1、第二十五講 奇數、偶數與奇偶分析整數按能否被2整除分為兩大類：奇數和偶數，奇數與偶數有下列基本性質：1奇數偶數2兩個整數相加(減)或相乘，結果的奇偶性如下表所示 3若干個奇數之積是奇數，偶數與任意整數之積是偶數；偶數個奇數的和為偶數，若干個偶數的和為偶數4設m、n是整數，則m土n，的奇偶性相同 5設m是整數，則m與，mn的奇偶性相同奇偶性是整數的固有屬性，通過分析整數的奇偶性來解決問題的方法叫奇偶分析法例題 【例1】 三個質數之和為86，那么這三個質數是 (“希望杯”邀請賽試題)思路點撥 運用奇數、偶數、質數、合數性質，從分析三個加數的奇偶性人手 注： 18世紀的哥尼斯堡，有7座橋把這兒的普雷

2、格爾河中兩個小島與河岸聯系起來，在這迷人的地方，人們議論著一個有趣的問題一個游人怎樣才能不重復地一次走遍7座橋，而最后又回到出發點 1736年彼得堡院士歐拉巧妙地解決了這個問題歐拉把一個復雜的實際問題化為一個簡單的幾何圖形，他指出只要我們能從一點出發，不重復地一筆把這樣的圖形畫出來，那么就可說明游人能夠不重復地一次走遍這7座橋，這就是著名的“一筆畫”問題的來歷利用奇偶分析不難得到一般的結論：凡是能一筆畫成的圖形，它上面除了起點和終點外的每一個點總是一筆進來，一筆出去因此，除了起點和終點外的每一個點都有偶數條線和它相連 簡單地說，當且僅當圖形中的奇結點(每點出發有奇數字線)的個數不大于2時，這個

3、圖形才能一筆畫【例2】 如果a、b、c是三個任意的整數，那么（ ） A都不是整數 B至少有兩個整數 C至少有一個整數 D都是整數 (2001年TI杯全國初中數學競賽題)思路點撥 舉例驗證或從a、b、c的奇偶性說明 【例3】 (1)設1，2，3，9的任一排列為al，a2，a3，a9求證：(all一1)( a2 2)(a99)是一個偶數 (2)在數11，22，33，44，54，20022002，20032003，這些數的前面任意放置“+”或“一”號，并順次完成所指出的運算，求出代數和，證明：這個代數和必定不等于2003思路點撥 (1)轉換角度考察問題，化積的奇偶性為和的奇偶性來研究；(2)由于任意

4、添“十”號或“一”號，形式多樣，因此不可能一一嘗試再作解答，從奇數、偶數的性質人手【例4】已知都是+1或一1，并且，求證：n是4的倍數 思路點撥 可以分兩步，先證n是偶數2k，再證明k是偶數，解題的關鍵是從已知等式左邊各項的特點受到啟發，挖掘隱含的一個等式 【例5】 游戲機的“方塊”中共有下面?種圖形每種“方塊”都由4個l×l的小方格組成現用這7種圖形拼成一個7× 4的長方形(可以重復使用某些圖形) 問：最多可以用這7種圖形中的幾種圖形? 思路點撥 為了形象化地說明問題，對7×4的長方形的28個小方格黑白相間染色，除“品字型”必占3個黑格1個白格或3個白格1個黑格

5、，其余6個方格各占2個黑格2個白格 注：對同一個數學對象，從兩個方向考慮(n項和與積)，再將這兩個方面合在一起整體考慮，得出結論，這叫計算兩次原理，通過計算兩次可以建立方程，證明恒等式等 在一定的規則下，進行某種操作或變換，問是否(或證明)能夠達到一個預期的目的，這就是所謂操作變換問題，此類問題變化多樣，解法靈活，解題的關鍵是在操作變換中，挖掘不變量，不變性一些非常規數字問題需要恰當地數學化，以便計算或推理引入字母與賦值法是數學化的兩種常用方式方法所謂賦值法就是在解題時，將問題中的某些元素用適當的數表示，然后利用這些數值的大小，正負性、奇偶性等進行推理論證的一種解題方法 【例6】桌上放著七只杯

