1、函數復習主要知識點一、函數的概念與表示 1、映射與函數（1）映射：設，如果按照某種映射法則f，對于集合A中的任一個元素，在集合B中都有唯一的元素和它對應，則這樣的對應（包括集合A、B以及A到B的對應法則f）叫做集合A到集合B的映射，記作f：AB。（2）函數是特殊的映射：f：AB（A、B是兩個 集）注意點：（1）對映射定義的理解。（2）判斷一個對應是映射的方法。一對多不是映射， 是映射2、函數:（1）函數記法及理解; :（2）構成函數概念的三要素 定義域對應法則值域兩個函數是同一個函數的條件：三要素有兩個相同（3）函數的三種表示法： （4）幾種常見函數的三要素 （1）一次函數 、（2）二次函數

2、（3）反比例函數 （4）指數函數 （5）對數函數 （6）三角函數 （7）冪函數 特例 ，熱練：1、下列各對函數中，相同的是 （ ）A、 B、 C、 D、f（x）=x，2、給出下列四個圖形，其中能表示從集合M到集合N的函數關系的有 （ ）A、 0個 B、 1個 C、 2個 D、3個xxxx1211122211112222yyyy3OOOO3函數y=定義域是（ ）A、 B C D其它函數如雙鉤函數，分段函數，復合函數，抽象函數等也涉及二、函數的解析式與定義域（1）求 函 數 解 析 式 的 幾 種形式 例1 設是一次函數，且，求待定系數法：在已知函數解析式的構造時，可用待定系數法。例2 已知 ，求

3、 的解析式配湊法：已知復合函數的表達式，求的解析式，的表達式容易配成的運算形式時，常用配湊法。但要注意所求函數的定義域不是原復合函數的定義域，而是的值域。例3 已知，求 及的解析式換元法：已知復合函數的表達式時，還可以用換元法求的解析式。與配湊法一樣，要注意所換元的定義域的變化。例4已知：函數的圖象關于點對稱，求的解析式解：設為上任一點，且為關于點的對稱點 則，解得： ，點在上 把代入得： 整理得 代入法：求已知函數關于某點或者某條直線的對稱函數時，一般用代入法。例5 設求例6 設為偶函數，為奇函數，又試求的解析式構造方程組法：若已知的函數關系較為抽象簡約，則可以對變量進行置換，設法構造方程組

4、，通過解方程組求得函數解析式。例7 已知：，對于任意實數x、y，等式恒成立，求解對于任意實數x、y，等式恒成立，不妨令，則有 再令 得函數解析式為：賦值法：當題中所給變量較多，且含有“任意”等條件時，往往可以對具有“任意性”的變量進行賦值，使問題具體化、簡單化，從而求得解析式。七、遞推法：若題中所給條件含有某種遞進關系，則可以遞推得出系列關系式，然后通過迭加、迭乘或者迭代等運算求得函數解析式。例8 設是定義在上的函數，滿足，對任意的自然數 都有，求 解 ，不妨令，得：，又 分別令式中的 得： 將上述各式相加得：， 1、求函數定義域的主要依據：（1）分式的分母不為零；（2）偶次方根的被開方數不小

5、于零，零取零次方沒有意義；（3）對數函數的真數必須大于零；（4）指數函數和對數函數的底數必須大于零且不等于1； 6.（05江蘇卷）函數的定義域為2求函數定義域的兩個難點問題（1） （2） 例2設，則的定義域為_變式練習：，求的定義域。 變式三、函數的值域1求函數值域的方法直接法：從自變量x的范圍出發，推出y=f(x)的取值范圍，適合于簡單的復合函數；換元法：利用換元法將函數轉化為二次函數求值域，適合根式內外皆為一次式；判別式法：運用方程思想，依據二次方程有根，求出y的取值范圍；適合分母為二次且R的分式；分離常數：適合分子分母皆為一次式（x有范圍限制時要畫圖）；單調性法：利用函數的單調性求值域；

6、圖象法：二次函數必畫草圖求其值域；利用對號函數幾何意義法：由數形結合，轉化距離等求值域。主要是含絕對值函數1（直接法）2 3（換元法）4. （法） 5. 6. (分離常數法) 7. (單調性)8.， (結合分子/分母有理化的數學方法)9(圖象法)10(對勾函數) 11. (幾何意義)一、選擇題1判斷下列各組中的兩個函數是同一函數的為（ ），；，；，；，；，。A、 B、 C D、2函數的圖象與直線的公共點數目是（ ）A B C或 D或3已知集合，且使中元素和中的元素對應，則的值分別為（ ）A B C D4已知，若，則的值是（ ）A B或 C，或 D5已知函數定義域是，則的定義域是（ ）A B.

