和的法則三角形法則已知非零向量a、b，在平面內任取一點A，作a，b，則向量叫做a與b的和，記作ab，即ab_. 這種求向量和的方法，稱為向量加法的三角形法則.對于零向量與任一向量a的和有a00aa平行四邊形法則以同一點O為起點的兩個已知向量a、b為鄰邊作OACB，則以O為起點的對角線_就是a與b的和我們把這種作向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.(3)向量加法的運算律交換律

3、：abba；結合律：abc(ab)ca(bc)問題思考(1)兩個向量相加就是兩個向量的模相加嗎？提示：因為向量既有大小，又有方向，所以兩個向量相加不是模的相加兩個向量相加應滿足三角形法則或平行四邊形法則(2)當兩非零向量a，b共線時，向量加法的平行四邊形法則還能用嗎？三角形法則呢？提示：平行四邊形法則不能用，但三角形法則可用(3)式子0正確嗎？ 課前反思(1)向量加法的定義：；(2)求向量和的三角形法則：；(3)求向量和的平行四邊形法則：；(4)向量加法的交換律：；(5)向量加法的結合律：思考1求作兩個向量和的方法有哪些？提示：三角形法則和平行四邊形法則思考2三角形法則和平行四邊形法則的適用條

4、件有什么不同？名師指津：(1)三角形法則適用于任意兩個非零向量求和，平行四邊形法則只適用于兩個不共線的向量求和(2)當兩個向量不共線時，兩個法則是一致的如圖所示， (平行四邊形法則)， (3)在使用三角形法則時，應注意“首尾連接”；在使用平行四邊形法則時應注意范圍的限制及和向量與兩向量的起點相同. 講一講1(1)如圖，利用向量加法的三角形法則作出ab；(2)如圖，利用向量加法的平行四邊形法則作出ab.嘗試解答(1)如圖所示，設a，a與b有公共點A，故過A點作b，連接即為ab.(2)如圖，設a，過O點作b，則以OA、OB為鄰邊作OACB，連接OC，則ab. 應用三角形法則和平行四邊形法則應注意的

5、問題(1)三角形法則可以推廣到n個向量求和，作圖時要求“首尾相連”，即n個首尾相連的向量的和對應的向量是第一個向量的起點指向第n個向量的終點的向量(2)平行四邊形法則只適用于不共線的向量求和，作圖時要求兩個向量的起點重合(3)求作三個或三個以上的向量的和時，用三角形法則更簡單練一練1如圖，已知a、b、c，求作向量abc.解：作法：在平面內任取一點O，如圖所示作abc.思考向量加法有哪些運算律？名師指津：向量加法的交換律：abba；向量加法的結合律：(ab)ca(bc)講一講2化簡下列各式： 解決向量加法運算時應關注兩點(1)可以利用向量的幾何表示，畫出圖形進行化簡或計算(2)要靈活應用向量加法

6、運算律，注意各向量的起、終點及向量起、終點字母的排列順序，特別注意勿將0寫成0.練一練2如圖，在ABC中，O為重心，D、E、F分別是BC、AC、AB的中點，化簡下列三式：講一講3在某地抗震救災中，一架飛機從A地按北偏東35°的方向飛行800 km到達B地接到受傷人員，然后又從B地按南偏東55°的方向飛行800 km送往C地醫院，求這架飛機飛行的路程及兩次位移的和嘗試解答如圖所示，設分別表示飛機從A地按北偏東35°方向飛行800 km，從B地按南偏東55°的方向飛行800 km.則飛機飛行的路程指的是；兩次飛行的位移的和指的是依題意，有8008001 60

7、0 (km)又35°，55°，ABC35°55°90°.800(km)其中BAC45°，所以方向為北偏東35°45°80°.從而飛機飛行的路程是1 600 km，兩次飛行的位移和的大小為800 km，方向為北偏東80°.利用向量的加法解決實際應用題的三個步驟練一練3輪船從A港沿東偏北30°方向行駛了40 km到達B處，再由B處沿正北方向行駛40 km到達C處，求此時輪船與A港的相對位置解：如圖所示，設分別是輪船的兩次位移，則表示最終位移，且.CAD60°，即此時輪船位于A港東

