1、旋轉(zhuǎn)矢量引言：前面介紹了用數(shù)學表達式及曲線表示簡諧運動中位移和時間的關(guān)系。本 節(jié)將介紹用旋轉(zhuǎn)矢量表示位移和時間的關(guān)系。引入旋轉(zhuǎn)矢量的優(yōu)點：1 )形象地了解簡諧運動的各個物理量；2) 為簡諧運動的合成提供了最簡捷的研究方法。一、旋轉(zhuǎn)矢量圖示法：y一長度為A的矢量A在XOY平面內(nèi)繞0點沿逆時針方向旋轉(zhuǎn)，其角速度為3 ,在t=0時，/矢量與X軸的夾角為0;這樣的矢量稱為旋轉(zhuǎn)矢/量。在任意時刻，矢量A與X軸的夾角為°；*ti/t+® , A的矢端M在軸上的投影為7L /x = Acos( t 。而是旋轉(zhuǎn)矢量的矢端在X軸上的投影即:旋轉(zhuǎn)矢量本身并不作簡諧運動, 點在作簡諧運動。在旋轉(zhuǎn)

2、矢量的轉(zhuǎn)動過程中，矢端 作勻速圓周運動，此圓稱為參考圓。二、旋轉(zhuǎn)矢量與簡諧運動的關(guān)系： 簡諧振動的方程x=Acos( 3 t+ 0 )根據(jù)幾何學原理可以 把它看作一旋轉(zhuǎn)著的矢量 A在x軸上 的投影。振幅矢量轉(zhuǎn)動一周，相當于 振動一個周期。當一矢量A繞其一端點o以角速 度旋轉(zhuǎn)時，另一端點在 x軸或y軸上的投影點上將作簡諧振動。設(shè)t=0時，A與x軸夾角為申,t時刻，A轉(zhuǎn)過國t角，則矢量端點在 x軸 上投影點坐標為 x =Asin ( wt+ 0)。顯然投影點作簡諧振動的振幅、圓頻率、初相與A矢量大小、旋轉(zhuǎn)角速度、初始A與x軸夾角一一對應。當然，投影點的速度和加速度也與簡諧振動的速 度和加速度相對應

3、。A<>振幅B<>圓頻率0<>初相位wt+ 0 <> 相位三、旋轉(zhuǎn)矢量的應用: 1作振動圖（演示）:旋轉(zhuǎn)矢量圖及簡詣運動的x-t圖用旋轉(zhuǎn)矢量A來表示簡諧振動形象直觀， 目了然，在以后分析兩個以上諧振動合成時十分有 用和方便。2 求初相位：如圖，質(zhì)點在x=A/2處向右運動，=-二/3 質(zhì)點在x=A/2處向左運動，二/3質(zhì)點在x=-A/2處向右運動，= 2二/3質(zhì)點在x=-A/2處向左運動，= 2二/33. 可以用來求速度和加速度：矢端 M 的速度與加速度大小為VM =J：A、 aM =2 A，在X軸上的投影為v vM sin（ t J = _ As

4、in（ t ）a = -aM cos（ t - 2 Acos（ t ）4. 振動的合成（第6節(jié)內(nèi)容） 例：一個質(zhì)點沿x軸作簡諧運動，振幅 A= 0.06m,周期T= 2s，初始時刻質(zhì)點位 于x°= 0.03m處且向x軸正方向運動。求：（1 ）初相位；（2）在x=-0.03m處且 向向x軸負方向運動時物體的速度和加速度以及質(zhì)點從這一位置回到平衡位置 所需要的最短時間。解：（1）取平衡位置為坐標原點，質(zhì)點的運動方程可寫為x = Acogt + ® ）2兀 2兀/依題意，有 A=0.06m, T=2s,則rad sT 2在 t=0 時，x0 = Acos* =0.06cos 二

5、0.03mv0 二 -A、sin 0因而解得-3故振動方程為x =0.06 cos(SI)用旋轉(zhuǎn)矢量法，則初相位在第四象限，故3(2) t *時,x0.06cos 4匕0.03113二ti -為第二象限角，故:ti3ti=1s，因而速度和加速度為dxv =dt t去-0.06二 sind2xdtx軸負方向運動到平衡位-0.30m s'3從x=- 0.03m處且向向置，意味著旋轉(zhuǎn)矢量從 所需要的最短時間滿足Mi點轉(zhuǎn)到M2點，因而5H故At =0.83s兀6可見用旋轉(zhuǎn)矢量方法求解是比較簡單的。單擺與復擺引言：實際發(fā)生的振動問題并不象彈簧振子那么簡單，大多數(shù)比較復雜；例如1）回復力不一定是彈