7、C. D. 6函數的值域是（ ）A B C D7已知，則的解析式為（ ）A B C D8若集合，則是( )A B. C. D.有限集9函數的圖象是（ ）10若函數的定義域為,值域為，則的取值范圍是（ ）A B C D11若函數，則對任意實數，下列不等式總成立的是（ ）A BC D12函數的值域是（ ）A B C D 二、填空題1若函數，則= .2函數的值域是 。3設函數，當時，的值有正有負，則實數的范圍 。4設函數則實數的取值范圍是 。5函數的定義域是_。三、解答題1求下列函數的定義域（1） （2）（3） （4）2求下列函數的值域（1） （2） （3） （4）3.求函數的值域。4設是方程的兩實

8、根,當為何值時, 有最小值?求出這個最小值.5利用判別式方法求函數的值域。6已知為常數，若則求的值。7對于任意實數，函數恒為正值，求的取值范圍。四函數的奇偶性1定義:設y=f(x)，xA，如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為偶函數。如果對于任意A，都有，則稱y=f(x)為奇函數。2.性質：y=f(x)是偶函數y=f(x)的圖象關于軸對稱, y=f(x)是奇函數y=f(x)的圖象關于原點對稱,若函數f(x)的定義域關于原點對稱，則f(0)=0奇±奇=奇 偶±偶=偶 奇×奇=偶 偶×偶=偶 奇×偶=奇兩函數的定義域D1 ，D2，D1D2要關于原

9、點對稱3奇偶性的判斷看定義域是否關于原點對稱看f(x)與f(-x)的關系1 已知函數是定義在上的偶函數. 當時，則當時， .2 已知定義域為的函數是奇函數。（）求的值；（）若對任意的，不等式恒成立，求的取值范圍；3 已知在（1，1）上有定義，且滿足證明：在（1，1）上為奇函數；4 若奇函數滿足，則_五、函數的單調性1、函數單調性的定義：2 設是定義在M上的函數，若f(x)與g(x)的單調性相反，則在M上是減函數；若f(x)與g(x)的單調性相同，則在M上是增函數。1判斷函數的單調性。2例 函數對任意的，都有，并且當時， 求證：在上是增函數； 若，解不等式 3函數的單調增區間是_4(高考真題)已

10、知是上的減函數，那么的取值范圍是 （ ）（A） （B） （C）（D）函數單調性 題型一：函數單調性的證明1， 取值 2，作差 3，定號 4，結論 二：函數單調性的判定，求單調區間 （） （）三：函數單調性的應用1.比較大小 例：如果函數對任意實數都有，那么 A、 B、C、 C、2.解不等式例：定義在（1，1）上的函數是減函數，且滿足：，求實數的取值范圍。 例：設 是定義在 上的增函數， ，且 ，求滿足不等式 的x的取值范圍.3.取值范圍例:  函數 在 上是減函數,則 的取值范圍是_例：若是上的減函數，那么的取值范圍是（ ）A. B. C.D.4. 二次函數最值例：探究函數在區間的最

11、大值和最小值。例：探究函數在區間的最大值和最小值。5.抽象函數單調性判斷例：已知函數的定義域是，當時，且 求，證明在定義域上是增函數如果，求滿足不等式2的的取值范圍例：已知函數f(x)對于任意x，yR，總有f(x)f(y)f(xy)，且當x>0時，f(x)<0，f(1).(1)求證：f(x)在R上是減函數； (2)求f(x)在3,3上的最大值和最小值例：已知定義在區間(0，)上的函數f(x)滿足f()f(x1)f(x2)，且當x>1時，f(x)<0.(1)求f(1)的值；(2)判斷f(x)的單調性；(3)若f(3)1，解不等式f(|x|)<2.單調性習題1在區間(