8、偏北60°，且距離A港40 km處課堂歸納·感悟提升1本節課的重點是向量和的作法以及向量和的運算，難點是向量和的應用2要掌握向量加法的三個問題(1)求作向量的和，見講1；(2)向量加法運算，見講2；(3)向量加法的應用，見講3.3求作向量時應注意以下兩點(1)利用三角形法則求和向量時，關鍵要抓住“首尾相接”，并且和向量是由第一個向量的起點指向最后一個向量的終點(2)利用平行四邊形法則求和向量時，應注意“共起點”課下能力提升(十四)學業水平達標練題組1求作向量的和1 如圖，已知兩個不共線的非零向量a，b，求作ab.解：在平面內任取一點O，2已知兩非零向量a，b(如圖所示)求作

9、ab.解：如圖所示：在平面內任取一點O，作題組2向量加法運算4下列等式錯誤的是()Aa00aaA2 B4C12 D66根據圖示填空解析：由三角形法則知7已知正方形ABCD的邊長為1，a，c，b，則|abc|為_解析：|abc|2.答案：28如圖，O為正六邊形ABCDEF的中心，根據圖示計算：解：(1)因為四邊形OABC是以OA，OC為鄰邊的平行四邊形，OB為其對角線，所以題組3向量加法的應用9若a等于“向東走8 km”，b等于“向北走8 km”則|ab|_，ab的方向是_解析：如圖所示，設a，b，則ab，且ABC為等腰直角三角形，則|8 km，BAC45°.答案：8 km北偏東45&

10、#176;10雨滴在下落一定時間后的運動是勻速的，無風時雨滴下落的速度是4.0 m/s，現在有風，風使雨滴以 m/s的速度水平向東移動，求雨滴著地時的速度和方向解：如圖，用表示雨滴下落的速度，表示風使雨滴水平向東的速度以，為鄰邊作平行四邊形OACB，就是雨滴下落的實際速度在RtOAC中，|4，|，AOC30°.故雨滴著地時的速度大小是 m/s，方向與垂直方向成30°角向東. 能力提升綜合練1設a，b是任一非零向量，則在下列結論中，正確的為()ab；aba；abb；|ab|a|b|；|ab|a|b|.A BC D解析：選Ca0，是正確的2已知D，E，F分別是ABC的邊AB，B

11、C，CA的中點，則下列等式中不正確的是()解析：選D由向量加法的平行四邊形法則可知，3如圖，四邊形ABCD是梯形，ADBC，則()4已知ABC的三個頂點A，B，C及平面內一點P滿足，則下列結論中正確的是()AP在ABC的內部BP在ABC的邊AB上CP在AB邊所在的直線上DPP在ABC的外部解析：選D，根據平行四邊形法則，如圖，則點P在ABC外答案： 6若P為ABC的外心，且，則ACB_解析：，則四邊形APBC是平行四邊形又P為ABC的外心，因此ACB120°.答案：120°7在四邊形ABCD中，對角線AC、BD交于點O且|0，cosDAB.求又cosDAB，DAB(0，)，

12、 DAB60°，ABD為正三角形 8已知船在靜水中的速度為20 m/min，水流的速度為10 m/min，如果船從岸邊出發沿垂直于水流的航線到達對岸，求船行進的方向解：作出圖形，如圖船速v船與岸的方向成角，由圖可知v水v船v實際，結合已知條件，四邊形ABCD為平行四邊形，在RtACD中，|v水|10 m/min，60°，從而船與水流方向成120°的角故船行進的方向是與水流的方向成120°的角第2課時向量減法運算及其幾何意義核心必知1預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材P85P86的內容，回答下列問題(1)一個數x的相反數是什么？一個向量a有相反向量嗎

13、？若有，如何表示？提示：一個數x的相反數是x.一個向量a有相反向量，記為a.(2)任何一個數x與它相反數的和為0，那么向量a與它的相反向量的和是什么？提示：a(a)0.(3)根據前一節所學的內容，你能作出向量a與b的差ab嗎？提示：可以，先作b，再按向量加法的平形四邊形法則或三角形法則作出a(b)即可2歸納總結，核心必記(1)相反向量與a長度相等，方向相反的向量，叫做a的相反向量，記作a規定：零向量的相反向量仍是零向量；(a)a；a(a)(a)a0；若a與b互為相反向量，則ab，ba，ab0(2)向量的減法定義：aba(b)，即減去一個向量相當于加上這個向量的相反向量幾何意義：以O為起點，作向