6、性力，而是重力，浮力等其它性質(zhì)的力；2）合外力可能是非線性力，只有在一定的條件下，才能近似當作線性回復力。 此時研究問題的方法一般為：根據(jù)問題的性質(zhì)，突出主要因素，建立合理的物 理模型，使計算簡化。下面討論兩個實際振動問題的近似處理。、單擺數(shù)學擺（Mathematical Pendulum）1 概念：單擺是一個理想化的振動系統(tǒng)：它是由一根 無彈性的輕繩掛一個質(zhì)點構(gòu)成的。若把質(zhì)點從平衡位 置略為移開，那么質(zhì)點就在重力的作用下，在豎直平 面內(nèi)來回擺動。擺錘重物擺線一一細繩平衡位置一一0點2 動力學方程討論擺錘所受的力，有重力 mg,繩的拉力T,合 力即為擺錘所受的回復力為：F mgsi n當 0

7、很小時（0 <5）, sin 00因而F=-mg 0與角位移成正比xmg x-mg = xllmg/l相當于彈簧振子的k2 k g « = m lx = x0 cos t "又因為擺錘沿圓弧運動，x =丨二, x x/丨，近似在水平方向上運動。因而F故單擺作簡諧運動，因而單擺的圓頻率為3 運動學方程和周期單擺的振動方程為T= 2振幅xo和初相0由初始條件確定。由簡諧運動的周期公式得單擺的周期為 4說明:1）單擺的合外力與彈性力類似，但本質(zhì)不同，稱為準彈性力；2）單擺的周期與單擺的質(zhì)量無關(guān)；3）若單擺的振幅不是很小時，周期的一般表達式為I 4丄 12“1324“.T=2

8、1+2sin 22 sin 一 ：i-V g I22222 422式中0 m為最大擺角，并且含有 0 m的各項逐漸減??； 當0 m<150時，實際周期與理想周期的誤差不超過0.5%。4）單擺可以當作計時器；T,則5）單擺提供了一種測量重力加速度的簡便裝置，只要測出周期T24二 2|5 單擺的頻率所以復擺也是作簡諧運動。3周期與頻率二、復擺物理擺（Physical Pendulum）1概念：質(zhì)量為 m的任意形狀物體，被支持在 無摩擦的與紙面垂直的水平軸0上，將它拉開-個微小的角度0后釋放。如忽略阻力與摩擦力， 則物體將繞軸 0作微小的自由擺動 一一復擺。2 運動方程重力矩：M=-mglsi

9、n 0 -mgl 0當 0 很小時（0 <5°）, sin 00根據(jù)轉(zhuǎn)動定律，可得2 .mgl 日=J P = J 2亡+哩6=0 dt2 J2 _ mglCO Jd 2 + =odtT =2爲4.應用1）測重力加速度：要求已知 J, I，測Ttg2） 測轉(zhuǎn)動慣量：如果測出擺的質(zhì)量， 重心到轉(zhuǎn)軸的距離以及單擺的周期，就可 以得此物體系統(tǒng)繞該軸轉(zhuǎn)動得轉(zhuǎn)動慣量。有些形狀復雜得物體得轉(zhuǎn)動慣量，用數(shù)學方法進行計算比較困難，有時甚至是不可能得，但用振動方法可以測定（要 求已知g, l，測Ttj）。簡諧運動的能量引言：作簡諧運動的系統(tǒng), 的和。除具有動能外，還具有勢能，其能量是動能和勢能一

10、、簡諧運動的能量1 .能量表達式 以彈性振子為例。假設(shè)在x = Acos tt時刻質(zhì)點的位移為x,速度為v,則+ <P v - -A sinit u i11則系統(tǒng)動能為：Ekmv2mA22 si n2Qt'：i2211系統(tǒng)動能為：E p kx2= kA2 cos2 7亠門i22因而系統(tǒng)的總能量為1 2 2 2 E = Ek + Ep mA - sin k pk 考慮到=一，貝ym1 2212E = mA = kA22 2即彈簧振子作簡諧運動的能量與 振幅的平方成正比。由于系統(tǒng)不受外力作用，并且內(nèi) 力為保守力，故在簡諧運動的過程中， 動能與勢能相互轉(zhuǎn)化，總能量保持不變。 說明：1.