12、0，)上不是增函數的函數是（ ）Ay=2x1By=3x21Cy=Dy=2x2x12函數f(x)=4x2mx5在區間2，上是增函數，在區間(，2)上是減函數，則f(1)等于A7B1C17D253函數f(x)在區間(2，3)上是增函數，則y=f(x5)的遞增區間是（ ）A(3，8)B(7，2)C(2，3)D(0，5)4已知函數f(x)在區間a，b上單調，且f(a)f(b)0，則方程f(x)=0在區間a，b內（ ）A至少有一實根 B至多有一實根 C沒有實根 D必有唯一的實根5已知定義域為R的函數f(x)在區間(，5)上單調遞減，對任意實數t，都有f(5t)f(5t)，那么下列式子一定成立的是（ ）A

13、f(1)f(9)f(13)Bf(13)f(9)f(1)Cf(9)f(1)f(13)Df(13)f(1)f(9)6已知f(x)在區間(，)上是增函數，a、bR且ab0，則下列不等式中正確的是（ ）Af(a)f(b)f(a)f(b)Bf(a)f(b)f(a)f(b)Cf(a)f(b)f(a)f(b)Df(a)f(b)f(a)f(b)7、已知函數，若，則等于 A、 B、 C、 D、-8、若是R上的減函，且的圖象經過點和，則不等式的解集為 A、 B、 C、 D、9、已知函數在R上是減函數，則有 A、 B、 C、 D、10定義在R上的函數y=f(x)在(，2)上是增函數，且y=f(x2)圖象的對稱軸是x

14、=0，則（ ）Af(1)f(3)Bf (0)f(3) Cf (1)=f (3) Df(2)f(3)11已知 是常數),且 ,則 的值為_12、函數的增區間是 13、設是上的減函數，則的單調遞減區間為 .14.用定義證明：函數在上是增函數15f(x)是定義在( 0，)上的增函數，且f() = f(x)f(y) （1）求f(1)的值 （2）若f(6)= 1，解不等式 f( x3 )f() 2 16已知函數f(x)=，x1，（1）當a=時，求函數f(x)的最小值；（2）若對任意x1，f(x)0恒成立，試求實數a的取值范圍六函數的周期性：1（定義）若是周期函數，T是它的一個周期。說明：nT也是的周期（

15、推廣）若，則是周期函數，是它的一個周期對照記憶說明：說明：2若；則周期是21 已知定義在R上的奇函數f(x)滿足f(x+2)=f(x),則,f(6)的值為(A)1 (B) 0 (C) 1 (D)22 定義在R上的偶函數，滿足，在區間-2,0上單調遞減，設，則的大小順序為_3 已知f (x)是定義在實數集上的函數，且則f (2005)= .4 已知是(-)上的奇函數，當01時，f(x)=x，則f(7.5)=_例11 設是定義在R上的奇函數，且對任意實數x恒滿足，當時求證：是周期函數；當時，求的解析式；計算：七二次函數(涉及二次函數問題必畫圖分析)1二次函數f(x)=ax2+bx+c(a0)的圖象

16、是一條拋物線，對稱軸，頂點坐標2二次函數與一元二次方程關系一元二次方程的根為二次函數f(x)=ax2+bx+c(a0)的的取值。一元二次不等式的解集(a>0)二次函數情況一元二次不等式解集Y=ax2+bx+c (a>0)=b2-4acax2+bx+c>0 (a>0)ax2+bx+c<0 (a>0)圖象與解>0=0<0R1、已知函數在區間上是增函數，則的范圍是（ ）（A） (B) (C) (D) 2、方程有一根大于1，另一根小于1，則實根m的取值范圍是_八指數式與對數式1冪的有關概念(1)零指數冪(2)負整數指數冪(3)正分數指數冪；(5)負分數指

17、數冪(6)0的正分數指數冪等于0,0的負分數指數冪沒有意義.2有理數指數冪的性質 3根式根式的性質:當是奇數，則；當是偶數，則4對數(1)對數的概念:如果,那么b叫做以a為底N的對數,記(2)對數的性質：零與負數沒有對數 (3)對數的運算性質 logMN=logM+logN 對數換底公式：對數的降冪公式： (1) (2) 十指數函數與對數函數1、 指數函數y=ax與對數函數y=logax (a>0 , a1)互為反函數名稱指數函數對數函數一般形式Y=ax (a>0且a1)y=logax (a>0 , a1)定義域(-,+ )(0,+ )值域(0,+ )(-,+ )過定點（，1

