1、在通常的三維幾何空間中，考慮一個通過原點的平面。不難看出，這個平面上的所有向量對于加法和數量乘法組成一個二維的線性空間，這就是說，它一方面是三維幾何空間的一個部分，同時它對于原來的運算也構成一個線性空間。一般地，我們不僅要研究整個線性空間的結構，而且要研究它的線性子空間，一方面線性子空間本身有它的應用，另一方面通過研究線性子空間可以更深刻地揭示整個線性空間的結構。一、線性子空間的定義定義7設是數域上的一個線性空間，是的一非空子集。如果對于中所定義的加法和數乘運算也構成數域上的一個線性空間，則稱為的一個線性子空間，簡稱子空間。驗證是否為的子空間，實際上只需考察對于中加法和數乘運算是否封閉就行了。

2、因為線性空間定義中的規則在對線性運算是封閉的情況下必是滿足的。例1任何線性空間有兩個平凡子空間或假子空間；一個是它自身，另一個是，稱為零元素空間（零子空間）。除此之外的子空間稱為非平凡子空間或真子空間。下面舉幾個常見的例子。例2給定，集合分別是和上的子空間，依次稱為的零空間(核)和列空間（值域），零空間的維數稱為零度的零空間是齊次線性方程組的全部解向量構成的維線性空間的一個子空間。因為解空間的基就是齊次線性方程組的基礎解系。所以，。的左零空間和行空間，。表示的廣義逆，滿足，則有且，冪等。所以例3設是的個向量，它們所有可能的線性組合所成的集合是的一個子空間，稱為由生成的子空間。若記，則由子空間的

3、定義可知，如果的一個子空間包含向量，那么就一定包含它們所有的線性組合。也就是說是的一個子空間。注：容易證明(1)。(2),，特別若可表示為的線性組合，則。定理2 設是的一個維子空間，是的一個基，則這個向量必定可擴充為的基。 證明 若，則定理已成立。若，則中必存在一個向量不能由線性表出，從而線性無關。如果，則定理已成立。否則繼續上述步驟。經過次，則可得到內個線性無關的向量，使為的基。二、子空間的分解子空間作為子集，有子集的交（），和（）等運算，對它們有如下定理。定理3 設是線性空間的子空間，則有(1)與的交集是的子空間，稱為與的交空間。(2)與的和 是的子空間，稱為與的和空間。證明 (1)由,可

4、知,因而是非空的.其次，如果,即而且,因此,因此.同樣,由,知.因此是的子空間.(2)由定義,而且非空.,則有.由，因是子空間,則,所以 即是的子空間.子空間的交與和的概念可以推廣到多個子空間的情形。定理4(維數定理)設和是線性空間的兩個子空間，則有+=+ (1)證明 設,基為，由定理2知，它們可分別擴充為：的基，的基，則 =，=，.下面證明為線性無關組。任取數使.(2)因為所以從而有即 由是的基,線性無關,故.代入(2)式,得而是的基,于是故線性無關，dim,定理得證.從(1)式知，若，則有dim(+)dim+dim,這時其表達式中與不是唯一的。例如，有，即。這時可有兩種表達式和例4設中的兩

5、個子空間是求及的基和維數。解 =由于且線性無關，故的一個基為，其維數=3。由維數定理知=-=2+2-3=1根據，得到，從而為的一個基，其維數=1。三、直和子空間子空間的和的定義僅表明，其中的任一向量可表示為。但這種表示法不一定唯一。定義8設是線性空間的兩個子空間，如果中每個向量的分解式是唯一的，則稱為的直和，記為。定理5 設，是線性空間的兩個子空間，則下面幾條等價(1)是直和；(2)向量表示法唯一，即由得；(3)=；(4)證明 采用輪轉方式證明這些命題。按定義，內任一向量表示法唯一，因而的表示法當然唯一。用反證法。若，則有，于是，。而，這與零向量的表示是唯一的假設矛盾。利用維數定理即得。由維數

6、定理知dim()=0,即=.對任一,如果則有于是，即。這說明因而表示法唯一。定理證畢。定理6 設是的一個子空間，則必存在的子空間，使。證明：設dim()=,且是的一個基，根據定理2 它可擴充為的基，令，顯然就滿足要求。子空間的交、和及直和的概念可以推廣到多個子空間的情形。四、內積空間前文中，我們對線性空間的討論主要是圍繞著向量之間的加法和數量乘法進行的。與幾何空間相比，向量的度量性質如長度、夾角等在實際應用中更重要。因此，我們在一般線性空間中定義內積，導出內積空間的概念。定義9 設是實數域上的實線性空間。如果對于任意的，都有一個實數與之對應，且滿足(1);(2);(3);(4)當且僅當時.則稱

7、為與的內積。定義了內積的實線性空間稱為內積空間，又稱歐幾里得空間或Euclid空間（簡稱為歐氏空間）。例如，在中，定義內積。這時成為內積空間。在內積空間中，如果，則稱與正交，記為。設歐氏空間中的基為，歐氏空間中有兩個向量，下面我們來計算的內積。記 ，則有注：(1)方陣稱為向量組的Gram矩陣，或度量矩陣。(2)線性無關的充要條件是。(3)對稱正定。因為方陣(4)若,則表示長度的平方；時,則,表示面積的平方；呢？(5)若是規范正交基，則，內積。即向量內積等于坐標的內積，計算簡單，所以內積空間的基常采用規范正交基。另外，在規范正交基下向量的坐標的計算簡單不需要解線性方程組就能得到,即.設是內積空間

8、的一個子空間。顯然也是一個內積空間。如果的一個向量與的每一個向量正交，則稱與正交，記為。對于中的兩個子空間，如果任取，都有，即，則稱與是互相正交的。記為。定義10設為中的子空間，記容易證明也是線性空間，稱為的正交補空間。定理7設為矩陣。記為滿足條件且具有最大秩的矩陣，則證明設；反之，.推論：；.證明：只證第一式,因為把第一式中的看成即得第二式.由.和證畢.對于一個線性空間，如果存在個子空間，使得對任意，可唯一地分解為,則稱為的直和，記為，若進一步假設，對任意的，有，則稱為的正交直和，記為，特別，對于中子空間都成立。設則；若進一步假設則容易證明。容易證明對于內積空間的子空間有下面的性質(1);(2);(3);(4).定理8對任意矩陣，恒有。證明顯然,故只