1、知識要點數列數列的定義數列的有關概念數列的通項數列與函數的關系項項數通項等差數列等差數列的定義等差數列的通項等差數列的性質等差數列的前n項和等比數列等比數列的定義等比數列的通項等比數列的性質等比數列的前n項和等差數列等比數列定義遞推公式；通項公式（）中項（）（）前項和重要性質1. 等差、等比數列：等差數列等比數列定義通項公式=+（n-1）d=+（n-k）d=+-d求和公式中項公式A= 推廣：2=。推廣：性質1若m+n=p+q則 若m+n=p+q，則。2若成A.P（其中）則也為A.P。若成等比數列 （其中），則成等比數列。3 成等差數列。成等比數列。4 ， 5看數列是不是等差數列有以下三種方法：

2、2()(為常數).看數列是不是等比數列有以下四種方法：(，)注：i. ，是a、b、c成等比的雙非條件，即a、b、c等比數列.ii. （ac0）為a、b、c等比數列的充分不必要.iii. 為a、b、c等比數列的必要不充分.iv. 且為a、b、c等比數列的充要.注意：任意兩數a、c不一定有等比中項，除非有ac0，則等比中項一定有兩個.(為非零常數).正數列成等比的充要條件是數列（）成等比數列.數列的前項和與通項的關系：注： （可為零也可不為零為等差數列充要條件（即常數列也是等差數列）若不為0，則是等差數列充分條件）.等差前n項和可以為零也可不為零為等差的充要條件若為零，則是等差數列的充分條件；若不

3、為零，則是等差數列的充分條件. 非零常數列既可為等比數列，也可為等差數列.（不是非零，即不可能有等比數列）2. 等差數列依次每k項的和仍成等差數列，其公差為原公差的k2倍；若等差數列的項數為2，則；若等差數列的項數為，則，且，. 3. 常用公式：1+2+3 +n =注：熟悉常用通項：9，99，999，； 5，55，555，.4. 等比數列的前項和公式的常見應用題：生產部門中有增長率的總產量問題. 例如，第一年產量為，年增長率為，則每年的產量成等比數列，公比為. 其中第年產量為，且過年后總產量為：銀行部門中按復利計算問題. 例如：一年中每月初到銀行存元，利息為，每月利息按復利計算，則每月的元過個

4、月后便成為元. 因此，第二年年初可存款：=.分期付款應用題：為分期付款方式貸款為a元；m為m個月將款全部付清；為年利率.5. 數列常見的幾種形式：（p、q為二階常數）用特證根方法求解.具體步驟：寫出特征方程（對應，x對應），并設二根若可設，若可設；由初始值確定.（P、r為常數）用轉化等差，等比數列；逐項選代；消去常數n轉化為的形式，再用特征根方法求；（公式法），由確定.轉化等差，等比：.選代法：.用特征方程求解：.由選代法推導結果：.6. 幾種常見的數列的思想方法：等差數列的前項和為，在時，有最大值. 如何確定使取最大值時的值，有兩種方法：一是求使，成立的值；二是由利用二次函數的性質求的值.如

5、果數列可以看作是一個等差數列與一個等比數列的對應項乘積，求此數列前項和可依照等比數列前項和的推倒導方法：錯位相減求和. 例如：兩個等差數列的相同項亦組成一個新的等差數列，此等差數列的首項就是原兩個數列的第一個相同項，公差是兩個數列公差的最小公倍數.2. 判斷和證明數列是等差（等比）數列常有三種方法：(1)定義法:對于n2的任意自然數,驗證為同一常數。(2)通項公式法。(3)中項公式法:驗證都成立。3. 在等差數列中,有關Sn 的最值問題：(1)當>0,d<0時，滿足的項數m使得取最大值. (2)當<0,d>0時，滿足的項數m使得取最小值。在解含絕對值的數列最值問題時,注

6、意轉化思想的應用。（三）、數列求和的常用方法1. 公式法:適用于等差、等比數列或可轉化為等差、等比數列的數列。 2.裂項相消法:適用于其中 是各項不為0的等差數列，c為常數；部分無理數列、含階乘的數列等。3.錯位相減法:適用于其中 是等差數列，是各項不為0的等比數列。 4.倒序相加法: 類似于等差數列前n項和公式的推導方法.1）: 1+2+3+.+n = 2） 1+3+5+.+(2n-1) = 3） 4） 5） 6） 備注：求遞推數列的通項公式的九種方法利用遞推數列求通項公式，在理論上和實踐中均有較高的價值.自從二十世紀八十年代以來，這一直是全國高考和高中數學聯賽的熱點之一.一、作差求和法例1