6、子；杯口全朝上，每次翻轉四個杯子：問能否經過若干次這樣的翻動，使全部的杯子口都朝下? 思路點撥 這不可能我們將口向上的杯于記為：“0”，口向下的杯子記為“1”開始時，由于七個杯子全朝上，所以這七個數的和為0，是個偶數一個杯子每翻動一次，所記數由0變為1，或由l變為0，改變了奇偶性每一次翻動四個杯子，因此，七個之和的奇偶性仍與原來相同所以，不論翻動多少次，七個數之和仍為偶數而七個杯子全部朝下，和為7，是奇數，因此，不可能 整數可以分為奇數和偶數兩類 【例7】在1，2，3，2005前面任意添上一個正號或負號，它們的代數和是奇數還是偶數? 思路點撥 兩個整數之和與這兩個整數之差的奇偶性相同，只要知道

7、1+2+3+2005的奇偶性即可 因兩個整數的和與差的奇偶性相同，所以，在1，2，3，2005中每個數前面添上正號或負號，其代數和應與1+2+3+2005的奇偶性相同，而1+2+3+2005=(1+ 2005)×2005=1003 ×2005為奇數；因此，所求代數和為奇數 注：抓住“a+b與ab奇偶性相同”，通過特例1十2十3十十2005得到答案 【例8】“ 元旦聯歡會上，同學們互贈賀卡表示新年的：良好祝愿“無論人數是什么數，用來交換的賀卡的張數總是偶數”這句話正確嗎?試證明你的結論 思路點撥 用分類討論的思想方法，從“無論人數是什么數”入手，考慮人數為奇數或偶數的兩種情況

8、 這句話是正確的下面證明之 若聯歡會上的人數為偶數，設為2m (m為整數)，則每個人贈送給同學們的賀卡張數為奇數，即(2m1)那么，賀卡總張數為2m(2m1)=4m2-2m，顯然是偶數 若聯歡會上的人數為奇數，設為2m+1(m為整數，則每個人贈送給同學們的賀卡張數應是2m，為偶數賀卡總張數為(2m+1)·2m，仍為偶數 故“用來交換的賀卡張數總是偶數”是對的 注：按奇數和偶數分類考慮問題是常見的解決此類問題的策略之一 【例9】桌面上放有1993枚硬幣，第1次翻動1993枚，第2次翻動其中的1992枚，第3次翻動其中的1991枚，第1993次翻動其中一枚，試問：能否使桌面上所有的199

9、3枚硬幣原先朝下的一面都朝上?并說明理由 思路點撥 若要把一枚硬幣原先朝下的一面朝上，應該翻動該硬幣奇數次因此，要把1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上，應該翻動這1993枚硬幣的總次數為奇數現在1993次翻動的總次數為1+2+3+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997是個奇數，故猜想可以使桌面上1993枚硬幣原先朝下的一面都朝上 理由如下：按規定，1993次翻動的總次數為1+2+3+1993=1993×(1+1993)/2=1993×997，所以翻動的次數為奇數，而且可見每個硬幣平均翻動了997次而事實上，只要翻動一枚硬幣奇數次，就能

10、使這枚硬幣原先朝下的一面朝上按如下的方法進行翻動： 第1次翻動全部1993枚， 第2次翻動其中的1992枚，第1993次翻動第2次未翻動的那1枚， 第3次翻動其中的1991枚，第1992次翻動第3次未翻動的2枚， 第997次翻動其中的997枚，第998次翻動第997次未翻動的996枚 這樣，正好每枚硬幣被翻動了997次，就能使每一枚硬幣原來朝下的一面都朝上 注：靈活、巧妙地利用奇倆性分析推理，可以解決許多復雜而有趣的問題，并有意想不到的效果 【例10】在6張紙片的正面分別寫上整數：1、2、3、4、5、6，打亂次序后，將紙片翻過來，在它們的反面也隨意分別寫上1-6這6個整數，然后，計算每張紙片的