14、量a，b，則_ab，如圖所示，即ab可以表示為從向量b的終點指向向量a的終點的向量問題思考(1)若兩個非零向量a與b互為相反向量，則a與b應具備什么條件？提示：長度相等；方向相反(2)相反向量與相反數一樣嗎？提示：不一樣相反數是兩個數符號相反，絕對值相等，相反向量是指兩個向量方向相反，模相等(3)若abcd，則adbc成立嗎？提示：成立移項法則對向量的運算是成立的課前反思(1)相反向量的定義：；(2)向量減法的定義：；(3)向量減法的幾何意義：講一講 (1)向量減法運算的常用方法(2)向量加減法化簡的兩種形式首尾相連且為和；起點相同且為差做題時要注意觀察是否有這兩種形式，同時要注意逆向應用練一

15、練1化簡下列各式：思考1已知兩個非零向量a，b，如何作ab?名師指津：求作兩向量的差可以轉化為兩個向量的和，也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的始點重合，則差向量就是連接兩個向量的終點，并指向被減向量思考2ab的幾何意義是什么？名師指津：ab的幾何意義是：當向量a，b的始點相同時，從向量b的終點指向向量a的終點的向量講一講2(1)四邊形ABCD中，若 ()Aabc Bb(ac)Cabc Dbac(2)如圖，已知向量a，b，c不共線，求作向量abc.嘗試解答(1) acb.(2)法一：如圖所示，在平面內任取一點O，作a，b，則ab，再作c，則abc.法二：如圖所示，在平面內任取一點O，

16、作a，b，則ab，再作c，連接OC，則abc.答案：(1)A求作兩個向量的差向量的兩種思路(1)可以轉化為向量的加法來進行，如ab，可以先作b，然后作a(b)即可(2)也可以直接用向量減法的三角形法則，即把兩向量的起點重合，則差向量為連接兩個向量的終點，指向被減向量的終點的向量練一練2如圖，O為ABC內一點，a，b，c.求作：(1)bca；(2)abc.如圖所示(2)由abca(bc)，如圖，作OBEC，連接OE，連接AE，則a(bc)abc.講一講3如圖，解答下列各題： 利用已知向量表示其他向量的一個關鍵及三點注意(1)一個關鍵一個關鍵是確定已知向量與被表示向量的轉化渠道(2)三點注意注意相

17、等向量、相反向量、共線向量以及構成三角形三向量之間的關系；注意應用向量加法、減法的幾何意義以及它們的運算律；注意在封閉圖形中利用多邊形法則練一練課堂歸納·感悟提升1本節課的重點是相反向量、向量減法的運算以及利用已知向量表示未知向量，難點是利用已知向量表示未知向量2要掌握向量減法的三個問題(1)向量的減法運算，見講1；(2)向量減法及其幾何意義，見講2；(3)利用已知向量表示未知向量，見講3.3掌握用已知向量表示某向量的基本步驟第一步：觀察各向量的位置；第二步：尋找(或作)相應的平行四邊形或三角形；第三步：運用法則找關系；第四步：化簡結果課下能力提升(十五)學業水平達標練題組1向量的減

18、法運算1已知非零向量a與b同向，則ab()A必定與a同向B必定與b同向C必定與a是平行向量D與b不可能是平行向量解析：選C若|a|b|，則ab與a同向，若|a|b|，則ab與b同向，若|a|b|，則ab0，方向任意，且與任意向量共線故A，B，D皆錯，故選C.3給出下面四個式子，其中結果為0的是()A BC D題組2向量減法及其幾何意義4若O，E，F是不共線的任意三點，則以下各式中成立的是()解析：選B由減法法則知B正確A3，8 B(3，8)C3，13 D(3，13)6如圖，在正六邊形ABCDEF中，()7已知菱形ABCD邊長都是2，求向量的模題組3利用已知向量表示未知向量8如圖，向量，則向量可

19、以表示為()Aabc BabcCbac Dbac解析：選Cbac.故選C.9已知一點O到ABCD的3個頂點A，B，C的向量分別是a，b，c，則向量等于()AabcBabcCabc Dabc解析：選B如圖，點O到平行四邊形ABCD的三個頂點A，B，C的向量分別是a，b，c，結合圖形有abc.10如圖，已知ABCDEF是一正六邊形，O是它的中心，其中b，c，則等于_解析：bc.答案：bc11如圖，在五邊形ABCDE中，若四邊形ACDE是平行四邊形，且a，b，c，試用a，b，c表示向量 能力提升綜合練1有下列不等式或等式：|a|b|<|ab|<|a|b|；|a|b|ab|a|b|；|a|

