1、2019 年上海市各區高三二模數學試題分類匯編 第 16 部分：選修系列（選修 4-4 :坐標系與參數方程） 16.16. （上海市嘉定黃浦 20192019 年 4 4 月高考模擬理科） 在極坐標系中，圓心坐標是（a ,二）（a 0）, 半徑為a的圓的極坐標方程是（ A A ） 稱的點的坐標是 二、填空題: A . :? - -2a COS T （ 乞二:- ） 2 2 3 C - ： - -2a sin 二（ ） . 2 2 B B. .- a COST （ 0 *： v : ?二 asin r （ 0 ： v :） 1616.（上海市浦東新區 20192019 年 4 4 月高考預測理科

2、） 在極坐標系中，與點 P （2,二）關于極點對 3 4n B B （r r） C.C. （2-3） & &（上海市盧灣區 20192019 年 4 4 月高考模擬考試理科） 在極坐標系中，圓匸=2sinr的圓心與點 D 1,二的距離為 1010、（上海市長寧區 20192019 年高三第二次模擬理科 ）已知圓的極坐標方程為 T = COST - sin J , 則該圓的面積為 JI x = 4cos ： （eE R）,則該橢圓的焦距為 6 6 .（上海市松江區 20192019 年 4 4 月高考模擬理科）在極坐標系中，若直線|的方程是 ?sin（ 6）=1，點P的坐標為（2

3、,二），則點P到直線l的距離d二 . 2 2 1111.（上海市徐匯區 20192019 年 4 4 月高三第二次模擬理科） 在極坐標系中，若過點（3 3, 0 0）且與 極軸垂直的直線交曲線 P =4cosB于 A A、B B 兩點，貝y AB = = . .2,3 3 3.（上海市閘北區 20192019 年 4 4 月高三第二次模擬理科） 在極坐標系中，點 P 2, 到圓 =2cos的圓心的距離是 7 7. （20192019 年 4 4 月上海楊浦、靜安、青浦、寶山四區聯合高考模擬） 理科在極坐標系中，:=4cosv - 3sin v 的半徑長是 .2.5.2.5 三、解答題 22.2

4、2. （上海市普陀區 20192019 年高三第二次模擬考試理科 ）（本題滿分 1818 分，其中第 1 1 小題 6 6 分, 第 2 2 小題 4 4 分，第 3 3 小題 8 8 分） cos。x+sin日 v=x： 定義變換T : y 可把平面直角坐標系上的點 P（x, y）變換到這一平 sinB x_cos日 y = y； 面上的點P （x,y ）. .特別地，若曲線 M上一點P經變換公式T變換后得到的點 P與點P重 合，則稱點P是曲線M在變換T下的不動點. . （1 1） 若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在 x軸上，且焦距為2.2，長軸頂點和短軸頂點間的 3 距離為 2.2.求該橢圓

5、C的標準方程. .并求出當 v - arctan時，其兩個焦點 R、F2經變換公 4 式T變換后得到的點F1和F2的坐標； 3 （2 2） 當 v - arctan時，求（1 1 ）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標； 4 （3 3） 試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的雙曲線在變換 cosr x sin 二 y = x , . k二 T： . . . （ ， k Z）下的不動點的存在情況和個數. . sin x -cos y = y , 2 2 2 22.22.（理）解：（1 1）設橢圓C的標準方程為 上2十%=1 （ ab0 ），由橢圓定義知焦距 a b 2c = 2 . 2 =

6、c = 2，即 a2 - b2 = 2 . . 又由條件得a2 b4，故由、可解得 a2 =3 , b2=1. . 2 即橢圓C的標準方程為 y1. . 3 且橢圓C兩個焦點的坐標分別為 F_! 2,0和F,、2,0 . . 設F；捲，屮 和F2 X2,y2分別是由F, ，2,0和F1 .2,0的坐標由變換公式 T變換對于變換T : =arcta n -時, 可得 3 4 5xVy ( (e e f f 日 2 tan 了 x I n +mtan2 則有- - =1=1 2 x2 = 1, , m n mn 2日 2 日 門 + mta n2 因為 mn ： 0，故當n mtan -0時，方程