11、正面與反面所寫數字之差的絕對值，得出6個數請你證明：所得的6個數中至少有兩個是相同的 思路點撥 從反面人手，即設這6個數兩兩都不相等，利用與 (=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同，引入字母進行推理證明 設6張卡片正面寫的數是，反面寫的數對應為，則這6張卡片正面寫的數與反面寫的數的絕對值分別為，設這6個數兩兩都不相等，則它們只能取0，1，2，3，4，5這6個值 于是+=0+1+2+3+4+5=15是個 奇數另一方面，與 (=1，2，3，4，5，6)的奇偶性相同所以+與(a1一b1)+(a2一b2)+(a3一b3)+(a4一b4)+(a5一b5)+(a6一b6)= 一 =(1+2+3+4+5+

12、6)一(1+2+3+4+5+6)=O的奇偶性相同，而0是個偶數，15是奇數，兩者矛盾 所以，這6個數中至少有兩個是相同的 注：反證法是解決奇、偶數問題中常用的方法 【例11】有一只小渡船往返于一條小河的左右兩岸之間，問： (1)若最初小船是在左岸，往返若干次后，它又回到左岸，那么這只小船過河的次數是奇數還是偶數? 如果它最后到了右岸，情況又是怎樣呢? (2)若小船最初在左岸，它過河99次之后，是停在左岸還是右岸? 思路點撥 (1)小船最初在左岸，過一次河就到了右岸，再過一次河就由右岸回到左岸，即每次由左岸出發到右岸后再回到左岸，都過了兩次河因此，小船由左岸開始，往返多次后又回到左岸，則過河的次

13、數必為2的倍數，所以是偶數同樣的道理，不難得出，若小船最后停在右岸，則過河的次數必為奇數 (2)通過(1)，我們發現，若小船最初在左岸，過偶數次河后，就回到左岸；過奇數次河后，就停在右岸現在小船過河99次，是奇數次因此，最后小船該停在右岸 注 關鍵是對過河次數的理解：一個單程，即由左岸到右岸(或由右岸到左岸)就過河一次；往返一個來回就過河兩次 【例12】黑板上寫了三個整數，任意擦去其中一個，把它改寫成另兩個數的和減去1，這樣繼續下去，得到1995、1996、1997，問原來的三個數能否是2、2、2？ 思路點撥 如果原來的三個整數是2、2、2，即三個偶數，操作一次后，三個數變成二偶一奇，這時如果

14、擦去其中的奇數，操作后三個數仍是二偶一奇如果擦去的是其中的一個偶數，操作后三個數仍是二偶一奇因此，無論怎樣操作，得到的三個數都是二偶一奇，不可能得到1995、1996、1997 所以，原來的三個數不可能是2、2、2注 解決本題的訣竅在于考查數字變化后的奇偶性【例13】(蘇州市中考題)將正偶數按下表排成五列： 第1列 第2列 第3列 第4列 第5列 第1行 2 4 6 8 第2行 16 14 12 10 第3行 18 20 22 24 28 26 根據上面的排列規律，則2000應位于( )A第125行，第1列 B第125行，第2列 C第250行，第1列 D第250行，第2列 思路點撥 觀察表格，

15、第1行最右邊的數為8，第2行最左邊的數為16，第3行最右邊的數為24，于是可猜測：當行數為奇數時，該行最右邊的數為8×行數；當行數為偶數時，該行最左邊的數為8×行數通過驗證第4行、第5行、第6行知，上述猜想是正確的，因為2000=8×250，所以2000應在第250行，又因為250為偶數，故2000應在第250行最左邊，即第250行第1列，故應選C 注：觀察、尋找規律是解決這類問題的妙招 【例14】(2000年山東省競賽題)如圖181，兩個標有數字的輪子可以分別繞輪子的中心旋轉，旋轉停止時，每個輪子上方的箭頭各指著輪子上的一個數字若左輪子上方的箭頭指著的數字為a，