20、b|ab|<|a|b|；|a|b|<|ab|a|b|.其中，一定不成立的個數是()A0 B1 C2 D3解析：選A當a與b不共線時成立；當ab0，或b0，a0時成立；當a與b共線，方向相反，且|a|b|時成立；當a與b共線，且方向相同時成立2如圖，D，E，F分別是ABC的邊AB，BC，CA的中點，則()A8 B4 C2 D14平面上有三點A，B，C，設若m，n的長度恰好相等，則有()AA，B，C三點必在同一直線上BABC必為等腰三角形且B為頂角CABC必為直角三角形且B90°DABC必為等腰直角三角形解析：選C由|m|n|，知A，B，C為一矩形的三頂點，且ABC中B為直角

21、答案：6設平面向量a1，a2，a3滿足a1a2a30，如果平面向量b1，b2，b3滿足|bi|2|ai|，且ai順時針旋轉30°后與bi同向，其中i1，2，3，則b1b2b3_解析：將ai順時針旋轉30°后得ai，則a1a2a30.又bi與ai同向，且|bi|2|ai|，b1b2b30.答案：07設O是ABC內一點，且，若以線段OA，OB為鄰邊作平行四邊形，第四個頂點為D，再以OC，OD為鄰邊作平行四邊形，其第四個頂點為H.試用a，b，c表示.解：由題意可知四邊形OADB為平行四邊形，又四邊形ODHC為平行四邊形，8已知O為四邊形ABCD所在平面外一點，且向量、滿足等式.作

22、圖并觀察四邊形ABCD的形狀，并證明解：通過作圖(如圖)可以發現四邊形ABCD為平行四邊形證明如下：，AB綊DC，四邊形ABCD為平行四邊形第3課時向量數乘運算及其幾何意義核心必知1預習教材，問題導入根據以下提綱，預習教材P87P90的內容，回答下列問題(1)已知非零向量a，根據向量的加法，作出aaa和(a)(a)(a)，你認為它們與a有什么關系？提示：aaa3a的長度是a長度的3倍，且方向相同；(a)(a)(a)3a的長度是a長度的3倍，且方向相反(2)a與a(0，a0)的方向、長度之間有什么關系？提示：當0時，a與a方向相同；當0時，a與a方向相反，且a的長度是a長度的|倍(3)若ab，則

23、a與b共線嗎？提示：共線2歸納總結，核心必記(1)向量數乘運算一般地，我們規定實數與向量a的積是一個向量，這種運算叫做向量的數乘，記作a，它的長度與方向規定如下：|a|a|；a(a0)的方向特別地，當0或a0時，0a0或00(2)向量數乘的運算律設，為實數，則(a)()a；()aaa；(ab)ab特別地，()a(a)(a)，(ab)ab(3)共線向量定理向量a(a0)與b共線，當且僅當有唯一一個實數，使ba.(4)向量的線性運算向量的加、減、數乘運算統稱為向量的線性運算對于任意向量a、b，以及任意實數、1、2，恒有(1a±2b)1a±2b問題思考(1)向量與實數可以求積，那

24、么向量和實數可以進行加減運算嗎？提示：不可以，向量與實數不能進行加減運算，如a，2b無法運算(2)數乘向量與實數的乘積等同嗎？提示：不等同數乘向量的結果仍然是一個向量，既有大小又有方向實數相乘運算的結果是一個實數，只有大小沒有方向(3)0時，a0；a0時，a0，這兩種說法正確嗎？提示：不正確，a0中的“0”應寫為“0”課前反思(1)向量數乘的概念：；(2)向量數乘的運算律：；(3)共線向量定理：；(4)向量的線性運算：思考向量的線性運算與代數多項式的運算有什么類似之處？名師指津：向量的線性運算類似于多項式的運算，具有實數與多個向量和的乘積形式，計算時應先去括號共線向量可以“合并同類項”“提取公