7、 在數列中，,，求通項公式.解：原遞推式可化為：則，逐項相加得：.故.二、作商求和法例2 設數列是首項為1的正項數列，且（n=1,2,3），則它的通項公式是=（2000年高考15題）解：原遞推式可化為：=0 0， 則 ， 逐項相乘得：，即=.三、換元法例3 已知數列，其中，且當n3時，求通項公式（1986年高考文科第八題改編）.解：設，原遞推式可化為：是一個等比數列，公比為.故.故.由逐差法可得：. 例4已知數列，其中，且當n3時，求通項公式。解 由得：，令，則上式為，因此是一個等差數列，.。由于又所以，即 四、積差相消法 例5設正數列，滿足=且，求的通項公式.解 將遞推式兩邊同除以整理得：設

8、=，則=1，故有 ()由+ +()得=，即=.逐項相乘得：=，考慮到，故 . 五、取倒數法例6 已知數列中，其中，且當n2時，求通項公式。解 將兩邊取倒數得：，這說明是一個等差數列，首項是，公差為2，所以，即.六、取對數法例7 若數列中，=3且（n是正整數），則它的通項公式是=（2002年上海高考題）.解 由題意知0，將兩邊取對數得，即，所以數列是以=為首項，公比為2的等比數列， ，即.七、平方（開方）法例8 若數列中，=2且（n），求它的通項公式是.解 將兩邊平方整理得。數列是以=4為首項，3為公差的等差數列。因為0，所以。八、待定系數法待定系數法解題的關鍵是從策略上規范一個遞推式可變成為何

9、種等比數列，可以少走彎路.其變換的基本形式如下：1、（A、B為常數）型，可化為=A（）的形式.例9 若數列中，=1，是數列的前項之和，且（n），求數列的通項公式是.解 遞推式可變形為 （1）設（1）式可化為 （2）比較（1）式與（2）式的系數可得，則有。故數列是以為首項，3為公比的等比數列。=。所以。當n，。數列的通項公式是 。2、（A、B、C為常數，下同）型，可化為=）的形式.例10 在數列中，求通項公式。解：原遞推式可化為：比較系數得=-4，式即是：.則數列是一個等比數列，其首項，公比是2. 即.3、型，可化為的形式。例11 在數列中，當， 求通項公式.解：式可化為：比較系數得=-3或=-

10、2，不妨取=-2.式可化為：則是一個等比數列，首項=2-2（-1）=4，公比為3.利用上題結果有：.4、型，可化為的形式。例12 在數列中，=6求通項公式.解 式可化為：比較系數可得：=-6， 式為是一個等比數列，首項，公比為.即 故.九、猜想法 運用猜想法解題的一般步驟是：首先利用所給的遞推式求出，然后猜想出滿足遞推式的一個通項公式，最后用數學歸納法證明猜想是正確的。求遞推數列通項的特征根法與不動點法一、形如是常數）的數列形如是常數）的二階遞推數列都可用特征根法求得通項，其特征方程為若有二異根，則可令是待定常數）若有二重根，則可令是待定常數）再利用可求得，進而求得例1已知數列滿足，求數列的通

11、項解：其特征方程為，解得，令，由，得，例2已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，解得，令，由，得，二、形如的數列對于數列，是常數且）其特征方程為，變形為 若有二異根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值這樣數列是首項為，公比為的等比數列，于是這樣可求得若有二重根，則可令（其中是待定常數），代入的值可求得值這樣數列是首項為，公差為的等差數列，于是這樣可求得此方法又稱不動點法例3已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，化簡得，解得，令由得，可得，數列是以為首項，以為公比的等比數列，例4已知數列滿足，求數列的通項解：其特征方程為，即，解得，令由得，求得，數列是以為首項，以為公差的等差

12、數列，試題精粹江蘇省2011年高考數學聯考試題13（江蘇天一中學、海門中學、鹽城中學2011屆高三調研考試）在等差數列中，表示其前項，若，則的取值范圍是（4，）12（江蘇省2010屆蘇北四市第一次聯考）已知等差數列的前 n 項和為 S n , T n ,若對于任意的自然數 n ，都有則 = 8. （常州市2011屆高三數學調研）面積為S的的三邊成等差數列，設外接圓的面積為，則10.（常州市2011屆高三數學調研）若在由正整數構成的無窮數列an中，對任意的正整數n，都有an an+1，且對任意的正整數k，該數列中恰有2k1個k，則a2008=.45 7（姜堰二中學情調查（三）設a>0，b>0，若是3a與3b的等比中項，則+的最小值是_410. （泰州市2011屆高三第一次模擬考試）數列為正項等比數列，若，且，則此數列的前4項和。10、（南通市六所省重點高中聯考試卷）已知數列滿足，（），.若前100項中恰好含有30項為0，則的值為 6或714. （蘇北四市2011屆高三第一次調研考試）已知數列，滿足，且