18、）（1，）圖象指數函數y=ax與對數函數y=logax (a>0 , a1)圖象關于y=x對稱單調性a> 1,在(-,+ )上為增函數a<1, 在(-,+ )上為減函數a>1,在(0,+ )上為增函數a<1, 在(0,+ )上為減函數值分布y>1 ? y<1?y>0? y<0?2. 比較兩個冪值的大小，是一類易錯題，解決這類問題，首先要分清底數相同還是指數相同2、 ，如果底數相同，可利用指數函數的單調性；指數相同，可以利用指數函數的底數與圖象關系（對數式比較大小同理）記住下列特殊值為底數的函數圖象：3、 研究指數，對數函數問題，盡量化為同底

19、，并注意對數問題中的定義域限制4、 指數函數與對數函數中的絕大部分問題是指數函數與對數函數與其他函數的復合問題，討論復合函數的單調性是解決問題的重要途徑。1、（1）的定義域為_；（2）的值域為_；（3）的遞增區間為，值域為2、（1），則3、要使函數在上恒成立。求的取值范圍。4.若a2x+·ax0（a0且a1），求y=2a2x3·ax+4的值域.基礎練習題一、選擇題1 下列函數與有相同圖象的一個函數是（ ）A B C D 2 下列函數中是奇函數的有幾個（ ） A B C D 3 函數與的圖象關于下列那種圖形對稱( )A 軸 B 軸 C 直線 D 原點中心對稱4 已知，則值為（

20、 ）A B C D 5 函數的定義域是（ ）A B C D 6 三個數的大小關系為（ ）A B C D 7 若，則的表達式為（ ）A B C D 二、填空題1 從小到大的排列順序是 2 化簡的值等于_ 3 計算：= 4 已知，則的值是_ 5 方程的解是_ 6 函數的定義域是_；值域是_ 7 判斷函數的奇偶性 三、解答題1 已知求的值 2 計算的值 3 已知函數,求函數的定義域，并討論它的奇偶性單調性 4 （1）求函數的定義域 （2）求函數的值域 考點訓練考點1、指數函數、圖像、性質（注意參數的分類討論、及數形結合的應用、轉化思想的應用）EG1、若方程有正數解，則實數的取值范圍是 D （A） （

21、B） （C） （D）B1-1、下列函數中，值域為（0，+）的是 B （ ）A B C DB1-2、關于方程 的解的個數是B( )A. 1B. 2C. 0D. 視a的值而定B1-3、 已知函數是奇函數，當時，設的反函數是，則 .-2考點2、對數函數、圖像、性質（注意參數的分類討論、及數形結合的應用、轉化思想的應用）EG2、.函數y=loga（-x2-4x+12）(0a1)的單調遞減區間是A. （-2，-） B. （-6，-2） C. （-2，2） D. （-,-2B2-1. 若關于x的方程（2-2-x）2=2+a有實根，則實數a的取值范圍是A. a-2 B. 0a2 C. -1a2 D. -2a

22、2B2-2函數y=log（xax3a）在2，）上是減函數，則a的取值范圍是（A）（，4） （B）（4，4 （C）（，4）2， （D）4，4B2-3.若，則實數的取值范圍是 A或 B C DB2-4若函數在上的最大值是最小值的3倍，則a=A. B. C. D. B2-5、函數y=log2(1-x)的圖象是y1Oxy1Oxxy1Oy1Ox （A） （B） （C） （D）方法歸納1解決與對數函數有關的問題，要特別重視定義域； 2指數函數、對數函數的單調性決定于底數大于1還是小于1，要注意對底數的討論；3比較幾個數的大小的常用方法有：以和為橋梁；利用函數的單調性；作差實戰訓練2、函數y=()x-2x在