25、因式”，這里的“同類項”“公因式”是指向量，實數看作是向量的系數講一講1化簡下列各式：(1)3(6ab)9； (2)2；(3)2(5a4bc)3(a3bc)7a.嘗試解答(1)原式18a3b9a3b9a.(2)原式ababab0.(3)原式10a8b2c3a9b3c7abc.向量數乘運算的方法(1)向量的數乘運算類似于多項式的代數運算，實數運算中的去括號、移項、合并同類項、提取公因式等變形手段在數與向量的乘積中同樣適用，但是這里的“同類項”“公因式”指向量，實數看作是向量的系數(2)向量也可以通過列方程來解，把所求向量當作未知數，利用解代數方程的方法求解，同時在運算過程中要多注意觀察，恰當運用

26、運算律，簡化運算練一練1設向量a3i2j，b2ij，求(2ba)解：原式abab2baabab(3i2j)(2ij)iji5j.講一講2.已知在ABCD中，M，N分別是DC，BC的中點若，試用e1，e2表示嘗試解答M，N分別是DC，BC的中點，MN綊BD.用已知向量表示未知向量的方法用圖形中的已知向量表示所求向量，應結合已知和所求，聯想相關的法則和幾何圖形的有關定理，將所求向量反復分解，直到全部可以用已知向量表示，其實質是向量線性運算的反復應用練一練2.如圖所示，四邊形OADB是以向量OAa，OBb為鄰邊的平行四邊形又BMBC，CNCD，試用a，b表示思考1如何證明向量a與b共線？名師指津：要

27、證向量a與b共線，只需證明存在實數，使得ba(a0)即可思考2如何證明A，B，C三點在同一條直線上？名師指津：講一講3(1)已知e1，e2是兩個不共線的向量，若2e18e2，e13e2，2e1e2，求證：A，B，D三點共線(2)已知A，B，P三點共線，O為直線外任意一點，若求xy的值 AB與BD有交點B，A，B，D三點共線(2)由于A，B，P三點共線，所以向量在同一直線上，由向量共線定理可知，必定存在實數使故x1，y，即xy1.用向量共線的條件證明兩條直線平行或重合的思路(1)若ba(a0)，且b與a所在的直線無公共點，則這兩條直線平行；(2)若ba(a0)，且b與a所在的直線有公共點，則這兩

28、條直線重合例如，若向量，則共線，又有公共點A，從而A，B，C三點共線，這是證明三點共線的重要方法練一練3如圖所示，已知D，E分別為ABC的邊AB，AC的中點，延長CD到M使DMCD，延長BE至N使BEEN，求證：M，A，N三點共線證明：D為MC的中點，且D為AB的中點，M，A，N三點共線課堂歸納·感悟提升1本節課的重點是向量的數乘運算及共線向量定理，難點是共線向量定理的應用2掌握與向量數乘運算有關的三個問題(1)向量的線性運算，見講1；(2)用已知向量表示未知向量，見講2；(3)共線向量定理及應用，見講3.3本節課的易錯點當A、B、C、D四點共線時，共線；反之不一定成立4要掌握用已知

29、向量表示其他向量的兩種方法(1)直接法(2)方程法當直接表示比較困難時，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關于所求向量和已知向量的等量關系，然后解關于所求向量的方程5注意以下結論的運用(1)以AB，AD為鄰邊作ABCD，且則對角線所對應的向量ab，ab.課下能力提升(十六)學業水平達標練題組1向量的線性運算1.等于()A2ab B2baCba Dab解析：選B原式(2a8b)(4a2b)ababa2b2ba.2已知m，n是實數，a，b是向量，則下列命題中正確的為()m(ab)mamb；(mn)amana；若mamb，則ab；若mana，則mn.A BC D解析：選B和屬于數乘對向量與實

30、數的分配律，正確；中，若m0，則不能推出ab，錯誤；中，若a0，則m，n沒有關系，錯誤題組2用已知向量表示未知向量Arpq Brp2qCrpq Drq2ppq.4在ABC中，點P是AB上一點，且則t的值為()A. B. C. D.5如圖所示，在ABCD中，a，b，AN3NC，M為BC的中點，則_(用a，b表示)b(ab)ba(ba)答案：(ba)6如圖所示，已知ABCD的邊BC、CD的中點分別為K、L，且e1，e2，試用e1，e2表示2×得x2xe12e2，解得x(2e2e1)，即(2e2e1)e2e1，同理得y(2e1e2)，即e1e2.題組3共線向量定理的應用7對于向量a，b有下列表示：a2e，b2e；ae1e2，b2e12e2；a4e1e2，be1e2；ae1e2，b2e12e2.其中，向量a，b一定共線的有()ABC D解析：選A對于，ab