16、右輪子上方的箭頭指著的數字為b，數對(a，b)所有可能的個數為n，其中a+b恰為偶數的不同數對的個數為m，則等于( ) A B C D 思路點撥 依題意可知所有的數對n=4×3=12，其中a+b恰為偶數的數對m=3×1+1×2=5因此，=，故選C 【例15】(第江蘇省競賽題)已知a、b、c中有兩個奇數、一個偶數，n是整數，如果S=(a+2n+1)(b+2n十2)(c+2n十3)，那么( )AS是偶數 BS是奇數 CS的奇偶性與n的奇偶性相同 D S的奇偶性不能確定 思路點撥 弄清a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3的奇偶性即可依題得：(a+2n+1)+(b+2

17、n+2)+(c+2n+3)=a+b+c+6(n+1) a+b+c為偶數，6(n+1)為偶數， a+b+c+6(n+1)為偶數 a+2n+1，b+2n+2，c+2n+3中至少有一個為偶數，S是偶數故選A 注：三個數的和為偶數，則至少有一個為偶數；三個數中有一個為偶數，則三數之和為偶數 學力訓練1若按奇偶性分類，則12+22+32+20022002是 數2能不能在下式， 的各個方 框中分別填入“+”號或“一”號，使等式成立?答： 3已知三個質數a、b、c滿足a+b+c+abc99，那么的值等于 4已知n為整數，現有兩個代數式：(1)2n+3，(2)4n一1，其中，能表示“任意奇數”的( ) A只有

18、(1) B只有(2) C有(1)和(2) D一個也沒有5如果a，b，c都是正整數，且a，b是奇數，則3a+(b一1)2c是( ) A只當c為奇數時，其值為奇數 B只當c為偶數時，其值為奇數 C只當c為3的倍數，其值為奇數 D無論c為任何正楚數，其值均為奇數6已知a，b，c 三個數中有兩個奇數、一個偶數，n是整數，如果S=(a+n+1)(b+ 2n+2)(c+3n+3)，那么( )A S是偶數 BS是奇數 CS的奇偶性與n的奇偶性相同 DS的奇偶性不能確定(第16屆江蘇省競賽題)7(1)是否有滿足方程x2y2=1998的整數解x和y?如果有，求出方程的解；如果沒有，說明理由 (2)一個立方體的頂

19、點標上+1或一1，面上標上一個數，它等于這個面的4個頂點處的數的乘積，這樣所標的14個數的和能否為0?8甲、乙兩人玩紙牌游戲，甲持有全部的紅桃牌(A作1，J，Q，K分別作11，12，13，不同)，乙持有全部的黑桃牌，兩人輪流出牌，每次出一張，得到一對牌，出完為止，共得到13對牌，每對牌彼此相減，問這13個差的乘積的奇偶性能否確定?9在1，2，3，,1998之前任意添上“十”或“一”號，然后相加，這些和中最小的正整數是 101，2，3，98共98個自然數，能夠表示成兩整數平方差的數的個數是 (全國初中數學聯賽試題)11在一次象棋比賽中，每兩個選手恰好比賽一局，每局贏者記2分，輸者記0分，平局每個選手各記1分，今有4個人統計百這次比賽中全部得分總數，由于有的人粗心，其數據各不相同，分別為1979，1980，1984，1985，經核實，其中有一人統計無誤，則這次比賽共有 名選手參加12已知p、q、pq+1都是質數，且p一q>40，那么滿足上述條件的最小質數p ；q (第15屆“希望杯”邀請賽試題)13設a，b為整數，給出下列4個結論： (1)若a+5b是偶數，則a一3b是偶數； (2)若a十5b是偶數，則a一3b是奇數；(3)若a+5b是奇數