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文檔簡介

1、.三角函數求最值的歸類研究 求函數的最大值與最小值是高中數學中的重要內容，也是高考中的常見題型，本文對三角函數的求最值問題進行歸類研究，供同學們借鑒。一、化成的形式例1. 在直角三角形中，兩銳角為A和B，求的最大值。解：由，得，則當時，有最大值。例2. 求函數在上的最大值和最小值。解：由，得，得，則當x=0時，；當時，點評這類題目解決的思路是把問題化歸為的形式，一般而言，但若附加了x的取值范圍，最好的方法是通過圖象加以解決。例2中，令，畫出在上的圖象（如圖1），圖1不難看出，即。應注意此題容易把兩個邊界的函數值和誤認為是最大值和最小值。二、形如的形式例3. 求函數的最大值和最小值。解：由已知得

2、，即，所以因，即解得，故點評上述利用正（余）弦函數的有界性，轉化為以函數y為主元的不等式，是解決這類問題的最佳方法。雖然本題可以使用萬能公式，也可以利用圓的參數方程和斜率公式去求解，但都不如上述解法簡單易行。有興趣的同學不妨試一試其他解法。三、形如的形式例4. 求函數的最大值和最小值。解：由，得，即點評此題是利用了分離分母的方法求解的。若用例3的解法同樣可求，有興趣的同學不妨試一下，并作解法對比。四、形如的形式例5. 求的最小值。解：設，則。從圖2中可以看到在區間上是減函數（也可以利用函數的單調性定義來證明這一結論）。當時，點評若由，可得最小值是錯誤的。這是因為當等號成立時，即是不可能的。若把此題改為就可以用不等式法求解了，同學們不妨琢磨一下。五、利用與之間的關系例6. 求函數的最大值和最小值。解：設，則，且。由于，故當t=1時，；當時，。點評這三者之間有著相互制約，不可分割的密切聯系。是紐帶，三者之間知其一，可求其二。令換元后依題意可靈活使用配方法、重要不等式、函數的單調性等方法來求函數的最值。應該注意的是求三角函數的最值方法有多種，像配方法、不等式法等，這里不再贅述，有興趣的同學不妨自己探討一下。練一練：1. 求函數的最大值和最小值。2. 求函數的最大值和最小值。3. 已知，求函數的最大值和最小值。答案

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