11、 E*A2，對任何簡諧運動皆成立；2 .動能與勢能都隨時間作周期性變化， 變化頻率是位移與速度變化頻率的兩倍， 而總能量保持不變；且總能量與位移無 關(guān)。動能Ek=E-Ep2. 能量曲線注意理解能量守恒和動能、勢能相互轉(zhuǎn)化過程。由能量守恒關(guān)系可得：k A2/2= mvo2/2+ kxo2/2,解之即得:1 n2+ kA cos t :20di '-40+AT TA = ,'x2 -、能量平均值定義：一個隨時間變化的物理量 f(t)，在時間T內(nèi)的平均值定義為1f f tdtI 0因而彈簧振子在一個周期內(nèi)的平均動能為JkA24 1 1 2 2 2 1 2 2EkmA - si nUt

12、 dt mA - T 024因而彈簧振子在一個周期內(nèi)的平均勢能為=1 mA?國 24一 1 T 1 2 2 1 2Ep= -kA2 cos2 t " dtkA2P To24結(jié)論：簡諧運動的動能與勢能在一個周期內(nèi)的平均值相等，它們都等 于總能量的一半。三、應用在忽略阻力的條件下，作簡諧運動的系統(tǒng)只有動能和勢能（彈性勢能和重 力勢能），且二者之和保持不變，因而有d t、Ek Ep =0 dt將具體問題中的動能與勢能表達式代入上式，經(jīng)過簡化后，即可得到簡諧 運動的微分方程及振動周期和頻率。這種方法在工程實際中有著廣泛的應用。此方法對于研究非機械振動非常方便。 例1 用機械能守恒定律求彈簧振

13、子的運動方程。 解：彈簧振子在振動過程中，機械能守恒，即12 1 2 12mv -kx kA = C2 2 2兩邊對時間求導，得1m 2vdv2xdx=odt 2 dtd x丄|門m v 2k xv = 0dtd2xkx =0dt md2xdt2其解為x = A cos t 用'代入守恒方程可得A=A'例2 勁度系數(shù)為k、原長為I、質(zhì)量為m的勻質(zhì)彈簧，一端固定，另一端系 質(zhì)量為M的物體，在光滑的水平面上作直線運動，求其運動方程。解：取物體受力平衡位置0為坐標原點，向右為 x軸正方向，如圖所示，設(shè)當dm=mdS/l，位移為 Sx/l，速度為(S/l)(dx/dt),m<M且

14、振幅不大。這樣，彈簧上各 點隨物體作同相運動，固定端振幅 為零，與物體相連的一端振幅與物 體的振幅相同，各點的位移與到固 定端的距離S成正比(0< S< l)。物體位于S處時，取微元dS,其質(zhì)量為而dx/dt=v正是物體運動的速度。若忽略阻力，則系統(tǒng)機械能守恒。當物體位 于x處時，彈簧的動能與物體的動能分別為= 1mv21 2Ek11 m dS Svo2 l J61 2 Ek2 Mv2系統(tǒng)的勢能為Ep J kx22根據(jù)機械能守恒定律，有1 2 1 2 + Mv + kx = con st2 21 2 12 亠一m v + kx = const3丿 21 2 mv612將上式對時間求導，整理后可得M 十一m I + kx = 0、3 丿 dt或?qū)懗蒬2x 丄 22 + x = 0dt21 ' k/ M m I<3丿M m/3可見，當彈簧質(zhì)量遠小于物體的質(zhì)量時，且系統(tǒng)作微小運動時，彈簧振子的運 動可以認為是簡諧運動，振動周期為2兀 T2 二co V k可見，周期比不計彈簧質(zhì)量時要大。不過當m=M時，與嚴格計算結(jié)果相比較,誤差也是不大于1 %。例 質(zhì)量為0.1G kg的物!以撮緬L0X10'3 m作簡諧運動，其冊大加連度為 4 0 m*s-3(1)