1、光華人向上的精神www.gsmer. netSolow Model 1光華人向上的精神www.gsmer. netSolow模型之詳細推導參考資料：戴維羅默高級宏觀經濟學龔六堂經濟增長理論研究生一年級 高級宏觀經濟學、動態優化課堂筆記Solow模型含四個變量：產出(丫)、資本(K)，勞動(L )、技術進步(A)生產函數的形式為:Y(t)二 F(K(t),A(t)L(t)滿足： F(?二階連續可微; F(?對變量非減且嚴格凹(即資本和勞動力的邊際生產率都是遞減的)； 生產函數是常數規模回報的，即對任意入>0,有F(入K, XAL)=入F(K,AL),(1)從而可得到歐拉(Euler、方程：

2、f(k,l) = ?Fk+?Fl ； ?K?L 生產函數滿足Inada條件，即lim Fk(K,L) = 3lim Fl(K, L) =K 0L 0。Kim Fk(K,L) = O,pm Fl(K,L)=0K 3L 3通常所講的Cobbel- Douglas生產函數滿足此條件:a,Y(t) = A(t)K(t)a L(t)卩，0< a, B<1。規模報酬不變的假定使我們得以使用密集形式的生產函數。(2)K11F( ,1)= F(K, AL)= Y， ALALAL令k =表示每單位有效勞動的平均資本數量，ALYy = 一表示每單位有效勞動的平均產出AL那么可將(2)式寫為：y = F

3、(k,1)= f (k)假定儲蓄率為s，資本折舊為3，人口增長率既定，為 空二n，技術進步率也既L定設為|=g那么，即資本的變化由儲蓄（sY）減去折舊掉的資本存量。 人均資本存量的變化為&)=K(t)A(t)L(t)K(t)A(t)L(t)2A(t)L(t)+L(t)A(t)=畋t)K(t) L(t)K(t) At)A(t)L(t)A(t)L(t) L(t)A(t)L(t) A(t)從而有?t&)=-k(t)?n- k(t)?sY(t)- K(t)A(t)L(t)儀)二 sy(t)- (n + g+ S)k(t)方程（4）是Solow模型的關鍵。均衡時人均資本存量不再變化，&a

4、mp;=0,于是得到作圖:sf(k (t)=如果每單位有效勞動的平均實際投資大于所需的持平投資，則k上升。反之，如果每單位有效勞動的平均實際投資小于所需的持平投資，則k下降。如果兩者相等，則k不變。從圖中顯然可以看出，不管經濟初始位于何處，最終總能達到均 衡（這一點與Ramsey模型有顯著區別）。根據圖1可研究儲蓄率s,人口增長率n，技術進步率g的變化對均衡人均資本 存量的影響。具體討論參見羅默書。資本的黃金積累率這是求一儲蓄率，在這一儲蓄率下，均衡時居民的人均消費水平達到最大化。這時的人均資本存量稱為黃金律資本存量水平。maxc(s) = f (k*)- sf(k*) = f (k*)- (n + g + 3)k*,s特別要注意的是其中的每個k*均是均衡資本存量，顯然k*也為s的函數，由一階條件：?c(s)*?k*=f (k ) - (n + g+ 3)，?s?s故黃金律的資本存量水平k*