23、區間-1, 1上的最大值為 . 3、記函數的反函數為，則 A 2 B C 3 D 4、 若函數f（x）=logxa在2，4上的最大值與最小值之差為2，則a=_5函數的定義域是_ 6f（x）=則滿足f（x）=的x的值是_7設是函數的反函數,若,則f(a+b)的值為 A. 1 B. 2 C. 3 D. 8函數在上是增函數，則的取值范圍是（ ）.A. B. C. D. .9、 如果那么的取值范圍是A、 B、 C、 D、10、a若不等式內恒成立，則實數的取值11函數的反函數為等于AB7C9D7或912已知函數（其中，）。（1）求反函數及其定義域；（2）解關于的不等式解1）當時，由得出函數定義域；當時，

24、由得函數定義域為。 由則故 當時，；當時，（2）由 則原不等式13已知函數的圖象與的圖象關于直線y=x對稱，求的遞減區間解： 而 遞增， 遞減14、定義在R上的奇函數有最小正周期為2，且時，（1）求在1，1上的解析式；（2）判斷在（0，1）上的單調性；（3）當為何值時，方程=在上有實數解.解（1）xR上的奇函數 又2為最小正周期 設x（1，0），則x（0，1），（2）設0<x1<x2<1 = 在（0，1）上為減函數。（3）在（0，1）上為減函數。 即 同理在（1，0）時，又當或時在1，1內有實數解。補充：1、函數對于任意的實數都有（A）（B）（C）（D）2、方程的解是_ 3、

25、函數的反函數4、已知函數y=log2x的反函數是y=f-1(x)，則函數y= f-1(1-x)的圖象是5、是函數為偶函數的（A） 充分不必要條件 （B）必要不充分條件（C） 充分必要條件 （D）既不充分也不必要條件6已知函數的值域為R，且f(x)在（上是增函數，則a的范圍是 .十函數的圖象變換（1） 1、平移變換：（左+ 右- ，上+ 下- ）即 對稱變換：（對稱誰，誰不變，對稱原點都要變）1f(x)的圖象過點(0,1)，則f(4-x)的反函數的圖象過點（ ）A.(3,0) B.(0,3) C.(4,1) D.(1,4)2作出下列函數的簡圖：（1）y=|log|； （2）y=|2x-1|；（3

26、）y=2|x|； 函數圖像的變換 函數圖象及變化規則掌握幾類基本的初等函數圖像是學好本內容的前題 1、 基本函數（1）一次函數、（2）二次函數、（3）反比例函數、 （4）指數函數、（5）對數函數、（6）三角函數。 2、圖象的變換 （1）平移變換（左加右減）函數y=f(x+2)的圖象是把函數y=f(x)的圖像沿x軸向左平移2個單位得到的；反之向右移2個單位函數y=f(x)-3(的圖象是把函數y=f(x)的圖像沿y軸向下平移3個單位得到的；反之向上移3個單位（2）對稱變換 函數y=f(x)與函數y=f(-x)的圖象關于直線x=0對稱； 函數y=f(x) 與函數y=-f(x)的圖象關于直線y=0對稱

27、；函數y=f(x)與函數y=-f(-x)的圖象關于坐標原點對稱；如果函數y=f(x)對于一切xR都有f(x+a)=f(x-a)，那么y=f(x)的圖象關于直線x=a對稱。y=f-1(x)與y=f(x)關于直線y=x對稱 y=f(x)y=f(|x|) 3、伸縮變換y=af(x)(a>0)的圖象，可將y=f(x)的圖象上的每一點的縱坐標伸長(a>1)或縮短(0<a<1)到原來的a倍。 y=f(ax)(a>0)的圖象，可將y=f(x)的圖象上的每一點的橫坐標縮短(a>1)或伸長(0<a<1)到原來的a倍。 1. 函數y=1+ax(0<a<1)的反函數的圖象大致是 （A） （B） （C） （D） 2、函數y=-lg(x+1)的圖象大致是 3、的圖象不經過第二象限，則必有（ ）。（A） （B） （C） （D）4、設函數，則（ ）。 （A） （B） （C） （D） 5、已知函數的反函數的對稱中心是，則實數等于（A） （B） （C） （D）6、函數的圖象（A）關于點對稱 （B）關于點對稱（C）關于直線對稱 （D）關于直線對稱7、 函數的反函數圖像大致是 （A） （B） （C） （ D）8、為了得到函數的圖像，只需把函數的圖像上所有的點 （ ）A向左平移3個單位長度，再向上平移1個單