7、 2 x= 1無解； 2 mn 2 H 2 mn 當n mtan2 0時，要使不動點存在，則需 x2 0 , 2 2 J n + mta n 2 丄 2 0 得到 于是, 4 - 3 4、2 xj (- 2) 0 = 5 5 5 3 / 小 4 32 yi (I、2) 0 = ，即F/的坐標為j 4 2 5即F/的坐標為空2,3/2 J. y2=3 .J2/ 口 5 5 5 5 5 3 (2)設P(x,y)是橢圓C在變換T下的不動點，則當v - arctan時, 4 f4 .3 _x _y 有5 5 3 4 5x5y 二 X 二 x =3y，由點 P(x, y) C，即 P(3y, y) C，

8、得: 曲 y2=1 3 1 y y = = 2，因而橢圓C的不動點共有兩個，分別為 x = 3y 設P(x, y)是雙曲線在變換T下的不動點，則由 丄COST x sin 二 y 二 x, sin 二 y = 1 - cos x, 5 = t sin x -cos y = y, sin v x = 1 cos) y, k y 1 一 cos sin 丄 因為. ，k Z，故 tan x si n 1+cos 不妨設雙曲線方程為 2 2 x y 1 ( mn ： 0) m n e 由tan-x代入得 因為mn ： 0,故當n mtan2 0時，雙曲線在變換T下一定有 2 2 個不動點，否則不存

9、2 在不動點. . 進一步分類可知: （i i ）當 n n：0 0, m 0時，即雙曲線的焦點在 x x 軸上時, 二 n mtanT d tan2 n 2 2 m 此時雙曲線在變換 T下一定有 2 2 個不動點; （ii ii ）當n0, m ： 0時，即雙曲線的焦點在 y軸上時, 2日 2日 n 二 n mtan 0= tan 0 2 2 m 此時雙曲線在變換 T下一定有 2 2 個不動點 23.23. （上海市普陀區 20192019 年高三第二次模擬考試文科 ）（本題滿分 1818 分，其中第 1 1 小題 6 6 分, 第 2 2 小題 4 4 分，第 3 3 小題 8 8 分）

10、上的一點P（x；y）. . （1 1） 若橢圓C的中心為坐標原點，焦點在 x軸上，且焦距為2,2，長軸頂點和短軸頂點間的 距離為 2.2.求該橢圓C的標準方程，并求出其兩個焦點 F1、F2經變換公式T變換后得到的點 F1和F2 的坐標； （2） 若曲線M上一點P經變換公式T變換后得到的點 P 與點P重合， 則稱點P是曲線M在 變換T下的不動點. .求（1 1 ）中的橢圓C在變換T下的所有不動點的坐標； （3 3） 在（2 2）的基礎上，試探究：中心為坐標原點、對稱軸為坐標軸的橢圓和雙曲線在變換 T下的不動點的存在情況和個數 . . 23.23.（文） 解：（1 1）（ 2 2）基本同理 222

11、2 題（略） （3 3）由（2 2）可知，曲線 M在變換T下的不動點P（x, y）需滿足x=3y. . 2 2 4 現有變換公式T : 可把平面直角3 情形一：據題意，不妨設橢圓方程為 丄=1 （ m 0, n0 ）， 9n m 2 一 y -1. . mn 因為m .0, n .0，所以y2 亜 0恒成立，因此橢圓在變換 T下的不動點必定存 9n +m 在，且一定有 2 2 個不動點. . 2 2 情形二：設雙曲線方程為 L 丄=1 （ mn ： 0）， m n 9n m 2 “ y mn 9n + m n 因為mn：0,故當9n，m=0時，方程 y =1無解； mn 當9n m = 0時，故要使不動點存在，則需 y2 巴丄 0， 9n + m 一 mn 0. 因此，當且僅當 時，雙曲線在變換 T下一定有 2 2 個不動點. .否則不存在不動點 9n + m c 0 進一步分類可知， 1= 9n m ：0= 9 -m. . 9n m n 即雙曲線的焦點在 x軸上時