1、第十七章勾股定理17、1勾股定理1、勾股定理:如果直角三角形兩直角邊長分別為a、b,斜邊長為c,那么勾股定理得證明:方法一:,化簡可證.方法二:四個直角三角形得面積與小正方形面積得與等于大正方形得面積.四個直角三角形得面積與小正方形面積得與為大正方形面積為方法三:,化簡得證17、2勾股定理得逆定理2、勾股定理得逆定理:如果三角形得三邊長a、b、c滿足,那么這個三角形就是直角三角形、3、互逆命題得概念如果一個命題得題設與結論分別就是另一個命題得結論與題設,這樣得兩個命題叫做互逆命題、如果把其中一個叫做原命題,那么另一個叫做它得逆命題、4、勾股數(shù):能夠構成直角三角形得三邊長得三個正整數(shù)稱為勾股數(shù),

2、即中,為正整數(shù)時,稱,為一組勾股數(shù)常見得勾股數(shù)有:3、4、5;6、8、10;5、12、13;7、24、25等例、在RtAABC中,a=3,b=4,求c.錯解由勾股定理,得c=5診斷這里默認了/C為直角.其實，題目中沒有明確哪個角為直角，當b>a時,/B可以為直角，故本題解答遺漏了這一種情況.當/B為直角時,c=例、已知RtAABC中，/B=RT/,a=,c=，求b、錯解由勾股定理,得DB診斷這里錯在盲目地套用勾股定理“a2+b2=c2”.殊不知，只有當/C=Rt/時，a2+b2=c2才能成立，而當/B=Rt/時，則勾股定理得表達式應為a2+c2=b2.正確解答./B=Rt/,由勾股定理知

3、a2+c2=b2.b=例、若直角三角形得兩條邊長為6cm、8cm,則第三邊長為.錯解設第三邊長為xcm.由勾股定理，得x2=62+82.x=10即第三邊長為10cm.診斷這里在利用勾股定理計算時，誤認為第三邊為斜邊，其實題設中并沒有說明已知得兩邊為直角邊，第三邊可能就是斜邊，也可能就是直角邊.正確解法設第三邊長為xcm.若第三邊長為斜邊，由勾股定理，得x=10(cm)若第三邊長為直角邊，則8cm長得邊必為斜邊，由勾股定理，得x=(cm)因此，第三邊得長度就是10cm或者cm、例、如圖，已知RtABC中，/BAC=90°,AD就是高,AM就是中線，且AM=BC=AD、又RTAABC得周

4、長就是(6+2)cm、求AD.錯解.ABC就是直角三角形，1 .AC:AB:BC=3:4:52 .AC:AB:BC=3：4：5.3 .AC=(6+2)=,AB=(6+2)=,BC=(6+2)=又丁=AD=(3+)(cm)診斷我們知道，“勾三股四弦五”就是直角三角形中三邊關系得一種特殊情形，并不能代表一般得直角三角形得三邊關系.上述解法犯了以特殊代替一般得錯誤.正確解法:AM=MD=X/MC=MA,.1.CD=MD.點C與點M關于AD成軸又稱.AC=AM,，/AMD=60°=ZC./B=30°,AC=BC,AB=BCAC+AB+BC=BC+BC+BC=6+、BC=4.BC=A

5、D,.-AD=(cm)例、在ABC中,a：b：c=9：15：12,試判是叢ABC就是不就是直角三角形.錯解依題意，設a=9k,b=15k,c=12k(k>0).a2+b2=(9k)2+(15k)2=306k2,c2=(12k)2=144k2,a2+b2wc2ABC不就是直角三角形.診斷我們知道“如果一個三角形最長邊得平方等于另外兩邊得平方與，那么這個三角形就是直角三角形”而上面解答錯在沒有分辨?#楚最長邊得情況下，就盲目套用勾股定理得逆定理.正確解法由題意知b就是最長邊.設a=9k,b=15k,c=12k(k>0).a2+c2=(9k)2+(12k)2=81k2+144k2=225

6、k2b2=(15k)2=225k2,.,.a2+c2=b2.ABC就是直角三角形.例、已知在ABC中,AB>AC,AD就是中線，AE就是高.求證:AB2AC2=2BC-DE錯證如圖.1 .AEXBC于E,2 .AB2=BE2+AE2,AC2=EC2+AE2.3 .AB2AC2=BE2EC2=(BE+EC)(BEEC)=BC-(BE-EC).4 BD=DC,.1.BE=BCEC=2DCEC.AB2AC2=BC-(2DC-EC-EC)=2BC-DE.診斷題設中既沒明確指出ABC得形狀，又沒給出圖形，因此，這個三角形有可能就是銳角三角形，也可能就是直角三角形或鈍角三角形.，高AE既可以在形內(nèi)，也可以與一邊重合，還可以在形外，這三種情況都符合題意.而這里僅只證明了其中得一種情況,這就犯了以偏概全得錯誤、剩下得兩種情況如圖所示、,正確證明由讀者自己完成.例、已知在ABC中，三條邊長分別為a,b,c,a=n,b=1,c=(n就是大于2得偶數(shù)卜求證：4ABC就是直角三角形、錯證1:n就是大于2得偶數(shù)，取n=4,這日a=4,b=3,c=5.:a2+b2=42+32=25=52=c2,.AB